夏順友，王常春，陳治友，汪少祖，李艷琴

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550005)

數(shù)列作為特殊函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要必修內(nèi)容之一，不僅因為其基本知識本身的重要性，還在于其相關(guān)的特殊數(shù)學(xué)思想方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是，因為該部分內(nèi)容容易和其它部分內(nèi)容進(jìn)行綜合命題，如與方程(一元一次方程和一元二次方程等)與函數(shù)(如二次函數(shù)、三角函數(shù)等)知識和思想方法(如判別式法、導(dǎo)數(shù)法等)、解析幾何(如一次和二次曲線等)和不等式知識和思想方法等相結(jié)合，從而增加解題的綜合性難度，因此,其成為學(xué)生考試中要面對的難題之一。[1]

高中數(shù)列所包含的基本知識涵蓋數(shù)列總論、等差數(shù)列和等比數(shù)列三大塊。數(shù)列總論包括數(shù)列概念、通項公式和前項和公式，以及通項公式和前項和公式的關(guān)系，還有特殊數(shù)列相關(guān)概念(特別是遞推數(shù)列的特征性質(zhì)等)。余下兩塊內(nèi)容，等差數(shù)列和等比數(shù)列其實是特殊的遞推數(shù)列。所以不難把握數(shù)列內(nèi)容的重點和難點應(yīng)該是通項公式和前項和公式的意義和關(guān)系，以及特殊遞推數(shù)列(主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列)；核心思想方法主要是遞推歸納、函數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想等。[2]

簡述數(shù)列的核心知識，然后給出2019年7月貴州省高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會考數(shù)學(xué)第43題(數(shù)列綜合題)的多種解法，接下來提出關(guān)于數(shù)列教學(xué)的幾點建議。

1 數(shù)列的核心知識

(1)數(shù)列總論的核心知識

數(shù)列、數(shù)列的項、項數(shù)、通項公式(an=f(n))、

前n項和公式(Sn=g(n))(其中n=1,2,3,…)的概念以及通項公式和前n項和公式的關(guān)系：

遞推數(shù)列：①am=t1,am+1=t2,…,am+p=tp，②an=f(am,am+1,…,am+p)，其中tm,…tm+p,為p個已知常數(shù). 特殊地，①a1=a，②an=f(a1)，其中a為已知常數(shù)。

注：通項公式和前項和公式的關(guān)系是數(shù)列的重要內(nèi)容之一。遞推包含的意義是已知數(shù)列中任意相鄰的p項(條件①)，向前或者向后可以依次遞推出與數(shù)列已知項相鄰的其它任意項(條件②)。但是由遞推公式給出的數(shù)列，要計算p個已知項之外的離第m,m+1,…m+p項很遠(yuǎn)的項時需要遞推很多步，因此，通過遞推公式導(dǎo)出通項公式是另一個非常重要的內(nèi)容。

(2)等差數(shù)列的核心知識

等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列{an}滿足： ①am=a，②當(dāng)n>m時，an=an-1+d；當(dāng)n

注：特殊地，①a1=a，②an+=an+d，其中n=1,2,…,而a,d為已知常數(shù). 則稱數(shù)列{an}是一個公差為d的等差數(shù)列. 此時就是各種數(shù)學(xué)教材上關(guān)于等差數(shù)列描述性定義的數(shù)學(xué)化表述。

根據(jù)遞推、遞歸或數(shù)學(xué)歸納法等容易導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式：an=am+(n-m)d(為關(guān)于變量an,am,n,m,d的一個五元方程)，特殊地，an=a1+(n-1)d(為關(guān)于an,a1,n,d的一個四元方程)。

注：等差數(shù)列的通項公式的變形表達(dá)如下：an=dn+(am-md)，當(dāng)d≠0時為n的一次函數(shù)；an=(1,n-m)(am,d)，其中表示向量的數(shù)量積；特殊地，an=dn+(a1-d)，當(dāng)d≠0時為n的一次函數(shù)；an=(1,n-1)(a1,d)，其中表示向量的數(shù)量積。

(1)an=kn+b且b=S1-d=a1-d；

(2)Sn=an2+tn

也可以說一個數(shù)列是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)其通項公式和前項和公式分別是一次函數(shù)和缺常數(shù)項的二次函數(shù)或退化形式(即k=0,a=0). 進(jìn)而有

