蔡江乾 蔡光程

摘 要：為減少圖像復原中產(chǎn)生的階梯效應和邊緣模糊現(xiàn)象，引入Hessian矩陣，設計帶有交疊組合稀疏化的雙正則項。采用一階交疊組合稀疏的正則項保留邊緣，同時采用二階交疊組合稀疏的正則項緩解一階正則項產(chǎn)生的階梯效應;通過構造兩個可分離算子最小化問題求解圖像復原問題，在乘子交替方向法（ADMM）的框架下，得出求解各子問題的迭代形式，并提出新的復原算法。實驗結果表明，峰值信噪比比傳統(tǒng)方法至少提高了0.8dB，結構相似度指數(shù)最高達0.9，最低為0.72。新算法在去除噪聲的同時，有效保留了圖像紋理信息。

關鍵詞：圖像復原;交疊組合稀疏;全變分;二階正則項;乘子交替方向法

DOI：10. 11907/rjdk. 201444 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

中圖分類號：TP317.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2020）007-0204-06

Image Restoration Using Total Variation with Two Overlapping Group Sparsity Regularizers

CAI Jiang-qian，CAI Guang-cheng

（Faculty of Science， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract： To reduce the staircase effect and the edge blur in the image restoration， the Hessian matrix is introduced to design two overlapping group sparsity regularizers. The idea is to preserve edges by using the first order term， and remove the staircase effect by using the second order term. Then the image restoration is achieved by constructing the minimization problem of two separable operators. In the framework of the alternating directions method of multipliers（ADMM）， the iterative form of the solution of each subproblem is obtained by deducing the optimization condition， and a new restoration algorithm is proposed. The experimental result demonstrates that the peak signal-to-noise ratio is improved by at least 0.8dB by comparing the traditional method， and the structure similarity index is as high as 0.9 and as low as 0.72. The new algorithm effectively retains the texture information of the image while removing the noise.

Key Words： image restoration; overlapping group sparsity; total variation;second order regularizer; ADMM

0 引言

圖像在形成、傳輸和存儲過程中不可避免地會受到隨機噪聲的影響，而在醫(yī)學、天文成像、工業(yè)成像等領域中，需要清晰的高質量圖像。圖像復原的目的是將被噪聲污染的圖像盡可能地還原為原始圖像，其在圖像處理中是最經(jīng)典的線性逆問題之一[1]。本文將原始圖像[u0]退化為含噪圖像[f]的模型考慮為：

其中，[H]表示大小為[n2×n2]的模糊矩陣，[η]表示均值為0，方差為[σ2]的噪聲圖像。假設圖像大小為[n×n]，與[f]、[u0]和[η]分別是由[n×n]圖像矩陣[n]列按順序疊加成長度為[n2]的列向量。將含噪圖像[f]復原回原始圖像[u0]，該問題是病態(tài)的[2]，為了消除其病態(tài)性，Tikhonov等[2]提出正則化方法，通過添加正則項穩(wěn)定模型的解。正則化方法可將模型（1）轉化為以下最小化問題。

其中，[u]表示恢復圖像，[？？？2]表示[L2]范數(shù);[φ]稱為正則化函數(shù);[λ（λ>0）]是正則項參數(shù)，作用是平衡保真項[f-Hu22]和正則項[φ（u）]。Rudin等[3]提出基于全變分（TV）的正則化模型，其中采用各項同性擴散TV模型能夠去除噪聲，但會使圖像邊緣部分模糊化;采用各項異性擴散全變分（ATV）模型雖然能夠保護圖像邊緣，但是平坦區(qū)域的噪聲抑制會不充分，從而導致虛假邊緣，產(chǎn)生階梯效應。

