王永琦,江瀟瀟

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院,上海 201620)

1 引言

機(jī)器人路徑規(guī)劃RPP(Robot Path Planning)是機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域一項(xiàng)極其重要的課題，該課題的研究目的在于以?xún)?yōu)化目標(biāo)(如線(xiàn)路長(zhǎng)度、能源消耗)為指導(dǎo)確定一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最佳路徑[1]。近年來(lái)，智能化技術(shù)獲得了快速發(fā)展，而不斷推進(jìn)的產(chǎn)業(yè)智慧升級(jí)則進(jìn)一步開(kāi)拓了移動(dòng)機(jī)器人的應(yīng)用前景，相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景包含智慧生產(chǎn)、貨物搬運(yùn)、水下作業(yè)和異常環(huán)境探測(cè)等方面[2]。鑒于此，進(jìn)行RPP問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)研究具有極其重要的理論意義和工程價(jià)值。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞RPP問(wèn)題開(kāi)展了大量的研究工作，并取得了豐碩的成果[3]。經(jīng)典的路徑規(guī)劃算法包括視圖法、人工勢(shì)場(chǎng)法、自由空間法和A*算法等，簡(jiǎn)單實(shí)用的性質(zhì)使得上述經(jīng)典算法具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值，然而相關(guān)算法的缺陷同樣限制了其在不同類(lèi)型RPP問(wèn)題方面的應(yīng)用。例如，視圖法的路徑由多條直線(xiàn)構(gòu)建而成，線(xiàn)路棱角明顯，難以確保全局最優(yōu)；人工勢(shì)場(chǎng)法易陷入局部最優(yōu)，存在終點(diǎn)不可達(dá)的缺陷；自由空間法計(jì)算復(fù)雜性較高，對(duì)復(fù)雜障礙空間的RPP問(wèn)題適用性較差。近年來(lái)快速發(fā)展的進(jìn)化算法技術(shù)為解決RPP問(wèn)題提供了新思路，現(xiàn)階段已有多種相關(guān)算法在RPP問(wèn)題上獲得了成功應(yīng)用，包括蟻群算法、遺傳算法和粒子群算法等。與此同時(shí)，基本蟻群算法搜索時(shí)間長(zhǎng)且易停滯，遺傳算法易生成包含障礙物的不可行路徑，以上缺陷一定程度上限制了進(jìn)化算法求解RPP問(wèn)題的效率。鑒于此，以進(jìn)化算法為基礎(chǔ)，構(gòu)建高效可靠的機(jī)器人路徑規(guī)劃方法成為學(xué)者努力追尋的目標(biāo)。

受灰狼群體捕獵行為的啟發(fā)，Mirjalili等[4]于2014年提出了一種新型進(jìn)化算法——灰狼GWO(Grey Wolf Optimization)算法。相較于其他算法，GWO算法具有架構(gòu)簡(jiǎn)單、控制參數(shù)少和計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)。研究表明，GWO算法的整體尋優(yōu)性能相比于遺傳算法、粒子群算法以及人工蜂群算法等更具優(yōu)勢(shì)[5]。目前，該算法在眾多工程領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用，包括車(chē)間調(diào)度、數(shù)值優(yōu)化、圖像融合以及電力系統(tǒng)配置等[6-8]。鑒于GWO算法在眾多領(lǐng)域的良好表現(xiàn)，本文將其運(yùn)用于RPP這一重要工程問(wèn)題。

GWO算法采用隨機(jī)方法構(gòu)建初始解，這在一定程度上限制了算法的搜索效率；同時(shí)，該算法僅以?xún)?yōu)質(zhì)解引導(dǎo)種群進(jìn)化，這使得搜索過(guò)程易陷入局部最優(yōu)。針對(duì)以上不足，本文提出HGWO(Hybrid Grey Wolf Optimization)算法，在其設(shè)計(jì)過(guò)程中融入反向?qū)W習(xí)機(jī)制和融合了歷史信息的個(gè)體位置更新方法。具體而言，在初始化階段，HGWO算法采用反向?qū)W習(xí)方法構(gòu)建初始種群，力求提高初始解的質(zhì)量；在進(jìn)化過(guò)程中，HGWO算法首先引入PSO思想來(lái)改善GWO算法的個(gè)體位置更新過(guò)程，通過(guò)融合每個(gè)灰狼個(gè)體的歷史信息以構(gòu)筑更高效的種群進(jìn)化方法；同時(shí)，借助精英反向?qū)W習(xí)策略探索當(dāng)前種群中精英個(gè)體的反向解空間，力求增強(qiáng)算法的勘探能力。