(1)b=S1-d=a1-d,d=k；

這些公式不僅要從方程與函數(shù)的知識和思想方法角度去領(lǐng)會，還要從數(shù)形結(jié)合思想方法上與向量和解析幾何等角度去理解。

注：關(guān)于等差數(shù)列其它相關(guān)延拓性質(zhì)和思想方法在此略去。等比數(shù)列相關(guān)知識和思想方法類比可得，在此也略去。

2 2019年7月貴州省高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會考第43題的學(xué)生答題基本情況和該題的分析及其多種解法

2019年貴州省高中數(shù)學(xué)畢業(yè)會考第43題是關(guān)于數(shù)列知識，并綜合不等式、解析幾何和凸集上多元線性函數(shù)最值的題目。其題目如下：

43.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn2+qn，其中p,q為常數(shù).

(1) 若S3=15，S5=45,求通項公式an；(5分) (2)若數(shù)列{an}滿足a12+a32≤10，記z=a3+a4+a5，求z的最大值.(5分)本題滿分為10分，(1)與(2)分別為5分和5分. 總試卷328193份，根據(jù)評卷系統(tǒng)的最后統(tǒng)計結(jié)果，本題平均得分在包含零分卷時是2.54，如果不包含零分卷時，則平均得分是3.62. 具體說來，得分為8分至10分的考生比例是0.4%，而得分為4分至7分的考生比例是38.18%，得分為0.5分至3分的考生比例是34.48%，得分為0分的考生比例是26.94%. 這說明對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法掌握得并不滿意，能拿到本題的較高分?jǐn)?shù)的只是少數(shù)考生。大多數(shù)考生雖然能夠掌握好數(shù)列、等差數(shù)列的基本知識，從而能答對問題的(1)部分，但還不能靈活地綜合運用數(shù)列和最值求解的相關(guān)知識和方法解答所遇到的問題(2)，所以這部分考生在問題的(2)部分的失分很多。還有相當(dāng)多的考生基本知識掌握得不牢固和準(zhǔn)確，有的甚至連等差數(shù)列通項公式和前項求和公式都不清楚，所以本題的平均得分在4分以下。

該題在考核數(shù)列與等差數(shù)列的核心知識和方法之外，綜合考核了凸集約束條件下多元函數(shù)的最值問題，涉及了學(xué)生的綜合能力，是此次考試中難度最大的題目。

下面先給出該題問題(1)的多種解法。其中法一是命題者給出的參考解答。

當(dāng)n≥2時，Sn-1=2(n-1)-(n-1)所以an=Sn-Sn-1=4n-3(n≥2).當(dāng)n=1時，a1=S1=1也滿足上式. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-3.

故數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d

=4n-3.

法三：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

法四：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

從而d=a3-a2=4.所以數(shù)列{an}的通項公式an=a2+(n-2)d=4n-3.

即a1+a5=18

①

即3a1+a5=20

②

故數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d

=4n-3.

法六：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

由S5=a1+a2+a3+a4+a545，S3=a1+

a2+a3=15，及an=a1+(n-1)d可得

S5=5a1+10d=45

①

S3=3a1+3d=15

②

由①②解得a1=1，從而d=4. 所以數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=4n-3.

下面再給出該題問題(2)的多種解法. 其中法一是命題者給出的參考解答。

法一：由Sn=pn2+qn可得a1=p+q,a3

=S3-S2

=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2=21p+3q.

設(shè)a1=p+q=x,a3=5p+q=y，

又因a12+a32≤10，所以x2+y2≤10.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

法二：由Sn=pn2+qn可得a1=p+q,a3

=S3-S2=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2

=21p+3q.

所以要使得二元線性目標(biāo)函數(shù)值z最大，必須有點(a1,a3)在由a12+a32≤10表示的圓形區(qū)域的邊界上，即直線l:3a1-9a3+2z=0與圓a12+a32=10相切，可求得(a1,a3)=(-1,3).

法三：由Sn=pn2+qn可得a1=p+q,a3

=S3-S2=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2

=21p+3q.

由a12+a32≤10，得(p+q)2+(5p+q)2≤10，化簡可得13p2+6pq+q2≤5.

則z2=(21p+3q)2

=45(13p2+6pq+q2)-(2p+q)2.

要使得z2最大，必須使得(2p+q)2=0且13p2+6pq+q2=5解得p=1,q=-2，且最大值z=15. 所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

法四：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故z=a3+a4+a5=3a4.

所以z=3a4最大時，必須a4=5，從而z最大=15.