為抑制階梯效應，更好地保留圖像紋理信息， 2015年Liu等[4]提出了一種交疊組合稀疏化的全變分（OGSTV）圖像復原模型，該方法充分利用周圍像素點梯度信息，突出圖像邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域的差異性，從而達到更好的復原效果;2018年Ahlad Kumar等[5]提出一種加權交疊組合稀疏的去噪框架，該方法改進了OGSTV模型，更加突出圖像邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域的差異性;2019年Tarmizi Adam等[6]在OGSTV模型上加入高階非凸正則化構造模型，其中非凸高階正則項對圖像紋理局部部分有更大的平滑作用，同時可以保留銳利的邊緣;還有學者基于交疊組合稀疏化的復原方法進行了相應工作[7-9]。

以上方法均未研究高階正則項的交疊組合稀疏化。本文設計由Hessian矩陣元素組成的二階正則項，并對二階正則項的交疊組合稀疏化進行研究，最后構造出帶有交疊組合稀疏化的一階和二階雙正則項的復原框架，進而彌補一階正則項單一復原方法。該方法可在去噪和保留圖像的紋理信息方面發(fā)揮重要作用。

1 OGSTV模型與ADMM

1.1 OGSTV模型

Liu等[4]提出圖像[u∈Rn2]的[K×K]點組。

從式（4）可以看出，OGSTV正則項將圖像中的某一像素點和鄰近像素點的交疊組合稀疏特性結合起來，與傳統(tǒng)TV模型（[K=1]）相比，利用相鄰像素間相關性可以更加有效地防止圖像階梯效應的出現(xiàn)。

1.2 ADMM

ADMM是求解最小化問題的一種分裂收縮算法，兩個可分離算子的線性約束最小化問題[10]為：

其中，[θi：Zi→R]是閉凸函數(shù)，[Ai∈Rl×n2]是線性變換， [Zi∈Rn2]是非空閉凸集，[d∈Rl]是長度為[l]的列向量。

引入拉格朗日乘數(shù)[μ∈Rl]，則最小化問題（5）的拉格朗日函數(shù)為：

其中，[μT] 為[μ]的轉置，最小化問題（5）的增廣拉格朗日函數(shù)是由式（6）與等式線性約束的二次函數(shù)? [β2A1z1+A2z2-d22]構成，則

其中，[β>0]為等式約束的參數(shù)。

采用ADMM求解最小化問題式（5），其算法形式為：

算法1. 求解最小化問題（5）的ADMM

ADMM充分利用目標函數(shù)分離結構[θ1（z1）+][θ2（z2）]，它是增廣拉格朗日乘子法（ALM）的一個分裂版本，ALM在每次迭代中以高斯—賽德爾迭代法分解為3個子問題。

2 交疊組合稀疏雙正則項全變分模型與算法實現(xiàn)

2.1 交疊組合稀疏雙正則項全變分模型

本文設計了帶有OGS的雙正則項，提出最小化無約束問題。

其中，[λ1，λ2>0]是平衡保真項、一階正則項和二階正則項的正則項參數(shù)。[Du=（D（1）u，D（2）u）]，其中[D（1）u]和 [D（2）u]由[u]的Hessian矩陣的元素構成，定義為[D（1）u=uxx-uyy]，[D（2）u=-2uxy]，其離散形式分別為;

其中，[D（1）]和[D（2）]表示二階有限差分矩陣，其大小為[n2×n2]。

通過引入輔助變量[v1，v2，v3，v4，z]，將最小化問題（8）轉化為等價的約束最小化問題。

其中，[v]代表[v1，v2，v3，v4];集合[C=[0，255]]，[IC？]為[C]的示性函數(shù)，用以恢復0～255之間圖像的像素值，集合[C]的示性函數(shù)定義為：

因此，約束最小化問題（10）滿足式（5）中的框架，可寫成：

其中，[E]表示大小為[n2×n2]的單位矩陣，[0]表示長度為[n2]的列向量。

2.2 算法實現(xiàn)