2 GWO與PSO算法

2.1 GWO算法

灰狼以群居生活方式為主，各群體中平均存在5～12只灰狼，并具有嚴(yán)格的等級(jí)制度，圖1展示了灰狼群體的金字塔分層示意圖。整個(gè)群體包括α、β、δ和ω4層。第1層為種群中的頭狼，稱(chēng)為α狼，該灰狼個(gè)體負(fù)責(zé)群體各項(xiàng)決策事務(wù)；第2層為β狼，負(fù)責(zé)協(xié)助管理決策；第3層為δ狼，負(fù)責(zé)偵察、放哨和捕獵等相關(guān)事務(wù)；第4層為ω狼，負(fù)責(zé)平衡種群內(nèi)部的關(guān)系。

Figure 1 Hierarchy of grey wolves圖1 灰狼群體等級(jí)結(jié)構(gòu)

GWO算法以灰狼個(gè)體表示待優(yōu)化問(wèn)題的解，并通過(guò)模擬灰狼的等級(jí)制度和狩獵行為實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)試問(wèn)題的迭代尋優(yōu)。對(duì)于當(dāng)前待優(yōu)化問(wèn)題，適應(yīng)度最佳的灰狼個(gè)體設(shè)為α狼，次優(yōu)和第3優(yōu)的灰狼個(gè)體分別以β狼和δ狼表示，其余個(gè)體稱(chēng)為ω狼。在GWO算法中，低等級(jí)的灰狼個(gè)體必須服從高等級(jí)灰狼個(gè)體的指導(dǎo)，整個(gè)尋優(yōu)過(guò)程由優(yōu)勢(shì)灰狼個(gè)體指導(dǎo)種群向目標(biāo)獵物包圍。算法的種群進(jìn)化公式歸納如下：

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(1)

C=2·r1

(2)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(3)

A=2a·r2-a

(4)

(5)

其中，式(1)和式(2)定義了灰狼個(gè)體與目標(biāo)獵物之間的距離D，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，X(t)表示當(dāng)前種群中某一灰狼個(gè)體的位置，Xp(t)為目標(biāo)獵物的位置，距離調(diào)節(jié)系數(shù)C由[0,1]上均勻分布的隨機(jī)變量r1確定。式(3)～式(5)定義了灰狼個(gè)體的更新方式，其中r2表示[0,1]上均勻分布的隨機(jī)變量，T為最大迭代次數(shù)，收斂因子a隨著迭代搜索的進(jìn)行從2線(xiàn)性遞減為0。位置調(diào)節(jié)系數(shù)A由a和r2確定。

鑒于獵物目標(biāo)的位置(即當(dāng)前問(wèn)題的解)通常是未知的，GWO算法充分利用優(yōu)勢(shì)灰狼個(gè)體的位置信息進(jìn)行迭代尋優(yōu)，即利用α、β和δ狼的位置信息判斷獵物的大致位置，進(jìn)而指導(dǎo)狼群逐步逼近獵物目標(biāo)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式描述如下：

Dα=|C1·Xα(t)-X(t)|

(6)

Dβ=|C2·Xβ(t)-X(t)|

(7)

Dδ=|C3·Xδ(t)-X(t)|

(8)

X1(t)=Xα(t)-A1·Dα

(9)

X2(t)=Xβ(t)-A2·Dβ

(10)

X3(t)=Xδ(t)-A3·Dδ

(11)

(12)

其中，Xα(t)、Xβ(t)和Xδ(t)分別表示當(dāng)前種群中α、β和δ狼的位置，C1,C2,C3為距離調(diào)節(jié)參數(shù)，由式(2)生成。X(t)為某一ω狼的位置。式(8)～式(10)計(jì)算了α、β和δ狼與候選ω狼之間的距離Dα、Dβ和Dδ。A1、A2、A3為位置調(diào)節(jié)系數(shù)，由式(4)生成?；诖耍?9)～式(12)定義了ω狼更新后的最終位置。圖2所示為GWO算法的實(shí)現(xiàn)原理。

