蔣寧，范偉，謝小東，郭風(fēng)元，李恩騰，趙世超

（浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，浙江杭州310023）

在過(guò)程工業(yè)中，換熱網(wǎng)絡(luò)作為能量回收子系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和改造，幫助企業(yè)增產(chǎn)、節(jié)能降耗、降低成本、減少污染排放等具有重要意義。換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化本質(zhì)上是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，需要綜合考慮經(jīng)濟(jì)性、環(huán)境影響、能耗等。傳統(tǒng)的換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化是采用一些數(shù)學(xué)方法將多目標(biāo)函數(shù)變成單目標(biāo)函數(shù)，然后將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，常用的方法主要包括加權(quán)求和法、ε-約束和NIMBUS 等[1]。Jin 等[2]將換熱網(wǎng)絡(luò)研究中的經(jīng)濟(jì)性和環(huán)境影響度兩個(gè)目標(biāo)量綱為1化，通過(guò)加權(quán)求和的方法，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)污染排放量下降68.07%。Francesconi 等[3]采用ε-約束簡(jiǎn)化乙醇生產(chǎn)的換熱網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化制氫效率和換熱面積兩個(gè)目標(biāo)，可以實(shí)現(xiàn)最大面積減少50%，制氫效率下降1%。Lauukkanen等[4]采用NIMBUS 交互式方法，將換熱單元數(shù)、總換熱面積、公用工程消耗量的多目標(biāo)優(yōu)化模型，簡(jiǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，使案例的總費(fèi)用下降32%。Sreepathi和Rangaiah[5]通過(guò)數(shù)據(jù)研究表明換熱面積、換熱單元數(shù)和公用消耗三個(gè)經(jīng)濟(jì)目標(biāo)存在相互競(jìng)爭(zhēng)的狀態(tài)，單純的單目標(biāo)優(yōu)化不能滿足實(shí)際工況的需求，多目標(biāo)優(yōu)化得出的Pareto解集能夠提供綜合考慮的方案。

Deb[6]提出了基于非支配排序的NSGA-Ⅱ算法，該算法能夠高效快速地求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，已被廣泛應(yīng)用到換熱網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化研究中。Agarwal 和Gupta[7]將NSGA-Ⅱ首次引入到換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化改造，并發(fā)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化得到的非支配解集的效果優(yōu)于單目標(biāo)優(yōu)化的唯一解的效果。Sreepathi和Rangaiah[8]提出再分配策略以適應(yīng)實(shí)際的換熱網(wǎng)絡(luò)改造問(wèn)題，針對(duì)投資成本和公用成本建立的多目標(biāo)模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解，最終得到了Pareto解集，該解集能夠給決策者提供更多樣的綜合方案。Lü 等[9]等考慮了年度總成本和系統(tǒng)可靠性，應(yīng)用NSGA-Ⅱ求解提出的多目標(biāo)模型，可以通過(guò)年度成本的小幅增加來(lái)實(shí)現(xiàn)換熱網(wǎng)絡(luò)耦合度的顯著降低。林露[10]綜合考慮了環(huán)境影響量、公用工程費(fèi)用和投資費(fèi)用的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用NSGA-Ⅱ算法得到Pareto前沿解，獲得了相對(duì)于文獻(xiàn)具有更低年度總費(fèi)用的解，同時(shí)也提供了多個(gè)備選方案。

在超過(guò)3個(gè)目標(biāo)的高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究中，NSGA-Ⅱ存在收斂性較差的問(wèn)題，因此學(xué)者們引入了基于參考點(diǎn)選擇機(jī)制的NSGA-Ⅲ算法，計(jì)算目標(biāo)數(shù)較多的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，以有效降低計(jì)算復(fù)雜度。研究表明，NSGA-Ⅲ在求解3～15個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有良好的表現(xiàn)[11]。Wang等[12]為了提高鋼鐵工業(yè)的產(chǎn)業(yè)體系整體性能，建立了最小化能耗、5 種污染物的減少量和經(jīng)濟(jì)成本共7 個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用了NSGA-Ⅲ和模糊C 均值聚類算法，給出了最佳的環(huán)境管理決策。對(duì)于NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法在求解不同的多目標(biāo)問(wèn)題的性能比較仍需進(jìn)一步研究。Ishibuchi 等[13]用DTLZ來(lái)測(cè)試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的性能，在多目標(biāo)的測(cè)試問(wèn)題上NSGA-Ⅲ并不總是優(yōu)于NSGA-Ⅱ，不同的測(cè)試問(wèn)題對(duì)計(jì)算性能和結(jié)果的影響要大于目標(biāo)數(shù)量的影響。Ciro 等[14]采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)中作業(yè)的總流動(dòng)時(shí)間、人和機(jī)械的工作負(fù)載的多目標(biāo)模型進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)于小尺寸實(shí)例，兩種算法具有相似的性能，對(duì)于大尺寸實(shí)例，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ有更好的性能。

