田宗睿，李永華，石姍姍

(大連交通大學(xué) 機(jī)車(chē)車(chē)輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

在結(jié)構(gòu)可靠性分析與設(shè)計(jì)中，可靠性一直是衡量結(jié)構(gòu)功能效用的重要依據(jù)，貫穿于結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的全壽命周期過(guò)程中.但是，由于結(jié)構(gòu)自身設(shè)計(jì)的影響及在工作狀態(tài)下隨時(shí)遇到的不確定因素，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)體系出現(xiàn)破壞的情況時(shí)有發(fā)生.為了提高結(jié)構(gòu)體系的可靠性與安全性，使其滿足實(shí)際工程要求，有必要對(duì)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行可靠性分析.

一般的可靠性分析方法只針對(duì)一個(gè)失效模式的情況，但結(jié)構(gòu)體系的失效模式卻很多，對(duì)其可靠性的研究較為困難，由此產(chǎn)生的問(wèn)題一直是可靠性領(lǐng)域研究關(guān)注的熱點(diǎn).結(jié)構(gòu)體系傳統(tǒng)的可靠性分析方法有一階界限法、二階界限法、概率網(wǎng)絡(luò)估算法和蒙特卡洛法［1］等.近年很多學(xué)者對(duì)此有了新的研究成果，李正良［2］等提出了一種基于自適應(yīng)點(diǎn)估計(jì)和最大熵原理的結(jié)構(gòu)體系多構(gòu)件可靠度分析方法，該法所得結(jié)果精度滿足工程要求.Marco N.Coccon等［3］提出了一種海上結(jié)構(gòu)體系可靠性分析方法，此法充分考慮部件和失效模式之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，適用于海上結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估.Ruixing Wang等［4］針對(duì)線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，提出了一種基于體積比理論的非概率可靠度計(jì)算方法，能夠有效減少計(jì)算量和公式推導(dǎo)的步驟.彭偉等［5］通過(guò)構(gòu)造Copula函數(shù)來(lái)分析兩部件系統(tǒng)的失效相關(guān)性，能夠更好地描述所有部件的失效特性.李洪偉［6］等利用近似數(shù)值分析法建立共因失效的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性模型，在保證計(jì)算精度的前提下提高了求解效率.周金宇［7］等利用阿基米德族的Clayton Copula函數(shù)建立串并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的疲勞可靠性模型，為疲勞壽命預(yù)測(cè)與可靠性設(shè)計(jì)提供新方法.安宗文［8］等考慮齒輪的兩種失效模式，將二元正態(tài)分布函數(shù)引入到可靠度求解過(guò)程中，為齒輪可靠性的研究方法提供了新途徑.涂宏茂［9］等提出了基于一次二階矩法近似的系統(tǒng)可靠性分析方法，能夠獲得效率較高且較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果.

為了進(jìn)一步提高結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算精度與效率，本文提出了基于DE算法和LDU分解的結(jié)構(gòu)體系可靠性分析方法.此法將DE算法和LDU分解相結(jié)合，充分DE算法不易陷入局部最優(yōu)和LDU分解計(jì)算準(zhǔn)確的特點(diǎn)，使計(jì)算結(jié)果更精確.通過(guò)實(shí)際算例驗(yàn)證方法的可行性與有效性.

1 DE算法與LDU分解的基本原理

1.1 可靠性指標(biāo)的幾何意義及優(yōu)化模型

結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是結(jié)構(gòu)在達(dá)到破壞前的臨界狀態(tài)，用 Z=g(X1，X2，…，Xn) 表示［10］，其中 X1，X2，…，Xn是結(jié)構(gòu)中的n個(gè)任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量.對(duì)于非正態(tài)隨機(jī)變量利用R-F法(Reckwitz-Fiessler法)將其當(dāng)量正態(tài)化［11］，能夠得到當(dāng)量正態(tài)化后變量的均值μ′Xi與方差σ′Xi.

可靠性指標(biāo)的幾何意義旨在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)超曲面的最短距離.由此建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，其表達(dá)式為:

式中，可靠性指標(biāo)為β，功能函數(shù)為Z，極限狀態(tài)超曲面上的點(diǎn)為，隨機(jī)變量為Xi，隨機(jī)變量上限為，下限為.利用罰函數(shù)法，將式(1)轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化模型:

式中，M為懲罰因子，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為懲罰項(xiàng).

1.2 DE算法基本原理

DE算法［12-13］是Storn等人于1995年提出，此法能求解具有高度非線性特征的連續(xù)函數(shù)的極小值.DE算法的原理雖與遺傳算法相似，但其能夠在變異操作中使用差分策略，避免了遺傳算法中變異操作的不足，具有較好逼近效果.

