李月麗，袁盛峰

(銅陵學(xué)院 機械工程學(xué)院，安徽 合肥 244061)

聚乙烯是一種工業(yè)常備的高分子材料，由其制成的產(chǎn)品種類繁多應(yīng)用廣泛。如聚乙烯管材因其輕質(zhì)、耐腐蝕、柔性好、價格低等優(yōu)點在各類管材中占有極高的比重。[1]在水下、地下、地面等各種工程應(yīng)用時，聚乙烯管材常常需要承受一定的靜荷載。而荷載作用增加了管材的形變，隨著服役時間的增長更是會出現(xiàn)蠕變、應(yīng)力松弛等力學(xué)現(xiàn)象，引發(fā)管材的裂紋擴展或是斷裂。因此，研究其本構(gòu)力學(xué)模型對預(yù)測聚乙烯管材的服役狀態(tài)及工程應(yīng)用有著重要的意義。

文章首先以應(yīng)力松弛試驗確定了適用于聚乙烯管材的Maxwell模型，隨后通過流線擴散有限元方法(Streamline Diffusion Method，簡稱 SDM法)計算三維情形下聚乙烯管材受靜荷載作用時的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。同時以Prony級數(shù)對其進(jìn)行分析以驗證SDM法及其本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

1 聚乙烯管材的粘彈性特征及應(yīng)力松弛試驗

1.1 聚乙烯管材的粘彈性特征

聚乙烯管材屬于粘彈性材料。因其分子特性，聚乙烯呈現(xiàn)出彈性變形及粘性流動等力學(xué)特征。這一特點使得聚乙烯材料的應(yīng)力應(yīng)變對外加荷載響應(yīng)并不敏感。因此聚乙烯管材可以在一定程度上抵抗突然施加的外力。[7-9]然而隨著時間的增加，與其它粘彈性材料一樣，聚乙烯管材會出現(xiàn)蠕變或是應(yīng)力松弛現(xiàn)象。

蠕變是指材料在恒定荷載下變形隨時間增長而不斷增加的現(xiàn)象；應(yīng)力松弛是指變形量恒定時應(yīng)力隨時間增長而不斷釋放的現(xiàn)象。兩者都屬于粘彈性范疇，其中蠕變會導(dǎo)致管材的開裂和斷裂，應(yīng)力松弛則會導(dǎo)致管材的彈性模量減小進(jìn)而引發(fā)其力學(xué)性能的劣化。[10,11]

1.2 聚乙烯管材的應(yīng)力松弛試驗

為確定聚乙烯管材的粘彈性本構(gòu)模型，對聚乙烯管材進(jìn)行應(yīng)力松弛試驗以觀察其粘彈性響應(yīng)規(guī)律。實驗采用WDW-G50型萬能試驗機進(jìn)行，管材樣品如圖1所示。

圖1 聚乙烯管材試樣圖

如圖2所示將試樣安裝在夾具內(nèi)，保證試樣母線與夾具橫中心線重合。然后施加荷載使管材發(fā)生變形，變形量分別取2%、4%和6%。每個變形量下使用聚乙烯管材樣本5組，為避免偶然誤差每組取3個樣品進(jìn)行試驗。待變形量達(dá)到設(shè)定值后停止加載，隨后記錄試樣的應(yīng)力變化。

圖2 應(yīng)力松弛試驗示意圖

圖3為試驗所得部分結(jié)果。由圖可見聚乙烯管材在不同應(yīng)力水平下的松弛曲線，其變化趨勢具有一致性：開始時應(yīng)力減小較快，而隨時間增加，應(yīng)力的減小速率開始變慢，最終趨于穩(wěn)定。而進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理表明該曲線可由Maxwell模型較好的擬合，其擬合結(jié)果如圖4所示。

圖3 聚乙烯管材應(yīng)力松弛曲線圖

圖4 聚乙烯管材應(yīng)力松弛試驗數(shù)據(jù)擬合圖

2 聚乙烯管材的粘彈性模型及數(shù)值計算

2.1 廣義Maxwell模型及其SDM初步分析

一方面考慮到聚乙烯材料的分子鏈結(jié)構(gòu)，另一方面為涵蓋各類以聚乙烯為主要材料的管材的粘彈性表現(xiàn)，可將Maxwell模型拓展為廣義Maxwell模型以獲得聚乙烯管材更為準(zhǔn)確的本構(gòu)模型[12-14]。如圖5所示，Maxwell單體模型由粘壺元件與彈簧元件串聯(lián)而成，廣義Maxwell模型由多個Maxwell單體并聯(lián)而成。

(a). 單體Maxwell模型

(b). 廣義Maxwell模型

如前所述，聚乙烯管材的粘彈性特征使其應(yīng)力應(yīng)變對外加荷載響應(yīng)并不敏感，即其應(yīng)力與應(yīng)變的發(fā)展對空間和時間都具有一定程度的依賴性。所以為更準(zhǔn)確分析聚乙烯管材的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律，現(xiàn)引入流線擴散有限元方法。流線擴散有限元方法又稱時空有限元法，簡稱SDM法，可對時間依賴問題在空間域與時間域?qū)卧w及微分方程進(jìn)行離散，進(jìn)而得到其弱解。