在不同的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題研究中，兩種算法會(huì)呈現(xiàn)不同的性能。換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題是能源領(lǐng)域研究的重要問(wèn)題，由于其不僅需要考慮到能耗、投資成本、公用工程費(fèi)用等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，還需要考慮環(huán)境影響、改造工程量等其他指標(biāo)要求，特別是隨著環(huán)境要求和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)變得越來(lái)越嚴(yán)峻的形勢(shì)下，對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，需要考察和關(guān)注的性能指標(biāo)也呈現(xiàn)出多樣性的特點(diǎn)[15]。而優(yōu)化算法是求解換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵之一，迫切需要開(kāi)展相關(guān)研究和討論。單純根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)數(shù)量而不綜合考慮目標(biāo)的相關(guān)性，直接采用NSGA-Ⅱ或NSGA-Ⅲ是不合理的。因此，本文基于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，結(jié)合具體的換熱網(wǎng)絡(luò)案例，對(duì)兩種應(yīng)用較為廣泛的多目標(biāo)優(yōu)化算法，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ，開(kāi)展了性能對(duì)比研究，測(cè)試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的求解效果，考察不同數(shù)量目標(biāo)下兩種算法的收斂性和運(yùn)算效率，探索NSGA-Ⅱ算法應(yīng)用于3個(gè)以上目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題的可能性，并比較NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ獲得的解集方案的實(shí)際效果。相關(guān)研究結(jié)果也可為能源領(lǐng)域其他多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究和優(yōu)化算法選擇提供參考。

圖1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的選擇機(jī)制

1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ原理

NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法如圖1 所示。NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ是基于基本遺傳算法，通過(guò)引入Pareto機(jī)制和非支配解的概念，形成了區(qū)別簡(jiǎn)單遺傳算法的選擇機(jī)制[16]。該選擇機(jī)制充分利用個(gè)體間的支配和非支配關(guān)系，對(duì)種群進(jìn)行分層，非支配層越高的個(gè)體被選擇的概率越大；同時(shí)，為了豐富種群的多樣性，NSGA-Ⅱ通過(guò)引入擁擠度算子[17]或聚類算子[18]來(lái)計(jì)算個(gè)體之間的擁擠度距離，如圖2 所示；NSGA-Ⅲ[11,19]則通過(guò)引入?yún)⒖键c(diǎn)，表示期望的理想解，并通過(guò)關(guān)聯(lián)和小生境操作，忽略目標(biāo)空間中距離較近的解，從而得到一組靠近參考點(diǎn)的優(yōu)化解集，如圖3所示。

1.1 NSGA-Ⅱ擁擠度距離算子

NSGA-Ⅱ?yàn)榱藢?shí)現(xiàn)在執(zhí)行選擇的過(guò)程中，同一層的個(gè)體會(huì)因較大的擁擠度距離有更高的概率被選入到下一代的種群中，個(gè)體擁擠距離是目標(biāo)空間上與i 相鄰的2 個(gè)體i+1 和i-1 之間的距離如圖2 所示，其計(jì)算步驟如下[17]。

圖2 擁擠距離計(jì)算

圖3 參考點(diǎn)機(jī)制

（1）對(duì)同層的個(gè)體初始化距離。令L[i]d=0，其中L[i]d表示任意個(gè)體i的擁擠距離。

（2）對(duì)同層的個(gè)體按第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)值升序排列。

（3）排序邊緣上的個(gè)體具有選擇優(yōu)勢(shì)，令L[0]d=L[I]d=∞。

（4）對(duì)排在中間的個(gè)體，求擁擠距離，可由式(1)得到。

其中，L[i+1]m為第i+1個(gè)體的第m目標(biāo)函數(shù)值，和分別為集合中第m 目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。

（5）對(duì)不同的目標(biāo)函數(shù)重復(fù)步驟(2)～(4)，得到個(gè)體i 的擁擠距離L[i]d，通過(guò)優(yōu)先選擇擁擠距離較大的個(gè)體，使計(jì)算結(jié)果子目標(biāo)的空間分布比較均勻，以維持種群的多樣性。

1.2 NSGA-Ⅲ參考點(diǎn)機(jī)制

引入基于參考點(diǎn)的NSGA-Ⅲ，通過(guò)預(yù)先定義跨越整個(gè)Pareto前沿的一組搜索方向，并且每個(gè)方向執(zhí)行多次搜索，從而獲得廣泛分布在Pareto最優(yōu)前沿上的最佳解集；同時(shí)預(yù)定義多個(gè)參考點(diǎn)來(lái)替代搜索方向，利用對(duì)應(yīng)于每個(gè)參考點(diǎn)的解以獲得廣泛分布的Pareto最優(yōu)解集，其中歸一化操作是參考點(diǎn)機(jī)制的核心，具體步驟如下[11,19]。

（1）計(jì)算理想點(diǎn)，針對(duì)M 維的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，分別求取種群在目標(biāo)每個(gè)維度上的最小值，將這些最小值z(mì)i,min構(gòu)成的集合定義為理想點(diǎn)集Zmin[式(2)]。