DE算法的基本思想是:首先由當(dāng)前個(gè)體通過(guò)變異操作生成新一代個(gè)體，成為變異個(gè)體;再將當(dāng)前個(gè)體與新一代個(gè)體進(jìn)行混合交叉操作，生成試驗(yàn)個(gè)體;然后通過(guò)選擇操作，將試驗(yàn)個(gè)體與當(dāng)前個(gè)體進(jìn)行比較，選擇最優(yōu)個(gè)體實(shí)現(xiàn)進(jìn)化.該法主要包括種群初始化、變異、交叉和選擇操作［13］.

1.3 LDU分解的基本原理

LDU分解作為矩陣三角分解的一種，對(duì)于常系數(shù)線性方程組的求解較為適用［14］，廣泛應(yīng)用于動(dòng)態(tài)無(wú)功優(yōu)化、潮流計(jì)算等電力系統(tǒng)計(jì)算方面［15］.LDU分解能夠?qū)⒕哂邢嚓P(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為相互獨(dú)立的變量，對(duì)于處理具有相關(guān)性的函數(shù)和變量具有較大優(yōu)勢(shì).在結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算過(guò)程中，主要用于處理相關(guān)失效模式間的相關(guān)系數(shù)矩陣，使各失效模式具有相互獨(dú)立的特征.

設(shè)A=(aij)是n階矩陣，如果A可分解成A=LDU，其中L為單位下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣，D=diag(d1，d2，…，dn)，di＞ 0(i=1，2，…，n)，U為L(zhǎng)的轉(zhuǎn)置，則稱A可作LDU分解.

LDU分解的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)A的順序主子式 Δk≠ 0(k=1，2，…，n-1 )時(shí)，A可唯一地分解為L(zhǎng)DU.LDU分解表達(dá)式為:

式中，三個(gè)矩陣均為n階方陣，i為行數(shù)，j為列數(shù)，lij為矩陣中的數(shù)值元素，dn為D中對(duì)角線上的數(shù)值元素.

2 結(jié)構(gòu)體系失效概率的求解

結(jié)構(gòu)體系可分為串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)體系.混聯(lián)體系可轉(zhuǎn)換為全串聯(lián)或全并聯(lián)體系.無(wú)論該結(jié)構(gòu)屬于哪種結(jié)構(gòu)體系，在可靠度的求解過(guò)程中均需要計(jì)算多失效模式的聯(lián)合失效概率，其表達(dá)式為:

式中，β為可靠性指標(biāo)矩陣，ρ為相關(guān)系數(shù)矩陣，Zi為功能函數(shù).

由式(5)可知，可靠性指標(biāo)和相關(guān)系數(shù)矩陣共同影響結(jié)構(gòu)體系失效概率.相關(guān)系數(shù)矩陣表示為:

式中，gk(X)為功能函數(shù)，σ為其標(biāo)準(zhǔn)差，Cov( gi( X )，gj( X ) )為失效模式間的協(xié)方差矩陣，α為靈敏度系數(shù)矩陣，表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)的驗(yàn)算點(diǎn)矩陣.

根據(jù)可靠性指標(biāo)與相關(guān)系數(shù)矩陣的計(jì)算結(jié)果，可將多失效模式的聯(lián)合失效概率的求解轉(zhuǎn)化為多維正態(tài)積分的計(jì)算，進(jìn)而計(jì)算體系可靠度.利用LDU分解的思想，將相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為互不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量.根據(jù)文獻(xiàn)［16］的證明思路，對(duì)自變量x連續(xù)進(jìn)行兩次線性變換，將積分上限值β代入，最終可得β″=D-1/2L-1β.利用LDU分解，通過(guò)對(duì)自變量進(jìn)行兩次線性變換后，多維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的Φ(β，ρ)可表示為:

式中，β″= (β″1，β″2，…，β″n)T，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

綜上所述，基于DE和LDU分解的結(jié)構(gòu)體系可靠性分析流程如圖1所示.

圖1 基于DE和LDU分解的結(jié)構(gòu)體系可靠性分析流程

3 算例分析

3.1 算例1

假設(shè)某串聯(lián)體系包含兩個(gè)失效模式，對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)分別為:

式中，x1與x2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，且相互獨(dú)立.