Figure 2 Schematic diagram of GWO圖2 GWO算法原理示意圖

綜合以上描述，GWO算法的實(shí)現(xiàn)流程歸納如下：

步驟1初始化：利用隨機(jī)方法構(gòu)建初始灰狼種群。

步驟2種群排序：計(jì)算每個(gè)灰狼個(gè)體的適應(yīng)度值，并據(jù)此確定當(dāng)前種群中的α、β、δ和ω狼。

步驟3參數(shù)更新：確定GWO算法的參數(shù)a、A和C。

步驟4種群進(jìn)化：依據(jù)式(6)～式(12)更新ω狼的位置。

步驟5終止條件判斷：若滿(mǎn)足算法的終止條件，終止迭代并輸出最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)步驟2。

2.2 PSO算法

Eberhart和Kennedy兩位學(xué)者通過(guò)模擬鳥(niǎo)類(lèi)覓食行為提出了PSO算法，并用其求解各類(lèi)復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題[9]。在PSO算法中，鳥(niǎo)群中的每只鳥(niǎo)被抽象為一個(gè)粒子，每個(gè)粒子具有位置和速度，食物與當(dāng)前粒子間的距離被定義為適應(yīng)度，其數(shù)值大小決定了當(dāng)前粒子的優(yōu)劣，其計(jì)算公式依據(jù)實(shí)際問(wèn)題特征進(jìn)行設(shè)定。在算法迭代過(guò)程中，每個(gè)粒子借助自身歷史最優(yōu)位置和整個(gè)種群的全局最優(yōu)位置進(jìn)行位置更新。

假設(shè)待優(yōu)化問(wèn)題的維度為D′，以符號(hào)N表示種群規(guī)模，當(dāng)前種群中第i個(gè)粒子在第d維的速度和位置信息分別記為Vid和Xid，則算法采用以下公式進(jìn)行粒子的速度更新和位置更新：

Vid(t+1)=ω′·Vid(t)+c1·r1·

(Pid-Xid(t))+c2·r2·(Pgd-Xid(t))

(13)

Xid(t+1)=Xid(t)+Vid(t+1)

(14)

其中，t表示當(dāng)前迭代次數(shù);ω′為慣性因子，取值在[1,3]時(shí)算法的優(yōu)化性能較好;學(xué)習(xí)因子c1和c2為非負(fù)常數(shù)，一般取c1=c2=2;r1和r2表示[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。Pid表示第i個(gè)粒子自身歷史最優(yōu)位置在第d維的取值，Pgd表示整個(gè)種群全局最優(yōu)位置在第d維的取值。

綜合以上描述，PSO算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖3所示。

Figure 3 Flow chart of PSO圖3 PSO算法實(shí)現(xiàn)流程

3 HGWO算法

本文借助反向?qū)W習(xí)機(jī)制和融合歷史信息的個(gè)體位置更新方法構(gòu)筑HGWO求解算法。具體而言，在初始化階段，采用反向?qū)W習(xí)方法構(gòu)建初始種群，力求提高初始解的質(zhì)量；在進(jìn)化過(guò)程中，引入PSO思想來(lái)改善算法的個(gè)體位置更新過(guò)程，借助每個(gè)灰狼個(gè)體的歷史信息指導(dǎo)種群進(jìn)化；同時(shí)，結(jié)合精英反向?qū)W習(xí)策略，探索當(dāng)前種群中精英個(gè)體的反向解空間，著力克服算法易陷入局部最優(yōu)的缺陷。

3.1 反向?qū)W習(xí)初始化方法

為提升初始狼群的質(zhì)量，HGWO算法借助反學(xué)習(xí)方法生成初始解[10]。具體而言，算法首先通過(guò)隨機(jī)的方式生成N個(gè)灰狼個(gè)體，隨后為每個(gè)個(gè)體生成一個(gè)反向解，最后以?xún)?yōu)化目標(biāo)為依據(jù)對(duì)2N個(gè)解進(jìn)行評(píng)價(jià)，并選取其中最優(yōu)的N個(gè)解構(gòu)建初始種群。

步驟1分別令i←1和d←1，并轉(zhuǎn)步驟2。

步驟2若i≤N成立，轉(zhuǎn)步驟3；否則，轉(zhuǎn)步驟7。

步驟3若d≤D′成立，轉(zhuǎn)步驟4；否則，轉(zhuǎn)步驟5。

步驟5令d←d+1，若d>D′，令d←1,轉(zhuǎn)步驟6；否則，轉(zhuǎn)步驟3。

步驟6令i←i+1，并轉(zhuǎn)步驟2。

3.2 融合歷史信息的個(gè)體位置更新方法

在個(gè)體位置更新環(huán)節(jié)，GWO算法僅考慮ω狼與當(dāng)前種群中優(yōu)勢(shì)灰狼個(gè)體(α、β和δ狼)間的信息交流，而忽略了其自身經(jīng)驗(yàn)的引導(dǎo)。研究表明，自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)進(jìn)化算法的個(gè)體更新過(guò)程具有重要影響[11]。鑒于此，本文引入PSO思想來(lái)改善GWO算法的個(gè)體位置更新過(guò)程，力求構(gòu)筑更高效的種群進(jìn)化方法，新的個(gè)體位置更新方法歸納如下：