（2）轉(zhuǎn)譯目標(biāo)值fi′(x)[式(3)]，為創(chuàng)建線性超平面并求取每個(gè)目標(biāo)軸上的截距，采用St目標(biāo)值f1減去每個(gè)目標(biāo)的理想點(diǎn)zm,min的方法對(duì)所有目標(biāo)值進(jìn)行轉(zhuǎn)譯，得到轉(zhuǎn)譯種群S′t。

（3）計(jì)算各目標(biāo)的極值點(diǎn)zi,max，采用標(biāo)量化函數(shù)（ASF）計(jì)算出每個(gè)目標(biāo)值在某i 維目標(biāo)方向上的投影值并找出每個(gè)x在第i維目標(biāo)的最大投影值，從最大投影值中選擇最值對(duì)應(yīng)的x 為第i 維目標(biāo)的極值點(diǎn)zi,max[式(4)]。

（4）構(gòu)建線性超平面并計(jì)算截距ɑi，實(shí)現(xiàn)種群個(gè)體目標(biāo)值的歸一化，根據(jù)線性超平面的通用方程[式(5)]將每個(gè)維度上的極值點(diǎn)Zmax代入上述方程，得到超平面具體的形式，進(jìn)而求得該超平面與每個(gè)維度方向的截距ɑi。

（5）種群目標(biāo)值歸一化，每個(gè)個(gè)體目標(biāo)值歸一化公式如式(6)。

其中，上角標(biāo)n表示歸一化。

通過(guò)關(guān)聯(lián)操作，在歸一化的目標(biāo)空間內(nèi)，將距離種群個(gè)體s最近的參考線w對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)定義與s關(guān)聯(lián)。種群個(gè)體與參考點(diǎn)關(guān)聯(lián)示意圖（以3維目標(biāo)10個(gè)結(jié)構(gòu)化參考點(diǎn)為例），如圖3所示。

2 換熱網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化改造問(wèn)題

2.1 模型與約束

本文沿用Yee 和Grossman[20]所提出的分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型，同時(shí)取消了超結(jié)構(gòu)模型中的非等溫混合假設(shè)。本文優(yōu)化改造滿足熱平衡約束、質(zhì)量守恒約束、傳熱方程、過(guò)程物流非等溫混和能量平衡、流股的入口溫度約束、可行性溫差約束、最小傳熱溫差約束[21]。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化改造問(wèn)題，通常涉及的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)包括以下方面。

（1）最小能耗

換熱網(wǎng)絡(luò)需要在冷、熱流股末端配置公用工程換熱器，以實(shí)現(xiàn)流股終端溫度符合工藝要求。其中，公用工程換熱器的能耗反映了換熱網(wǎng)絡(luò)需要消耗多少公用工程負(fù)荷，包括熱公用工程負(fù)荷和冷公用工程負(fù)荷。其表達(dá)式如式(7)所示。

式中，qcui、qhuj分別表示第i股熱過(guò)程流體上的冷公用工程負(fù)荷、第j 股冷過(guò)程流體上的熱公用工程負(fù)荷。

（2）最小環(huán)境影響量

本文基于ISO 14040/44，采用LCA方法中最新的ReCiPe 指標(biāo)[22]進(jìn)行建模，環(huán)境影響數(shù)據(jù)取自于EcoInvent v 3.2 生命周期清單數(shù)據(jù)庫(kù)。對(duì)于冷公用工程（通常為冷卻水），將原始數(shù)據(jù)的單位轉(zhuǎn)化為points/(kW·a)以便案例使用。為簡(jiǎn)化模型的復(fù)雜程度，此處假設(shè)所采用的換熱器的材料均為不銹鋼，設(shè)備運(yùn)行時(shí)間為8000h/a，換熱器的質(zhì)量（mex）可由式(8)計(jì)算得到。

式中，A、δ 和D 分別代表?yè)Q熱器面積、厚度和不銹鋼密度；根據(jù)文獻(xiàn)[20]推薦，厚度δ 和不銹鋼密度D分別取5.0×10-3m和7900kg/m3。

本文建立的環(huán)境影響目標(biāo)函數(shù)，其包括冷、熱公用工程的產(chǎn)生以及換熱器的生產(chǎn)所帶來(lái)的環(huán)境影響。可由式(9)計(jì)算得到。

式中，EP、m 和LT 分別表示生態(tài)點(diǎn)值、換熱器質(zhì)量和設(shè)備使用年限；z 表示換熱器存在與否的二元變量；下角標(biāo)cu、hu 和ss 分別表示冷、熱公用工程和不銹鋼（stainless steel）。

（3）改造工程量

改造工程量（retrofit engineering quantity，REQ）指標(biāo)，反映對(duì)現(xiàn)有換熱網(wǎng)絡(luò)實(shí)施不同的改造工程的相對(duì)難易程度。換熱網(wǎng)絡(luò)改造過(guò)程一般包括：新布管、移動(dòng)原有換熱設(shè)備、改變物流間的匹配關(guān)系、原有換熱設(shè)備面積的增減和新增換熱器等。根據(jù)實(shí)際的換熱網(wǎng)絡(luò)改造所面臨的工況，并根據(jù)是否增加新的匹配關(guān)系。具體的改造工程量分為：回用原網(wǎng)絡(luò)的換熱器（包括增加面積和減少面積兩種情況）、移動(dòng)回用的原網(wǎng)絡(luò)的換熱器（包括用于原有匹配關(guān)系和新增匹配關(guān)系兩種情況）、需要新增換熱器（包括用于原有匹配關(guān)系和新增匹配關(guān)系兩種情況）和設(shè)置旁路，每種改造工程需要的工程量系數(shù)見(jiàn)表1。則總的改造工程量可由式(10)計(jì)算得到：

