王軍泉，湯國強

（深圳市特種設(shè)備安全檢驗研究院，廣東深圳 518000）

0 引言

隨著社會的發(fā)展，生活中電梯的使用越來越廣泛。除了乘用電梯安全，人們對電梯乘運質(zhì)量的關(guān)注度也越來越高，而運行振動是乘運質(zhì)量最重要的指標之一。當前只能通過調(diào)整安裝工藝等后期措施來改善乘運質(zhì)量，且效果并不明顯。因此，建立合理的動力學(xué)模型是研究和解決曳引驅(qū)動電梯振動問題的關(guān)鍵。

1 拉格朗日方程推導(dǎo)

定義3個基本參數(shù)[1]：廣義坐標為qj；自由度數(shù)為N=3n-s，n個質(zhì)點，s個約束；確定系統(tǒng)位置所需的任何一組獨立變量。

根據(jù)虛功原理，具有理想約束的系統(tǒng)處于靜平衡的必要與充分條件為—作用于系統(tǒng)的所有主動力Fi在該靜平衡位置發(fā)出的任何虛位移上所作元功之和恒等于0，得出廣義力Qj的定義為：

再根據(jù)達朗伯原理：非自由質(zhì)點mi所受的主動力Fi與質(zhì)點所獲得的動量變化率mir¨i之差( )Fi-mir¨i稱為損失力，即損失力與約束反力相平衡。-mir¨i為慣性力，則：

兩邊乘以虛位移δri，推算出動力學(xué)普遍方程為：

代入式（1）得出：

式中：Q′j為廣義慣性力。

對系統(tǒng)動能對q˙j和qj求偏導(dǎo)，可得：

可帶入普遍運動方程，即：

當廣義力Qj與速度無關(guān)時，則：Qj=Qj(qj，t) ；設(shè)存在一個函數(shù)U(q，t)，代入方程式，則：

式中：Qj為有勢力；U為勢能。當U不明顯依賴t時，Qj也為保守力。對于主動力僅為有勢力的系統(tǒng)，拉格朗日方程可為：

再引入拉格朗日函數(shù)，L=T-U（代表系統(tǒng)的動能與勢能之差），代入拉格朗日方程。則：

當廣義力有一部分是有勢力時，拉格朗日方程可為：

2 曳引比（1∶1）電梯懸掛系統(tǒng)垂直方向動力學(xué)模型

2.1 曳引比1∶1受力模型分析

圖1 曳引驅(qū)動電梯1∶1結(jié)構(gòu)傳動圖

曳引驅(qū)動電梯1∶1電梯結(jié)構(gòu)[2]傳動如圖1所示，可簡化曳引輪的運動為剛體定軸轉(zhuǎn)動，則選取選定廣義坐標有3個：x1為轎廂側(cè)鋼絲繩位移；x2為對重側(cè)鋼絲繩位移；x3為曳引輪轉(zhuǎn)動角度。

2.2 曳引比1∶1動力學(xué)微分方程

系統(tǒng)的動能分為5個部分[3-4]：T1為轎廂質(zhì)量運行導(dǎo)致的動能；T2為對重質(zhì)量運行導(dǎo)致的動能；T3為曳引輪轉(zhuǎn)動運行導(dǎo)致的動能；T4為轎廂側(cè)鋼絲繩導(dǎo)致的動能；T5為對重側(cè)鋼絲繩導(dǎo)致的動能。則系統(tǒng)的動能為：

系統(tǒng)的勢能分為6個部分：U1為轎廂重力引起的勢能；U2為對重重力引起的勢能；U3為轎廂側(cè)鋼絲繩重力引起的勢能；U4為對重側(cè)鋼絲繩引起的勢能；U5為轎廂側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能；U6為對重側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能。則系統(tǒng)的勢能為：

式中：Md為電動機的等效驅(qū)動力矩；Mj為作用在曳引輪上的阻力距；Rg為曳引輪的半徑。

3 曳引比（2∶1）電梯懸掛系統(tǒng)垂直方向動力學(xué)模型

3.1 曳引比2∶1受力模型分析

曳引驅(qū)動電梯2∶1電梯結(jié)構(gòu)傳動如圖2所示。分析電梯運行的過程，建立整個電梯系統(tǒng)的垂直振動動力學(xué)方程，忽略曳引鋼絲繩和補償系統(tǒng)的質(zhì)量，先分析幾個基本機構(gòu)的簡化模型。

