丁肇偉，陳龍珠，李慶來

(1.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 安全與防災(zāi)工程研究所，上海 200240； 2.上海東浩蘭生(集團(tuán))有限公司，上海 200040)

地震是造成我國人員傷亡最為嚴(yán)重的一種自然災(zāi)害。根據(jù)國內(nèi)外科學(xué)研究和工程實踐的成果，我國于2001年修訂實施的《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011-2001)，已涵蓋了抗震、隔震和消震3大類地震防御技術(shù)[1-3]。定性來說，抗震技術(shù)適用于各種建筑結(jié)構(gòu)，隔震技術(shù)多用于剛度較大、高寬比較低的多層和高層建筑，而消震技術(shù)則適用于相對柔性的結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)中動力響應(yīng)較大的部位。基底隔震技術(shù)是通過水平剛度低且具有一定阻尼的隔震器，在上部結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)之間實現(xiàn)水平方向的柔性連接，使得由地基輸入上部結(jié)構(gòu)的地震能量及其產(chǎn)生的加速度大為降低，結(jié)構(gòu)層間位移大幅減小而不易損壞和坍塌，由此大幅提高建筑結(jié)構(gòu)對強(qiáng)烈地震的防御能力。

我國自1994年建造首座采用橡膠支座的基底隔震示范建筑[4]以來，這個地震防御技術(shù)已得到了很好的推廣應(yīng)用。在2008年5月汶川八級地震中，甘肅省隴南市武都區(qū)采用了基底隔震技術(shù)的北山郵政職工住宅樓完好無損，但鄰近普通的多層房屋結(jié)構(gòu)墻體卻普遍出現(xiàn)了開裂[5]。四川省蘆山縣人民醫(yī)院門診綜合樓[6]，地上6層，局部地下1層，建筑設(shè)防類別為乙類，設(shè)防烈度為Ⅶ度(0.15g)，設(shè)計地震分組為第2組，中硬場地土，屬于Ⅱ類場地。2013年4月蘆山七級地震時，該樓隔震效果顯著，是我國到目前為止已被Ⅸ度實際地震考驗的隔震建筑。另一方面，早期建造的部分既有隔震建筑已出現(xiàn)不同程度病害，為了評價隔震層及隔震建筑動力特性現(xiàn)狀，需要研究此類建筑的檢測與鑒定方法[7]。

建筑隔震設(shè)計可采用地震反應(yīng)譜法和時程分析法，前者涉及結(jié)構(gòu)自振頻率和振型，后者需要采取數(shù)值積分計算[8]。在土木工程結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，對于多于3個自由度的建筑結(jié)構(gòu)，自振頻率和振型的計算，因涉及高階超越方程而采用數(shù)值計算或近似簡化理論方法[9-10]求解，這對工程設(shè)計已不構(gòu)成困難，但不便于直觀地了解自振頻率和振型受隔震層剛度、上部結(jié)構(gòu)各層剛度和質(zhì)量的影響方式。對在地基簡諧運動激勵下的多自由度結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[11]采用復(fù)數(shù)法直接得到了結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)幅頻關(guān)系的解析解，由此可作為參數(shù)分析考察基底隔震層參數(shù)的變化對上部結(jié)構(gòu)層間位移分布特性的影響規(guī)律。

三對角Toeplitz矩陣的主對角線和2個次對角線上的元素各自為一個常數(shù)，其余位置上的元素全為0。文中參考這種特殊矩陣的特征值和特征向量的解析求法[12-13]，先對多層建筑結(jié)構(gòu)基底隔震層剛度取2個特定數(shù)值條件下的各階自振頻率和振型求得解析解，然后求其他數(shù)值的基底隔震層剛度，由此假設(shè)其各階自振頻率和振型的解析函數(shù)，再通過對數(shù)值計算結(jié)果的擬合分析，檢驗是否為自振頻率和振型的精確表達(dá)式。

1 特殊條件下結(jié)構(gòu)自振頻率和振型解析解

圖1為模擬基底隔震的6層水平剪切型建筑結(jié)構(gòu)計算簡圖。由于其底層下方設(shè)置了可水平向大幅變形的隔震層，該基底隔震的6層建筑結(jié)構(gòu)在水平方向上具有7個自由度。假設(shè)各層樓板和屋面凝聚的質(zhì)點質(zhì)量相同(記為m)，上部結(jié)構(gòu)各層的水平剛度相同(記為k)，隔震層剛度為αk，其中α為隔震層剛度比。改變α值，便可觀察基底隔震層剛度對隔震建筑結(jié)構(gòu)自振頻率及其振型的影響。

圖1所示結(jié)構(gòu)的特征方程可以表示為：

圖1 6層基底隔震建筑計算簡圖Fig.1 Calculation of six-story base-isolated building

(1)

式中：λ=ω2m/k，(ω為振動圓頻率)；φ為振型列陣。H為三對角矩陣：

由于三對角矩陣H，其主對角線上的元素并不全部相同，不是經(jīng)典的Toeplitz三對角矩陣的形式。因此，對任意的α值，不能直接套用其特征值和特征向量的解析公式來求解結(jié)構(gòu)各階自振頻率和振型。采用求解三對角Toeplitz矩陣特征值和特征向量的數(shù)學(xué)方法，式(1)難以得到解析解。作為一個特例，取α=1，則式(1)可以展開為遞推式和邊界條件：