其中，w1、w2、w3、w4、w5、w6和w7分別代表7個(gè)分項(xiàng)的工程量系數(shù)（表1）；n1、n2、n3、n4、n5、n6和n7分別代表7個(gè)分項(xiàng)以自然計(jì)數(shù)單位表示的需要實(shí)施的改造工程量。

（4）最小年度投資費(fèi)用

換熱網(wǎng)絡(luò)改造過(guò)程的投資成本（capital cost，CC），包括現(xiàn)有換熱器增加面積的改造費(fèi)用、新增換熱器的費(fèi)用，其函數(shù)表達(dá)式如式(11)所示。

式中，nn、na分別代表新增換熱器數(shù)目和增加面積的現(xiàn)有換熱器數(shù)目；FC、ACn、Bn和ACa、Ba分別代表新增換熱器的成本計(jì)算參數(shù)和現(xiàn)有換熱器增加面積的成本計(jì)算參數(shù)；AF 是指改造投資費(fèi)用的年度因子，其計(jì)算方法如式(12)。

其中，r、Y分別代表年利率和使用年限。

（5）最小年度公用工程費(fèi)用

公用工程費(fèi)用（utility cost，UC）包括熱公用工程的消耗費(fèi)用和冷公用工程所帶來(lái)的費(fèi)用，其目標(biāo)函數(shù)如式(13)所示。

式中，UOCcu、UOChu分別表示冷、熱公用工程的單位操作成本；qcui、qhuj分別表示第i股熱過(guò)程流體上的冷公用工程負(fù)荷、第j 股冷過(guò)程流體上的熱公用工程負(fù)荷。

（6）最小年度總費(fèi)用

年度總費(fèi)用（total annual cost）一般由公用工程費(fèi)用和投資費(fèi)用兩部分構(gòu)成。換熱網(wǎng)絡(luò)改造通過(guò)增加新的設(shè)備投資，盡可能經(jīng)濟(jì)地回收物流的有效能量，以達(dá)到減少公用工程能耗的目的。從操作成本和投資成本的角度綜合權(quán)衡，得到換熱網(wǎng)絡(luò)的總費(fèi)用，可由式(14)計(jì)算得到。

3 案例及性能分析

將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種多目標(biāo)算法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究，比較兩種算法的收斂性、運(yùn)算效率、解集分布和案例結(jié)果。本文的NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法基于MATLAB2018b編寫，初始參數(shù)設(shè)定為：種群大小為200，最大進(jìn)化代數(shù)200，交叉和變異概率分別為0.8和0.005。

3.1 案例1

本文對(duì)文獻(xiàn)[23]的原油蒸餾系統(tǒng)進(jìn)行研究，案例包含10條熱物流和5條冷物流，其物流數(shù)據(jù)與相關(guān)費(fèi)用參數(shù)如表2和表3所示，初始的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖4 所示。原始換熱網(wǎng)絡(luò)消耗熱公用工程9.537×104kW/a，冷公用工程5.792×104kW/a，環(huán)境影響量為1.797×107pts/a，產(chǎn)生的公用工程費(fèi)用為1.393×107USD/a。

表1 分項(xiàng)間的工程量換算系數(shù)

表2 物流數(shù)據(jù)參數(shù)及生態(tài)點(diǎn)取值

表3 各項(xiàng)費(fèi)用的相關(guān)參數(shù)