于是(5-3d)2+(5-d)2≤10時，d=2p=2,

p=1.從而p=1,q=-2.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

法五：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

設(shè)公差為d，所以z=a3+a4+a5=3a2+6d.

≤225，解得-15≤z≤15.

d=2時，z最大=15,從而p=1,q=-2.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到柯西不等式。

法六：由Sn=pn2+qn可得a1=p+q,a3

=S3-S2=5p+q,z=a3+a4+a5

=S5-S2=21p+3q.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到柯西不等式。

法七：由Sn=pn2+qn可得a1=p+q,

a3=S3-S2

=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2=21p+3q.

于是z2=(21p+3q)2

z最大=15 . 于是p=1,q=-2時z最大=15.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到柯西不等式。

法八：由Sn=pn2+qn

可得a1=p+q,a3=S3-S2

=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2=21p+3q.

即13p2+6pq+q2≤5. 于是z=21p+3q

=3[p+p+p+p+(3p+q)]

q=-2時,z最大=15.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到柯西不等式。

于是a1=-1,a3=3時z最大=15.

從而p=1,q=-2. 所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,

q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到柯西不等式.

法十：由Sn=pn2+qn可得

a1=p+q,a3=S3-S2

=5p+q,z=a3+a4+a5=S5-S2=21p+3q.

即13p2+6pq+q2≤5，

也即0≤(3p+q)2≤5-4p2，從而

p=1,q=-2時z最大=15.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到函數(shù)導(dǎo)數(shù)法解決不等式恒成立的方法。

法十一：因為Sn=pn2+qn，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則可設(shè)an=nx+y，于是

z=a3+a4+a5=3a4=3(4x+y)，

得x=2時f最小(x)=f(2)=5，即x=2時，z最大=15，此時y=-3.

因此由a1=S1=p+q=x+y,a2=S2-S1=3p+q=2x+y可得p=1,q=-2時z最大=15.

所以當(dāng)且僅當(dāng)p=1,q=-2時，z取得最大值15.

注：該解法用到函數(shù)導(dǎo)數(shù)法解決不等式恒成立的方法。

利用凸規(guī)劃或可行域法分析出直線與圓相切后，可以用圓心到切線距離等于半徑、德爾塔(大于)等于0法、三角函數(shù)代換法、正交法，或利用向量法或柯西不等式方法、函數(shù)極值法、函數(shù)單調(diào)性法求切點或臨界點等其它微小的變化。還可以利用拉格朗日乘數(shù)法等. 在此不再一 一列出。

3 關(guān)于高中數(shù)列教學(xué)的一些建議

等差數(shù)列作為離散化的特殊一次和二次函數(shù)包括其退化情形，需要數(shù)形結(jié)合的函數(shù)與解析幾何的知識和思想方法。而遞推迭代是一種基本的算法思想，涵蓋有限到無限的過程。不論數(shù)列的基本知識還是基本思想方法都是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

(1)在基于學(xué)生生活現(xiàn)實和數(shù)學(xué)現(xiàn)實基礎(chǔ)上，要特別重視數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程教學(xué)體驗是課堂教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)。

建議特別注意教學(xué)中在初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)和二次函數(shù)知識和數(shù)形結(jié)合方法，以及利用梯形或三角形建構(gòu)平行四邊形面積等數(shù)學(xué)現(xiàn)實基礎(chǔ)上，建構(gòu)、理解和掌握數(shù)列相關(guān)知識和方法，強化過程體驗學(xué)習(xí)模式，真正做到基礎(chǔ)扎實。

(2)在課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上，要特別重視“基于教材而不拘泥于教材，源于教材而超出教材”是課堂教學(xué)質(zhì)量基本保障的核心。

建議特別注意教學(xué)中不只是停留在學(xué)教材和教教材的低級僵化水平上，要在引入、新知學(xué)習(xí)、綜合提高方面不拘泥于教材而高于教材。真正做到內(nèi)化的心領(lǐng)神會的理解知識方法。

(3)在掌握基礎(chǔ)知識和基本思想方法上，要特別重視縱向深度的拓展和橫向廣度的延拓與融合是課堂教學(xué)效果提升的關(guān)鍵。

建議特別注意教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識與方法的核心是對世界認(rèn)識的數(shù)學(xué)化的簡化，不論是橫向還是縱向拓展知識方法都是在簡化人們對世界的某方面本質(zhì)的簡化表述，真正做到對知識方法的融會貫通。