(2)

對式(2)第1行的方程，試取其解為φj=rj，則有rj+1-(2-λ)rj+rj-1=0，經(jīng)整理后得r2-(2-λ)r+1=0。記這個二元一次方程的2個根為r1和r2，則有：

r1+r2=2-λ，r1r2=1

(3)

所以，式(2)第1行的線性遞推式之解可表示為：

(4)

式中β1和β2為待定常數(shù)，j=1，2，…，7。

將式(4)代入式(2)第2行的2個邊界條件，得：

(5)

由式(3)、(5)得：

(6)

式(6)的解為：

(7)

將式(7)代入式(3)中的第1式，整理得：

(8)

從而得到當(dāng)α=1時，圖1所示7自由度結(jié)構(gòu)第s階自振圓頻率和振型的解析算式：

(9)

(10)

另一個特例，當(dāng)α=0時(相當(dāng)于6層建筑漂浮于水中)，經(jīng)過上述類似推導(dǎo)，可得到該情況下，建筑物結(jié)構(gòu)各階自振圓頻率和振型解析算式(s,j=1，2,…，7)：

(11)

(12)

2 任意基底隔震剛度下結(jié)構(gòu)自振頻率和振型算式

改變基底隔震剛度數(shù)值，α乃至H中的主對角線第1個元素的數(shù)值發(fā)生變化，從而改變結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，但此時卻不易求出它們的解析解?，F(xiàn)根據(jù)上述2個特例的理論結(jié)果，對任意α值對應(yīng)的各階自振頻率及其振型，嘗試采用如下表達(dá)形式：

(13)

(14)

上述2個嘗試性算式的誤差或適用性檢驗步驟如下：

1)利用常規(guī)數(shù)值方法，計算得到任意α值對應(yīng)的結(jié)構(gòu)自振圓頻率和振型；

3)將求出的θαs代入式(14)，得到嘗試的振型曲線，并將其與第1步中求得的振型曲線進(jìn)行比較，由相對誤差大小來判定嘗試性算式的適應(yīng)程度。

(15)

取α=0.03～1.0內(nèi)的多個數(shù)值，經(jīng)上述擬合分析得知，由數(shù)值方法計算的第1階自振圓頻率和式(13)求出的θα1(圖2，表1)以及用嘗試性算式(14)得出的第1階振型(圖3)，與數(shù)值方法所得結(jié)果的相關(guān)系數(shù)均大于0.999，表明式(13)～(15)是精確的表達(dá)式。

圖2 θα1～α關(guān)系曲線Fig.2 Relation curves of θα1～α

表1 θαs與α的關(guān)系Table 1 Relation of θαs and α rad

在圖3中，α=∞相當(dāng)于一個6自由度的抗震結(jié)構(gòu)。采用與上節(jié)α=1同樣的方法，可得其各階自振圓頻率和振型的解析算式：

圖3 第1階振型擬合曲線Fig.3 Fitting curves of the first mod

(16)

(17)

式(17)仍采用圖1的質(zhì)點編號，取s=1便可繪制歸一化的第1階振型曲線。

由圖2可知，當(dāng)α由1.0逐漸減小到約0.5時，θα1乃至基底隔震結(jié)構(gòu)第1階自振圓頻率才會隨α的進(jìn)一步減小而加速降低。由圖3可見，當(dāng)α減小到0.3時，(Φ17-Φ11)已降低到抗震結(jié)構(gòu)(α=∞)的1/2，而當(dāng)α取為0.1時，(Φ17-Φ11)約只有抗震結(jié)構(gòu)的1/4。因此，相對于上部結(jié)構(gòu)的層間剛度，隔震層剛度必須足夠低，才可能使得上部結(jié)構(gòu)的層間位移大幅降低而接近于剛體平移，從而提高上部結(jié)構(gòu)的地震防御能力。

(18)

圖2虛線表明，式(18)擬合效果良好：α=0～0.7，相對誤差小于1%；在α=1處的相對誤差最大，但也低于3.1%。

(19)

將式(18)代入式(14)，則可方便地計算出基底隔震結(jié)構(gòu)第1階振型。

對于α≤1.0，表1表明，各階自振圓頻率數(shù)值均未出現(xiàn)sin(0.5θαs)>1的無解問題，即式(13)、(14)適用。

3 結(jié)論

1)借用三對角Toeplitz矩陣特征值問題的求解方法，推導(dǎo)了2種特定的隔震層剛度條件下各階自振圓頻率和振型的解析解，由此構(gòu)造的任意隔震層剛度條件下的結(jié)構(gòu)各階自振圓頻率和振型的解析算式，并用數(shù)值解的結(jié)果進(jìn)行了驗證。

2)鑒于其對基底隔震建筑結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)具有重要的影響，分析提出了第1階自振圓頻率和振型的簡化算式，具有較高的精度，可用于工程設(shè)計中選定隔震層剛度。

3)參數(shù)分析表明，當(dāng)隔震層剛度比α<0.1時，上部結(jié)構(gòu)第1振型的累積層間位移僅約為抗震結(jié)構(gòu)的1/4，已向剛體平動靠近，有利于提高結(jié)構(gòu)的地震防御能力。

本文理論分析的方法可用于求解具有其他層數(shù)的基底隔震建筑結(jié)構(gòu)的各階自振圓頻率和振型。