3.1.1 收斂性比較

通過(guò)選擇測(cè)試不同數(shù)量的目標(biāo)，研究NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法在不同目標(biāo)數(shù)量的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中的收斂性，采用每一代所有個(gè)體的平均歐式距離來(lái)衡量迭代的收斂程度。如圖5和圖6為不同數(shù)量的目標(biāo)情況下NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的收斂曲線，可以看出歐式距離隨著迭代次數(shù)的增加，歐式距離的值最終趨于0，最終收斂曲線越來(lái)越平緩，這說(shuō)明在迭代過(guò)程中，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法都逐漸收斂，解集逐漸趨于穩(wěn)定。從圖5所示的NSGA-Ⅱ算法的收斂曲線，目標(biāo)個(gè)數(shù)為2、3、4個(gè)時(shí)，NSGA-Ⅱ算法的收斂速度都比較快，進(jìn)化約30～40 代，已基本收斂；在算法初期，目標(biāo)數(shù)為2個(gè)和3個(gè)時(shí)的收斂趨勢(shì)優(yōu)于目標(biāo)數(shù)為4 個(gè)時(shí)的情況；目標(biāo)個(gè)數(shù)為2、3、4 個(gè)時(shí)，NSGA-Ⅱ算法最終都能實(shí)現(xiàn)較好的收斂效果。從圖6所示的NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線，目標(biāo)數(shù)為2個(gè)和4個(gè)時(shí)的收斂速度比目標(biāo)數(shù)為3個(gè)時(shí)更快；目標(biāo)數(shù)為2和4個(gè)時(shí)，進(jìn)化約50代之后基本收斂，而目標(biāo)數(shù)為3 個(gè)時(shí)，進(jìn)化150 代之后才收斂；目標(biāo)個(gè)數(shù)為2、3、4個(gè)時(shí)，NSGA-Ⅲ算法最終也能達(dá)到較好的收斂效果。Deb等[11]認(rèn)為NSGA-Ⅲ在求解大于3個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題有良好表現(xiàn)，而NSGA-Ⅱ不具備優(yōu)化大于3個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題的能力。如圖7所示，NSGA-Ⅱ算法在求解4個(gè)目標(biāo)的換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，算法也可以實(shí)現(xiàn)收斂；用NSGA-Ⅱ求解能耗、環(huán)境影響量、公用工程費(fèi)用以及年度總費(fèi)用4個(gè)相關(guān)性較高目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，其收斂性優(yōu)于NSGA-Ⅱ求解環(huán)境影響量、改造工程量、投資費(fèi)用和公用工程費(fèi)用4個(gè)目標(biāo)相關(guān)性較低的優(yōu)化問(wèn)題的收斂性，收斂曲線更加平滑。NSGA-Ⅲ算法在求解4個(gè)目標(biāo)相關(guān)性較高和相關(guān)性較低的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，都能保證收斂；而NSGA-Ⅱ算法的收斂性則受目標(biāo)相關(guān)性和目標(biāo)數(shù)量的共同影響。由于NSGA-Ⅲ算法采用了基于參考點(diǎn)的選擇機(jī)制，在高維目標(biāo)的收斂性要明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ算法。因此，對(duì)于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，NSGA-Ⅱ算法的應(yīng)用并不嚴(yán)格地受限于3個(gè)目標(biāo)的最大目標(biāo)數(shù)量，NSGA-Ⅱ在求解大于3個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)也可能具有良好的性能，目標(biāo)數(shù)量并非選擇NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，特別是對(duì)于相關(guān)性較高的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，可以采用NSGA-Ⅱ算法實(shí)現(xiàn)快速尋優(yōu)。

圖4 案例1現(xiàn)有原油蒸餾系統(tǒng)換熱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖5 NSGA-Ⅱ的收斂曲線

圖6 NSGA-Ⅲ的收斂曲線

圖7 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法用于4個(gè)相關(guān)目標(biāo)和不相關(guān)目標(biāo)的收斂曲線

3.1.2 運(yùn)行效率比較

圖8 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系圖

如圖8 所示，NSGA-Ⅱ在種群數(shù)量200 的條件下，目標(biāo)數(shù)為2、3、4的運(yùn)行時(shí)間持平；同時(shí)隨著種群數(shù)量增多后，例如在種群數(shù)量為400 的條件下，不同目標(biāo)數(shù)的運(yùn)行效率的差距不大。NSGA-Ⅲ在種群數(shù)量200 的條件下，目標(biāo)數(shù)為2、3、4 的運(yùn)行時(shí)間差距較大，尤其是在目標(biāo)數(shù)為4 的條件下，運(yùn)行時(shí)間是目標(biāo)數(shù)為2的運(yùn)行時(shí)間的近2倍；當(dāng)種群數(shù)量增加到400 時(shí)，目標(biāo)數(shù)為2 的運(yùn)行時(shí)間已高達(dá)1930s，是種群200、目標(biāo)數(shù)為2 的運(yùn)行時(shí)間的2.3 倍。相同的種群數(shù)量，NSGA-Ⅲ的運(yùn)行效率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于NSGA-Ⅱ的運(yùn)行效率，在目標(biāo)數(shù)為4，種群數(shù)量為200時(shí)，NSGA-Ⅲ的運(yùn)行時(shí)間是NSGA-Ⅱ的2.7 倍；在目標(biāo)數(shù)為4，種群數(shù)量為400 時(shí)，NSGA-Ⅲ的運(yùn)行時(shí)間時(shí)NSGA-Ⅱ的2.1倍。在目標(biāo)數(shù)為2和3的條件下，隨著種群數(shù)量的增加，兩種算法之間的運(yùn)算時(shí)間差距越來(lái)越大。在目標(biāo)數(shù)為4的條件下，隨著種群數(shù)量的增加，兩種算法之間的運(yùn)算時(shí)間差距變化不大，這主要是因目標(biāo)數(shù)量增加帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜度已超過(guò)種群數(shù)量計(jì)算所帶來(lái)的影響。