X(t+1)=ω1·X1(t)+ω2·X2(t)+ω3·X3(t)+

c·r·(Xbest(t)-X(t))

(15)

(16)

(17)

(18)

其中，式(15)的第1部分表示群體優(yōu)勢(shì)個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)對(duì)ω狼的引導(dǎo)，慣性權(quán)重系數(shù)ω1、ω2和ω3采用式(16)～式(18)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，力求動(dòng)態(tài)地權(quán)衡算法的全局和局部搜索性能；式(15)的第2部分為自身歷史經(jīng)驗(yàn)對(duì)ω狼的引導(dǎo)，c為學(xué)習(xí)因子，r為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。

3.3 精英反向?qū)W習(xí)策略

加強(qiáng)對(duì)優(yōu)秀個(gè)體周?chē)臻g的搜索對(duì)強(qiáng)化進(jìn)化算法勘探新解的能力具有重要影響，為此，本文將精英反向?qū)W習(xí)策略融合于HGWO算法，以探索當(dāng)前種群中精英個(gè)體的反向解的空間信息，力求提升算法的性能[12]。

反向解定義如下：以參數(shù)D′表示當(dāng)前待優(yōu)化問(wèn)題的維度，在第t次迭代過(guò)程中，以Xid表示當(dāng)前種群中解向量Xi在第d維的取值，則Xi的反向解X′i為：

(19)

在每次迭代過(guò)程中，HGWO算法率先采用融合歷史信息的個(gè)體位置更新方法實(shí)現(xiàn)種群進(jìn)化，隨后對(duì)更新后的種群進(jìn)行個(gè)體排序。結(jié)合相關(guān)研究和實(shí)際測(cè)試效果[13]，選取其中前10%的優(yōu)秀灰狼個(gè)體構(gòu)建精英種群Pb，依據(jù)反向解的定義生成Pb的反向種群P′b，選取混合種群Pb∪P′b中前50%的優(yōu)秀解進(jìn)入下一代。

3.4 HGWO算法流程

基于以上描述，HGWO算法的實(shí)現(xiàn)流程歸納如下：

步驟1初始化：利用反向?qū)W習(xí)初始化方法構(gòu)建初始種群，并計(jì)算每個(gè)解的目標(biāo)函數(shù)值。

步驟2種群排序：依據(jù)適應(yīng)度值對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行排序，劃分α、β、δ和ω狼。

步驟3參數(shù)更新：確定GWO算法的參數(shù)a、A和C。

步驟4更新歷史信息：確定各灰狼個(gè)體的自身歷史最優(yōu)解。

步驟5種群進(jìn)化：依據(jù)式(15)～式(18)更新ω狼的位置。

步驟6精英搜索：采取精英反向?qū)W習(xí)策略更新種群。

步驟7終止條件判斷：若滿(mǎn)足終止條件，停止迭代并輸出最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)步驟2。

4 路徑規(guī)劃

4.1 環(huán)境模型

圖4展示了機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題的環(huán)境模型，其中灰色方塊為起點(diǎn)，黑色方塊為終點(diǎn)，黑色圓表示一系列障礙物。在當(dāng)前坐標(biāo)系下，每個(gè)障礙物的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(x-a)2+(y-b)2=r2

(20)

其中，點(diǎn)(a,b)表示障礙物的坐標(biāo)中心，r為半徑。

Figure 4 Environment model圖4 環(huán)境模型

本文采用導(dǎo)航點(diǎn)模型構(gòu)建機(jī)器人路徑，當(dāng)前問(wèn)題的解以π={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),(xn+1,yn+1)}表示，(x0,y0)為起點(diǎn)，(xn+1,yn+1)為終點(diǎn)，剩余其他點(diǎn)表示算法所需規(guī)劃的坐標(biāo)。顯然，當(dāng)前問(wèn)題的決策維度由導(dǎo)航點(diǎn)的數(shù)目確定。此外，通過(guò)直接將路徑點(diǎn)相連而獲得的線(xiàn)路圖棱角較為明顯。