令[H=E]，根據(jù)算法1，可以得到如下各子問題。

2.2.1 [u]-子問題

子問題（16）是一個最小二乘問題，可通過求以下正規(guī)方程解決。

式（18）的等式兩邊分別進行傅里葉變換[？]，故：

其中，[？-1]為傅里葉逆變換。如果采用循環(huán)邊界條件， [？T？=（？（1））T？（1）+（？（2））T？2]是塊循環(huán)—循環(huán)塊（BCCB， block-circular with circular-block）矩陣，可以通過快速傅里葉變換對BCCB矩陣進行求解[11]。

2.2.2 [v1，v2，v3，v4]-子問題

[v1]-子問題是交疊組合稀疏化問題。

按照OGS正則項定義，當組大小[K=1]時，[？（v1）=v11]。則[v1]-子問題的最優(yōu)性條件為：

其中，[ω1=？（1）u（k+1）+μ（k）1β]，sign表示符號函數(shù)。當組大小[K>1]時，問題（20）可以使用交疊組合稀疏全變分去噪問題的優(yōu)化—最小化（MM）方法迭代求解[12]。同理，按照上述步驟可以求解[v2，v3，v4]-子問題。

2.2.3 [z]-子問題

對于[z]-子問題

其最優(yōu)性條件為：

最后，給出拉格朗日乘數(shù)[μ（k+1）1，μ（k+1）2，μ（k+1）3]的迭代形式為：

綜合以上分析，提出算法2求解最小化問題（8）。

算法2：求解最小化問題（8）的算法。

（1）初始化[u（k），v（k）i，μ（k）i=0（i，j=1，2，？，5），k=0];[λ1，λ2>0];[β>0]

（2）while終止條件不滿足，執(zhí)行3、4、5、6、7步

（3）根據(jù)式（18）計算[u（k+1）]

（4）根據(jù)式（19）、（21）、（22）、（23）分別計算[v（k+1）1，v（k+1）2，][v（k+1）3，][v（k+1）4]

（5）根據(jù)式（25）計算[z（k+1）=u（k+1）+μ（k）5β]

（6）根據(jù)式（26）計算[μ（k+1）1，μ（k+1）2，μ（k+1）3，][μ（k+1）4]，[μ（k+1）5]

（7）[k=k+1]

（8）end while

可以看出，上述算法2是ADMM的一個實例，通過求解各子問題，式（8）的最小化問題即可得以解決。

3 數(shù)值實驗

為了驗證本文算法優(yōu)良性能，下文展現(xiàn)了一些實驗結果。圖1為用于實驗的6張測試圖像，大小為256×256的圖像有（a）、（b）和（c），大小為512×512的圖像有（d）、（e）和（f）。所有實驗都是在配置為Intel（R） Core（TM）i5-4210M CPU（2.60GHz，2.60GHz）和RAM為8GB的64位Windows10的Matlab 2016a桌面上進行。

通過峰值信噪比（PSNR）、均方誤差（MSE）和結構相似度指數(shù)（SSIM）指標衡量各算法性能。

其中，[u0]和[u]分別表示原始圖像和恢復圖像，M×N為圖像大小。PSNR越高與MSE越低，說明圖像復原效果越好。SSIM由Wang等[13]提出，它可以衡量兩幅圖像相似性。

[μu]和[μu0]分別為[u]和[u0]的均值，[σu]和[σu0]分別為[u]和[u0]的方差，[σuu0]是[u]和[u0]的協(xié)方差。[C1=（k1L）2]，[C2=（k2L）2]是用來維持穩(wěn)定的常數(shù)，[L]為像素值的取值范圍，[k1=0.01]，[k2=0.03]。SSIM的范圍是從0～1，當[u=u0]時，SSIM=1。

本文算法的停止條件滿足式（30）。

其中，[u（k）]和[u（k+1）]分別表示第[k]次和第[k+1]次迭代的恢復圖像。

3.1 參數(shù)設置

首先，需設置參數(shù)[λ1]，該參數(shù)起到控制一階正則項的作用。實驗中，[λ1]的選擇很大程度上決定了圖像復原的效果，若只依賴于[λ1]，會導致恢復圖像出現(xiàn)階梯效應及偽影，針對實驗中不同程度的含噪圖像，因此根據(jù)經(jīng)驗設置[λ1∈[0.15，0.95]]。