3.1.3 解集分布及目標(biāo)之間關(guān)系

選取環(huán)境影響量、改造工程量、投資成本和公用工程費(fèi)用4個(gè)目標(biāo)，考察解集的分布和任意兩個(gè)目標(biāo)之間的關(guān)系，如圖9 所示。圖9(a)反映了環(huán)境影響量和改造工程量的關(guān)系，改造工程量隨著環(huán)境影響量的增大而減?。粡慕饧姆植记闆r來(lái)看，靠近原點(diǎn)的解集中，NSAG-Ⅱ得到的解集的數(shù)量更多，有利于獲得更低的環(huán)境影響量和改造工程量。圖9(b)反映了環(huán)境影響量和投資成本的關(guān)系，投資成本越大，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化較大，獲得部分更節(jié)能的結(jié)構(gòu)，所需要的冷熱公用工程負(fù)荷更少，從而環(huán)境影響量更小。從解集的分布來(lái)看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點(diǎn)，說(shuō)明NSGA-Ⅲ解集中可以獲得具有更低投資成本和環(huán)境影響量的解。圖9(c)反映環(huán)境影響量和公用工程費(fèi)用的關(guān)系，公用工程費(fèi)用和環(huán)境影響量呈明顯的線性關(guān)系，同時(shí)NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ都有數(shù)量相當(dāng)?shù)慕饧植荚诟〉墓霉こ毯铜h(huán)境影響量的范圍。圖9(d)反映了投資成本和改造工程量的關(guān)系，從圖中無(wú)法看出這兩個(gè)目標(biāo)之間的關(guān)系，說(shuō)明投資成本和改造工程量之間的相關(guān)性較低。圖9(e)反映了改造工程量和公用工程費(fèi)用的關(guān)系，隨著改造工程量的增加，公用工程費(fèi)用顯著減小，這是因?yàn)楦脑旃こ塘吭酱?，?duì)原始換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的調(diào)整越大，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致所需的公用工程負(fù)荷減少，從而降低了公用工程費(fèi)用；從解集分布上來(lái)看，NSGA-Ⅱ算法的解集分布更靠近原點(diǎn)，更容易獲得改造工程量更低和公用工程費(fèi)用更小的解。圖9(f)反映了投資成本和公用工程費(fèi)用的關(guān)系，投資成本越大，公用工程費(fèi)用越小，這主要是因?yàn)?，?duì)原始的網(wǎng)絡(luò)通過(guò)新增換熱器、增大換熱器的換熱面積以及重新布管所產(chǎn)生的費(fèi)用越大，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的效果也更明顯，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)更加節(jié)能的換熱匹配布局；從解集分布上來(lái)看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點(diǎn)，可以獲得具有更低投資成本和公用工程費(fèi)用的解。

3.1.4 目標(biāo)函數(shù)性能的比較

從NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法優(yōu)化得到解集中，選出各目標(biāo)的最小值，結(jié)果見(jiàn)表4。單一目標(biāo)的最小值反映出各個(gè)評(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的極值情況。從單一目標(biāo)上來(lái)看，NSGA-Ⅱ得到的最小能耗、最小環(huán)境影響量、最小改造工程量、最小投資費(fèi)用和最小公用工程費(fèi)用要比NSGA-Ⅲ要小，其中最小能耗減少1.4%，最小環(huán)境影響量減少1%，最小改造工程量減少25.2%，最小投資費(fèi)用減少14%，最小公用工程費(fèi)用減少1%。

圖10 給出了采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化所得到的具有最小年度總成本的改造方案，其中物流上方正體數(shù)字表示溫度的分布，單位為℃；斜體表示流股的熱容流率；公用工程為冷熱流股的出口的換熱器；換熱器面積括號(hào)內(nèi)的數(shù)值為在原有換熱器的基礎(chǔ)上進(jìn)行的面積增減值。從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖中，可以看出該改造方案回用了15 臺(tái)換熱器，其中共增加換熱面積180.17m2，共需費(fèi)用11.21×104USD；新增5 臺(tái)換熱器，共需費(fèi)用28.16×105USD；其中有15 臺(tái)需要改變?cè)械钠ヅ潢P(guān)系，但本案例原始網(wǎng)絡(luò)未考慮布管和變動(dòng)匹配所帶來(lái)的費(fèi)用，因此忽略該部分的成本。所以改造過(guò)程所帶來(lái)的改造投資總費(fèi)用為29.28×105USD，年度化投資費(fèi)用為5.86×105USD/a。通過(guò)與原始案例相比，從節(jié)能的角度分析，改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需的熱公用工程為6.61×104kW/a，冷公用工程2.88×104kW/a，較原有換熱網(wǎng)絡(luò)分別減少了30.66% 和50.26%，總能耗減少了5.83×104USD/a，降至9.49×104kW/a，降幅為58.35%，公用工程費(fèi)用減少至9.55×106USD/a。綜上所述，該方案的投資回報(bào)期為0.22年。從環(huán)境角度分析，原有換熱網(wǎng)絡(luò)經(jīng)優(yōu)化改造后，環(huán)境影響量從1.797×107pts/a降低至1.24×107pts/a，降幅為30.76%。