在確保求解精度的前提條件下，為降低問(wèn)題的優(yōu)化維度并對(duì)線(xiàn)路曲線(xiàn)進(jìn)行平滑處理，本文借助Spline樣條插值法構(gòu)造路徑曲線(xiàn)，圖5給出了相應(yīng)的示意圖[14]。其中，采樣導(dǎo)航點(diǎn)為測(cè)試算法所需優(yōu)化的點(diǎn)坐標(biāo)，而其余的插值導(dǎo)航點(diǎn)則由Spline樣條插值法確定。相對(duì)而言，該方法僅需優(yōu)化較少數(shù)目的采樣導(dǎo)航點(diǎn)坐標(biāo)，算法求解難度進(jìn)一步降低；同時(shí)，插值法所得的路徑曲線(xiàn)更為平滑流暢，求解效果更佳。

Figure 5 Spline interpolation圖5 Spline樣條插值法示意圖

4.2 路徑評(píng)價(jià)函數(shù)

當(dāng)前機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題以最小化線(xiàn)路長(zhǎng)度為優(yōu)化目標(biāo)，借助懲罰函數(shù)法處理避障約束條件，相應(yīng)的路徑評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)造如下：

(21)

(22)

其中，?為懲罰系數(shù)，K為障礙物總數(shù)，(ak,bk)表示當(dāng)前環(huán)境中障礙物k的中心，rk為其半徑。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文提出的HGWO算法的性能，分別將其應(yīng)用于基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)以及機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題，在2.4 GHz、內(nèi)存4 GB、Intel(R) Core(TM) i5-2430M CPU的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，編程平臺(tái)選用Matlab 2017a。

5.1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

為驗(yàn)證HGWO算法的性能，選取文獻(xiàn)[15]中的5個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行仿真。表1歸納了測(cè)試函數(shù)的相關(guān)情況，其中參數(shù)D′表示問(wèn)題維度，f1、f2和f3具有單峰性質(zhì)，f4和f5具有多峰性質(zhì)，上述函數(shù)極其復(fù)雜，難以取得全局最優(yōu)解，因此常用于評(píng)價(jià)進(jìn)化算法的搜索性能。

Table 1 Benchmark functions

為驗(yàn)證HGWO算法的搜索性能，首先開(kāi)展HGWO與GWO 2種測(cè)試算法的對(duì)比分析，力求驗(yàn)證改進(jìn)措施的有效性。測(cè)試過(guò)程相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：測(cè)試函數(shù)的維度D′分別設(shè)為20和40，GWO和HGWO算法的種群歸納和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為50和2 000，HGWO算法的學(xué)習(xí)因子c設(shè)為2，對(duì)比算法的其他參數(shù)維持與文獻(xiàn)[4]相同的取值。針對(duì)各個(gè)測(cè)試算例，2種算法均獨(dú)立運(yùn)行20次，表2歸納了2種算法的測(cè)試結(jié)果。

Table 2 Comparison of test results between GWO and HGWO

由表2的測(cè)試結(jié)果可知，相比于GWO算法，HGWO算法在各測(cè)試問(wèn)題上獲得的均值更小，這表明本文所提出的HGWO算法的整體優(yōu)化效果更令人滿(mǎn)意。同時(shí)，HGWO算法獨(dú)立運(yùn)行20次所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差相較于GWO算法更具優(yōu)勢(shì)，這說(shuō)明HGWO算法的穩(wěn)定性更強(qiáng)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證HGWO算法的尋優(yōu)性能，將其與另外3種改進(jìn)灰狼算法進(jìn)行對(duì)比，包括CGWO(Chaotic Grey Wolf Optimization)算法[16]、EGWO(Enhanced Grey Wolf Optimization)算法[17]和LGWO(Grey Wolf Optimizer with Lévy flight)[18]算法。測(cè)試過(guò)程相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：測(cè)試函數(shù)的維度D′設(shè)為40，4種測(cè)試算法的種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別設(shè)為50和2 000，對(duì)比算法的其他參數(shù)設(shè)為與文獻(xiàn)[16-18]相同的值。此外，針對(duì)各個(gè)測(cè)試算例，算法均獨(dú)立運(yùn)行20次，表3歸納了4種算法的測(cè)試結(jié)果。