然后，調整重要參數(shù)組大小[K]，[K]越大會導致恢復圖像過于平滑且會增加CPU的運行時間，為了確定最優(yōu)的組大小，固定其它參數(shù)，通過改變組大小，對加入均值為0、標準差為20的噪聲所污染的圖像Lena和Peppers進行實驗，如圖2所示，可以看出[K=3]時，恢復圖像的PSNR最大，其恢復圖像Peppers的SSIM最大，因此，在實驗中設置組大小為3。

其次，設置OGS子問題（26）所需的MM迭代次數(shù)，在表1中，選取含[σ=20]的噪聲圖像Peppers和Lena進行實驗，給出了不同MM迭代次數(shù)下圖像復原后的PSNR、SSIM及CPU時間。如表1所示，MM迭代次數(shù)越大，所消耗的CPU時間越長，但對PSNR和SSIM的影響并不是很大，故此，設置迭代次數(shù)為30。

最后，設置二階正則項的參數(shù)[λ2]。通過調整[λ1]值，復原后的圖像將產(chǎn)生一定程度的階梯效應及偽影。另一方面，組越大會使恢復圖像越過于平滑。通過調優(yōu)[λ2]有助于消除恢復圖像階梯效應和偽影，同時保持更清晰的紋理，實驗得出[λ2∈[1.5，？？？？6.5]]。在所有實驗中，通過人為調參確定給定范圍內參數(shù)值，從而得到最佳PSNR和SSIM。

3.2 ATV及OGSTV對比實驗

將本文方法實驗結果與ATV 和OGSTV模型復原效果進行比較，以證明本文方法優(yōu)越性。在實驗中，原始圖像被[σ=20]的噪聲污染，不同方法復原結果如圖3—圖4所示。從圖中能觀察到，本文方法和OGSTV模型均可保護邊緣，緩解階梯效應，特別是對于具有平滑區(qū)域的圖像，但是OGSTV模型不能充分保留圖像紋理和細節(jié)信息，而ATV產(chǎn)生了階梯效應。此外，本文根據(jù)得到的PSNR、MSE、SSIM和CPU時間列出6張測試圖像實驗結果，如表2所示，[σ=20]時，通過不同方法的復原效果各指標比較可以看出，本文方法PSNR、MSE和SSIM均有明顯改善，在PSNR方面至少提高了0.8dB，SSIM最高達0.9，最低為0.78，且CPU時間消耗大幅減少。

3.3 BM3D對比實驗

基于塊匹配與三維濾波（BM3D）去噪方法[14]是圖像復原領域公認的主流方法。選取圖像Peppers，被[σ=25]的噪聲污染，采用本文方法與BM3D方法進行復原，得到PSNR與CPU時間結果，如圖5所示，BM3D得出的PSNR高于本文方法得到的PSNR;但是與BM3D相比，本文方法節(jié)省了CPU時間，明顯降低了時間復雜度。

4 結語

本文提出了基于交疊組合稀疏雙正則項的全變分模型，從而構造兩個可分離變量的最小化問題;在ADMM框架下，得出了各子問題最優(yōu)性條件和新的復原算法。實驗結果表明，與現(xiàn)有算法（見表2）相比，本文方法得到的PSNR、MSE、SSIM和CPU時間表現(xiàn)更優(yōu)，且該方法既能較好地緩解階梯效應，也能有效保留圖像紋理信息，視覺效果明顯改善。其不足之處是正則項參數(shù)和圖像組大小[K]需人工設置，不同的含噪圖像需經(jīng)過參數(shù)調節(jié)才能獲得最佳恢復圖像。未來工作將致力于設計自適應正則項參數(shù)和組大小的選取方法，針對含噪圖像的不同區(qū)域進行最佳復原，并進一步研究一種加速的復原算法，盡可能降低CPU時間消耗。

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（責任編輯：江 艷）