表4 兩種算法優(yōu)化方案各目標(biāo)最小值

圖9 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系

將本文采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化的結(jié)果，與以往的文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比分析，具體情況見(jiàn)表5。由表5 可知，與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅱ改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需熱公用工程減少16.75%～29.53%，冷公用工程減少31.10%～49.03%，因而年公用費(fèi)用成本降低16.96%～30.65%，年度總費(fèi)用TAC 減少14.15%～26.06%。采用NSGA-Ⅲ改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需熱公用工程減少15.87%～28.78%，冷公用工程減少29.43%～47.79%，因而年公用費(fèi)用成本降低16.09%～29.92%，年度總費(fèi)用TAC 減少14.75%～26.57%。從具有最小年度總費(fèi)用的改造方案來(lái)看，NSGA-Ⅱ與NSG-Ⅲ獲得的改造方案相比，熱公用下降1%，冷公用下降2.3%，環(huán)境影響量下降0.4%，公用工程費(fèi)下降0.5%，投資成本上升42.75%，年度總費(fèi)用僅上升0.7%。

圖10 案例1改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

表5 改造結(jié)果與文獻(xiàn)對(duì)比分析

圖11 本文工作與文獻(xiàn)的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)比較

從圖11 可以看出，本文NSGA-Ⅱ的改造方案節(jié)省的公用工程費(fèi)用和獲得的年度化改造收益都比以往研究得到的改造方案更好，NSGA-Ⅱ的改造方案節(jié)省的公用工程費(fèi)用要略優(yōu)于NSGA-Ⅲ的改造方案，NSGA-Ⅲ改造方案的年度化改造收益要略優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案。

3.2 案例2

本文對(duì)文獻(xiàn)[25]的原油精餾系統(tǒng)進(jìn)行研究，案例包含7條熱物流和3條冷物流，其物流數(shù)據(jù)與相關(guān)費(fèi)用參數(shù)見(jiàn)表6、表7，初始的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖12 所示。原始換熱網(wǎng)絡(luò)消耗熱公用工程1.0×105kW/a，冷公用工程6.6×104kW/a，環(huán)境影響量為2.289×107pts/a，產(chǎn)生的公用工程費(fèi)用為6.33×106USD/a。換熱器的總傳熱系數(shù)為0.4kW/(m2·℃)。

3.2.1 收斂性比較

對(duì)該換熱網(wǎng)絡(luò)建立高維多目標(biāo)優(yōu)化模型，綜合考慮了能耗、環(huán)境影響量、改造工程量、年度投資費(fèi)用、公用工程費(fèi)用和年度總費(fèi)用。NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)高維多目標(biāo)優(yōu)化模型的收斂性，如圖13 所示。采用NSGA-Ⅲ算法得到的收斂曲線比NSGA-Ⅱ算法更加平穩(wěn)，但兩種算法都實(shí)現(xiàn)了收斂。該案例再次說(shuō)明對(duì)于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，NSGA-Ⅱ算法的應(yīng)用不嚴(yán)格地受限于目標(biāo)的數(shù)量，對(duì)于6個(gè)目標(biāo)的高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，NSGA-Ⅱ也實(shí)現(xiàn)了收斂。

表6 物流數(shù)據(jù)參數(shù)及生態(tài)點(diǎn)取值

表7 各項(xiàng)費(fèi)用的相關(guān)參數(shù)

3.2.2 目標(biāo)函數(shù)性能的比較

分別采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法進(jìn)行求解，得到各目標(biāo)的最小值，結(jié)果見(jiàn)表8。從單一目標(biāo)上來(lái)看，NSGA-Ⅲ算法得到的最小能耗、最小環(huán)境影響量、最小投資費(fèi)用、最小公用工程費(fèi)用和最小年度總費(fèi)用這5 個(gè)目標(biāo)的最小值均優(yōu)于NSGA-Ⅱ算法得到的目標(biāo)最小值，其中最小能耗下降3.0%，最小環(huán)境影響量下降2.4%，最小投資成本下降61.7%，最小公用工程費(fèi)用下降2.5%，最小年度總費(fèi)用下降3.3%。NSGA-Ⅱ算法的最小改造工程量為15.6，比NSGA-Ⅲ算法的最小改造工程量下降21.2%。

圖12 案例2現(xiàn)有換熱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表8 兩種算法優(yōu)化方案各目標(biāo)最小值

圖13 案例2 中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線

圖14 給出了采用NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化得到的最小年度總費(fèi)用的改造方案，該改造方案回用了11臺(tái)換熱器，其中增加換熱面積87.66m2，共需費(fèi)用2.63×104USD；新增8 臺(tái)換熱器，共需費(fèi)用4.46×105USD；移動(dòng)和布管的費(fèi)用共需2250USD，該改造方案的總投資費(fèi)用為4.74×105USD，年度化投資費(fèi)用為9.48×104USD/a。將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)問(wèn)題得到的解集，選擇最小年度總費(fèi)用的方案與原文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比分析，見(jiàn)表9。由表9 可知，與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的換熱網(wǎng)絡(luò)所需熱公用工程減少9.2%，冷公用工程減少13.93%，環(huán)境影響量減少9.13%，公用工程費(fèi)用減少9.48%，年度總費(fèi)用減少8.1%，投資回報(bào)期為0.79a。與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化的改造方案所需熱公用工程減少8.5%，冷公用工程減少12.88%，環(huán)境影響量減少8.69%，公用工程費(fèi)用減少8.69%，年度總費(fèi)用減少4.9%，投資回報(bào)期為2.23a。從兩種算法獲得的解集中選擇最小年度總費(fèi)用的改造方案，NSGA-Ⅲ的改造方案在投資成本和年度總費(fèi)用明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案，投資費(fèi)用減少61.62%，年度總費(fèi)用減少3.32%，投資回報(bào)期減少64.68%。