（1）承重梁與底座膠墊模型

把承重梁與曳引機底座膠墊簡化為一個線性彈簧，取值彈性系數(shù)k1和阻尼系數(shù)C1。主機受自由振動的影響，曳引輪簡化為一個剛體的平面運動，可設(shè)定兩個自由度，水平位移x3和轉(zhuǎn)動位移 x5。

（2）固定反繩端模型

把反繩端的固定彈簧組合件簡化為一個線性彈簧，對重側(cè)鋼絲繩反繩端取值彈性系數(shù)k3和阻尼系數(shù)C3，轎廂側(cè)鋼絲繩反繩端取值彈性系數(shù)k2和阻尼系數(shù)C2。

圖2 曳引驅(qū)動電梯2∶1電梯結(jié)構(gòu)傳動圖

（3）鋼絲繩模型

把曳引鋼絲繩簡化為一個線性彈簧，對重反繩輪左側(cè)鋼絲繩取值彈性系數(shù)k5和阻尼系數(shù)C5；對重反繩輪右側(cè)鋼絲繩取值彈性系數(shù)k4和阻尼系數(shù)C4；轎廂反繩輪左側(cè)鋼絲繩取值彈性系數(shù)k7和阻尼系數(shù)C7；轎廂反繩輪右側(cè)鋼絲繩取值彈性系數(shù)k6和阻尼系數(shù)C6。

（4）轎頂輪及轎頂輪彈簧

彈簧取值彈性系數(shù)k8和阻尼系數(shù)C8。轎頂反繩輪受自由振動的影響，簡化為一個剛體的平面運動，可設(shè)定兩個自由度，水平位移x4和轉(zhuǎn)動位移x7。

（5）曳引輪

曳引輪可作為一個剛性體，定義轉(zhuǎn)動剛度k9和阻尼系數(shù)C9，確定廣義坐標，轎廂移動位移為x1；對重移動位移為x2；曳引輪位移為x3；轎頂反繩輪位移為x4；曳引輪轉(zhuǎn)動角度為x5；轎頂反繩輪轉(zhuǎn)動角度為x6；對重反繩輪轉(zhuǎn)動角度為x7，則其曳引驅(qū)動電梯2∶1垂直方向的動力學(xué)模型如圖3所示。

圖3 曳引驅(qū)動電梯2∶1垂直方向的動力學(xué)模型

3.2 曳引比1∶1動力學(xué)微分方程

系統(tǒng)的動能分為7個部分：T1為轎廂質(zhì)量運行導(dǎo)致的動能；T2為對重質(zhì)量運行導(dǎo)致的動能；T3為曳引輪運行的動能；T4為轎頂反繩輪運行的動能；T5為曳引輪轉(zhuǎn)動導(dǎo)致的動能；T6為轎頂反繩輪轉(zhuǎn)動的動能；T7為對重反繩輪轉(zhuǎn)動的動能，則系統(tǒng)的總動能為：

系統(tǒng)的勢能如下：U1為曳引輪轉(zhuǎn)動引起的勢能；U2為對重反繩輪左側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能；U3為轎廂反繩輪右側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能；U4為轎頂彈簧彈力引起的勢能；U5為主機底座膠墊彈力引起的勢能；U6為對重反繩輪右側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能；U7為轎廂反繩輪左側(cè)鋼絲繩彈力引起的勢能，則系統(tǒng)的勢能為：

由于質(zhì)點除受有勢力和非有勢力作用外，還受粘滯阻尼的作用，粘滯阻尼是作用在質(zhì)點上的線性阻力。由于這種阻力使機械能耗散，所以又稱為耗散力。定義耗散函數(shù)[5]為：是一種非有勢力，代入拉格朗日方程式（17），得出含散逸能的拉格朗日方程為：

代入拉格朗日方程式得出系統(tǒng)的微分方程為：

根據(jù)以上動力學(xué)模型建立曳引系統(tǒng)的振動方程[6-8]為：

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣。

4 結(jié)束語

本文在拉格朗日方程推導(dǎo)基礎(chǔ)上，對曳引驅(qū)動電梯常見的兩種曳引比情形分別進行分析，最后建立了曳引電梯懸掛系統(tǒng)合理的數(shù)學(xué)動力模型。分析力學(xué)的拉格朗日方程是振動理論的基礎(chǔ)，通過建立系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程，并在此方程的基礎(chǔ)上，后續(xù)將利用Matlab編程仿真進行振動的模態(tài)分析。結(jié)合大量現(xiàn)場，利用EVA-625進行數(shù)據(jù)測試，分析出關(guān)鍵設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)對電梯乘運質(zhì)量的影響，為電梯的設(shè)計、制造、安裝過程中如何保證和提高電梯乘運質(zhì)量提供技術(shù)參考。