由表3的測(cè)試結(jié)果可知，HGWO算法所得測(cè)試結(jié)果的均值優(yōu)于CGWO、EGWO和LGWO算法的，這表明反向?qū)W習(xí)機(jī)制和融合歷史信息的個(gè)體位置更新方法的嵌入，顯著提升了GWO算法的性能。同時(shí)，HGWO算法多次獨(dú)立運(yùn)行結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差更小，表明該算法的魯棒性更強(qiáng)，能更高效穩(wěn)定地求解各類(lèi)復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。

Table 3 Comparison of test resultsamong four improved GWOs

5.2 路徑規(guī)劃仿真

為進(jìn)一步驗(yàn)證HGWO的尋優(yōu)性能，進(jìn)行CGWO、EGWO、LGWO和HGWO算法求解簡(jiǎn)單環(huán)境以及復(fù)雜環(huán)境中路徑規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。2種環(huán)境下的障礙物總數(shù)分別設(shè)為6和12，且采樣導(dǎo)航點(diǎn)數(shù)和插值點(diǎn)數(shù)目分別設(shè)為10和100。測(cè)試過(guò)程的算法參數(shù)設(shè)置如下：4種算法的種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為30和300，HGWO算法的學(xué)習(xí)因子c設(shè)為2，對(duì)比算法的其他參數(shù)維持與參考文獻(xiàn)[16-18]相同的取值；對(duì)于2種測(cè)試環(huán)境，4種測(cè)試算法均獨(dú)立運(yùn)行20次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6～圖9以及表4和表5所示。

Figure 6 Optimal paths obtained by four GWOs in a simple environment圖6 簡(jiǎn)單環(huán)境中4種灰狼算法得到的最優(yōu)路徑

Figure 7 Optimal paths obtained by four GWOs in a complex environment圖7 復(fù)雜環(huán)境中4種灰狼算法得到的最優(yōu)路徑

Figure 8 Convergence curves obtained by four GWOs in a simple environment圖8 簡(jiǎn)單環(huán)境中4種灰狼算法的最優(yōu)進(jìn)化曲線(xiàn)

Figure 9 Convergence curves obtained by four GWOs in a complex environment圖9 復(fù)雜環(huán)境中4種灰狼算法的最優(yōu)進(jìn)化曲線(xiàn)

圖6和圖7分別展示了4種測(cè)試算法在簡(jiǎn)單環(huán)境和復(fù)雜環(huán)境下所得的最優(yōu)路徑，據(jù)此可知本文提出的HGWO算法所尋得的路徑曲線(xiàn)最短，特別是在復(fù)雜環(huán)境下，HGWO算法的優(yōu)越性更為顯著。與此同時(shí)，圖8和圖9給出了4種灰狼算法在

Table 4 Comparison of results obtained byfour GWOs in a simple environment

Table 5 Comparison of results obtainedby four GWOs in a complex environment

2種測(cè)試環(huán)境中的最優(yōu)進(jìn)化曲線(xiàn)，據(jù)此可知，反向?qū)W習(xí)初始化方法使得HGWO算法在初期能夠獲得高質(zhì)量的解，而融合歷史信息的個(gè)體位置更新方法和精英反向?qū)W習(xí)策略增強(qiáng)了算法的勘探能力，克服了傳統(tǒng)GWO算法易陷入局部最優(yōu)的不足。表4和表5歸納了各測(cè)試算法20次獨(dú)立運(yùn)行所得結(jié)果，據(jù)此可知，本文提出的HGWO算法所得的路徑曲線(xiàn)在最優(yōu)、最劣和均值3方面均獲得了最佳表現(xiàn)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文構(gòu)建了一種混合灰狼算法，并將其與Spline樣條插值法相結(jié)合以求解機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題。HGWO算法采用反向?qū)W習(xí)方法生成初始種群，著力提高初始解的質(zhì)量；在進(jìn)化過(guò)程中，借助灰狼個(gè)體的歷史信息指導(dǎo)種群進(jìn)化，并融合精英反向?qū)W習(xí)策略探索當(dāng)前種群中精英個(gè)體的反向解的空間信息，以達(dá)到增強(qiáng)算法勘探能力的目的。在實(shí)驗(yàn)部分，進(jìn)行了函數(shù)優(yōu)化以及路徑規(guī)劃2組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，HGWO算法的橫縱向?qū)Ρ葘?shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其良好的優(yōu)化精度和穩(wěn)健的魯棒性。