從圖15 可以看出，對(duì)高維多目標(biāo)的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，采用NSGA-Ⅲ的改造方案節(jié)省的公用工程費(fèi)用、節(jié)省的年度總費(fèi)用和年度化改造收益均優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案，節(jié)省的公用工程增加9.1%，節(jié)省的年度總費(fèi)用增加64.5%，年度化改造收益增加5.6倍，高達(dá)4.15×105USD/a。

4 結(jié)論

本文針對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，研究比較了NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的性能，結(jié)合具體的換熱網(wǎng)絡(luò)改造案例，考察了兩種算法的收斂性、運(yùn)算時(shí)間、解集分布和各目標(biāo)之間的關(guān)系，對(duì)兩種算法的性能和優(yōu)化方案進(jìn)行了深入討論，并獲得如下結(jié)論。

（1）目標(biāo)之間的相關(guān)性應(yīng)該被考慮到多目標(biāo)算法的選擇標(biāo)準(zhǔn)中。案例1 選取能耗、環(huán)境影響量、公用工程費(fèi)用以及年度總費(fèi)用4個(gè)相關(guān)性較高的目標(biāo)建立換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)模型時(shí)，NSGA-Ⅱ算法具有更好的收斂性。案例2 選取能耗、環(huán)境影響量、改造工程量、年度投資費(fèi)用、公用工程費(fèi)用和年度總費(fèi)用建立的高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型，NSGA-Ⅲ算法具有更好的收斂性。

圖14 案例2改造后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

表9 改造結(jié)果與文獻(xiàn)的對(duì)比分析

圖15 案例2中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ得到結(jié)果的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)比較

（2）NSGA-Ⅱ運(yùn)行效率受目標(biāo)數(shù)量的影響較小，NSGA-Ⅲ運(yùn)行效率受目標(biāo)數(shù)量的影響較大。在種群數(shù)量較小、目標(biāo)數(shù)量較小的條件下，NSGA-Ⅲ的運(yùn)行效率略低于NSGA-Ⅱ；但在種群數(shù)量較大，或者目標(biāo)數(shù)量增加的條件下，NSGA-Ⅲ的運(yùn)行效率要遠(yuǎn)低于NSGA-Ⅱ，NSGA-Ⅲ的運(yùn)算時(shí)間是NSGA-Ⅱ的2倍以上。

（3）10×5 換熱網(wǎng)絡(luò)案例研究表明，目標(biāo)相關(guān)性較高的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，NSGA-Ⅱ比NSGA-Ⅲ更易獲得各目標(biāo)的最小值，根據(jù)最小年度總費(fèi)用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅱ與NSGA-Ⅲ獲得的最優(yōu)結(jié)果的效果相近，年度總成本僅相差0.7%。與文獻(xiàn)相比，本文NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ均獲得了年度總費(fèi)用更低的改造方案，年度總成本分別下降了14.15%～26.06%和14.75%～26.57%。7×3 換熱網(wǎng)絡(luò)案例研究表明，對(duì)于高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ更易獲得各目標(biāo)的最小值，根據(jù)最小年度總費(fèi)用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅲ明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ，投資成本減少61.62%，年度總費(fèi)用減少3.32%，投資回報(bào)周期減少64.68%。

符號(hào)說(shuō)明

A—— 換熱面積，m2

ΔA—— 現(xiàn)有換熱設(shè)備增加的面積，m2

AF—— 投資費(fèi)用年度化因子

AC—— 面積費(fèi)用系數(shù)

B—— 面積費(fèi)用指數(shù)

CC—— 投資費(fèi)用，USD

D—— 不銹鋼的密度，kg/m3

EC—— 能耗，kW

EI—— 環(huán)境影響量

EP—— 生態(tài)點(diǎn)值

FC—— 新增換熱設(shè)備的固定費(fèi)用，USD

LT—— 設(shè)備使用年限，a

mex—— 換熱器質(zhì)量，kg

qcu,qhu—— 分別為熱物流和冷物流上的公用工程熱負(fù)荷，kW

r—— 年利率

REQ—— 改造工程量

TAC—— 年度總費(fèi)用，USD/a

UC—— 公用工程費(fèi)用，USD/a

UOC—— 公用工程單位操作費(fèi)用，USD/(kW·a)

w—— 工程量換算系數(shù)

Y—— 使用年限，a

z—— 換熱器存在與否的二元變量

δ—— 厚度，m

下角標(biāo)

cu—— 冷公用工程

hu—— 熱公用工程

i—— 熱物流編號(hào)

j—— 冷物流編號(hào)

ss—— 不銹鋼