一般認(rèn)為粘彈性材料的力學(xué)表現(xiàn)主要受偏應(yīng)力、偏應(yīng)變影響，而在三維情形下聚乙烯管材的SDM分析可按如下過程建立[15-17]：

(1)

(2)

其中：

n=1,2,3,…,M；為剪切模量；為粘性參數(shù)；為偏應(yīng)力；為偏應(yīng)變。

式(2)可變形為：

(3)

總體積應(yīng)變張量ε：

(4)

位移u：

(5)

應(yīng)變：ε

ε=5u

(6)

εp=5up

(7)

(8)

平面應(yīng)變情形下對彈性模量E及En的張量形式寫為：

邊界條件建立如下：

Γ=Γu∪Γσ,φ=Γu∩Γσ

u(r1,0)=0,ε(r1,0)=0

σ(r1,0)=-Pr,0≤t≤T

整個微分方程組可寫為：

LZ=0

(9)

其中：ZT=[u1u2…um]

由式(3)及初始條件得：

(10)

且得到粘彈性材料本構(gòu)方程式(3)的積分形式，該形式下的應(yīng)力記為：

(11)

位移為：

(12)

2.2 三維情形下的Galerkin弱解

使用Galerkin法可將復(fù)雜的微分方程簡化，進(jìn)而得到其弱解。三維情形下分析時，可將式(9)與一測試函數(shù)相乘，然后在時空域上積分[18-19]：

(13)

其中：

Z∈Ω(0,T), 在Γu內(nèi)δλ=0

選取δλ：

δλ=φ1·φ2

(14)

其中：

φ2=[δu1δu2…δumδu]T

由式(9)及式(13)得：

(15)

其中：

為求解式(15)，?。?/p>

則整個式子可寫成：

(16)

其中：

此后可借助計算機對式(16)進(jìn)行迭代，從而得到位移，隨后可由式(6)及式(8)求得應(yīng)變及應(yīng)力。

3 聚乙烯管材的粘塑性計算

若將聚乙烯管材的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)一步拓展，可得到其與時間無關(guān)的粘塑性關(guān)系。進(jìn)而得到其Mises等效應(yīng)力，由此可估計管材的損傷情況。對粘塑性材料定義其損傷變量D為：

(17)

其中：

*(trσn+1)2

R=R∞[1-ebM(1-D)]

隨后的計算需借助計算機完成。

4 計算結(jié)果及討論

使用Galerkin法可以計算得到聚乙烯管材經(jīng)SDM分析后的位移、應(yīng)力及應(yīng)變，獲得其松弛模量等值。為檢驗算法及模型的精度，使用Prony級數(shù)對方程進(jìn)行估計校核。圖6給出了對數(shù)坐標(biāo)下松弛模量隨時間的變化規(guī)律。如圖所示，兩種方法所得結(jié)果具有很高的一致性：隨著時間增長松弛模量表現(xiàn)出非線性的減小趨勢。開始時下降較快，隨后下降速度放緩。

圖6 聚乙烯管材松弛模量隨時間變化圖

圖7給出了聚乙烯管材徑向應(yīng)力隨徑向應(yīng)變增長時的變化趨勢。由圖可見兩種方法所得結(jié)果基本一致：在初始階段徑向應(yīng)力隨應(yīng)變增長迅速當(dāng)徑向應(yīng)變超過7.5%后應(yīng)力的增長趨勢基本趨于穩(wěn)定。

圖7 聚乙烯管材徑向應(yīng)力與徑向應(yīng)變關(guān)系圖

聚乙烯管材的損傷表現(xiàn)在裂紋的發(fā)展。[20-22]對損傷量D的計算結(jié)果如圖8所示。從中可見聚乙烯管材的損傷發(fā)展呈現(xiàn)出近似雙折線的變化規(guī)律：在初始階段損傷增長趨勢十分陡峭，在塑性變形超過0.02 %后，損傷的增長速度變小，但仍然以穩(wěn)定的速率增加。

圖8 聚乙烯管材單位損傷量與塑性變形關(guān)系圖

5 結(jié)論

以SDM法對聚乙烯管材在靜荷載下的粘彈性及粘塑性力學(xué)規(guī)律作了分析，并以Prony級數(shù)對結(jié)果進(jìn)行了參照對比，所得結(jié)論如下：

(1) 三維情形下，利用SDM分析法及Galerkin算法，可以得到聚乙烯管材應(yīng)力及應(yīng)變的弱解，利用該結(jié)果可對聚乙烯管材的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)做出較為合理的估計。

(2) 聚乙烯管材的徑向應(yīng)力隨徑向應(yīng)變呈現(xiàn)出先快速增長后趨于穩(wěn)定的非線性變化趨勢。

(3) 聚乙烯管材的損傷發(fā)展表現(xiàn)出近似雙折線的增長規(guī)律，其增長速度的轉(zhuǎn)折點大約在塑性變形達(dá)到0.02 %時。