根據(jù)式(2)和式(3)，分別建立各功能函數(shù)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化模型:

通過(guò)求解兩個(gè)優(yōu)化模型，失效模式對(duì)應(yīng)的可靠性指標(biāo)結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 可靠性指標(biāo)值

根據(jù)式(6)和式(7)，兩個(gè)失效模式的功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)為ρ=0.959 3，根據(jù)式(8)可得多失效模式的聯(lián)合失效概率表達(dá)式為:

式中，Pf1，2為兩失效模式的聯(lián)合失效概率.

該串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系的可靠度計(jì)算表達(dá)式為:

式中，Pr為可靠度.

分別利用本文方法和100 000次蒙特卡洛仿真計(jì)算該結(jié)構(gòu)體系的可靠度，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 可靠度結(jié)果

結(jié)果分析對(duì)比表明，此法與蒙特卡洛法結(jié)果相近，但速度快于蒙特卡洛法，證明了該法的有效性.

3.2 算例2

由于抗側(cè)滾扭桿長(zhǎng)期承受較大扭矩，其結(jié)構(gòu)安全與否對(duì)行車(chē)安全有著重大影響［17］.為進(jìn)一步驗(yàn)證此法的有效性，以某動(dòng)車(chē)組的抗側(cè)滾扭桿為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行可靠性分析.抗側(cè)滾扭桿安裝在轉(zhuǎn)向架的構(gòu)架上，由扭桿軸、扭轉(zhuǎn)臂和連桿構(gòu)成，其中扭桿軸與扭轉(zhuǎn)臂的連接方式為過(guò)盈配合，連桿與扭轉(zhuǎn)臂采用螺栓連接.抗側(cè)滾扭桿的幾何模型如圖2所示.

圖2 抗側(cè)滾扭桿幾何模型

圖3 抗側(cè)滾扭桿的受力示意圖

車(chē)體通過(guò)連桿上的橡膠節(jié)點(diǎn)將力由連桿，經(jīng)過(guò)扭轉(zhuǎn)臂傳遞到扭桿軸，進(jìn)而在扭桿軸上產(chǎn)生扭矩.由于扭桿軸具有良好的回彈特性，能夠有效抵消車(chē)體上傳來(lái)的扭轉(zhuǎn)作用，以滿足抗側(cè)滾要求.抗側(cè)滾扭桿的受力示意圖如圖3所示.

抗側(cè)滾扭桿可能存在的失效模式有彎曲強(qiáng)度失效、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度失效和彎扭組合失效，這些失效模式共同影響，抗側(cè)滾扭桿結(jié)構(gòu)體系的可靠性.扭桿軸材料的許用剪切應(yīng)力[τ]為700 MPa，抗拉極限[ σb]為1 450 MPa，屈服極限[σs]為 1300MPa，載荷P(N)服從正態(tài)分布N(35 000，50)，扭桿軸直徑d(mm)服從正態(tài)分布N(35，3)，并且P與d相互獨(dú)立.現(xiàn)求解該抗側(cè)滾扭桿的可靠度.

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生扭轉(zhuǎn)失效時(shí)，其功能函數(shù)表達(dá)式為:

式中，Tmax為最大扭矩，Wp為抗扭截面系數(shù)，扭轉(zhuǎn)臂l為240 mm.

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲失效時(shí)，其功能函數(shù)表達(dá)式為:

式中，Mmax為最大彎矩，Wz為抗彎截面系數(shù)，a為110 mm.

彎曲與扭轉(zhuǎn)組合失效的功能函數(shù)表達(dá)式為:

根據(jù)式(2)和(3)建立可靠性指標(biāo)求解的優(yōu)化模型，扭轉(zhuǎn)失效的優(yōu)化模型為式(22)，彎曲失效的優(yōu)化模型為式(23)，彎扭組合失效的優(yōu)化模型為式(24).

式中，μP為載荷的均值，σp為載荷的標(biāo)準(zhǔn)差，μd為直徑的均值，σd為直徑的標(biāo)準(zhǔn)差.

利用DE算法求解三個(gè)功能函數(shù)的可靠性指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 各失效模式可靠度

根據(jù)式(6)和式(7)，該結(jié)構(gòu)體系各失效模式間的相關(guān)系數(shù)矩陣表達(dá)式為:

抗側(cè)滾扭桿的三個(gè)失效模式共同組成串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系，利用LDU分解處理相關(guān)系數(shù)矩陣，根據(jù)式(8)可得多失效模式的聯(lián)合失效概率表達(dá)式分別為:

式中，Pf1，2為 g1和 g2的聯(lián)合失效概率，Pf1，3為 g1和g3的聯(lián)合失效概率，Pf2，3為g2和g3的聯(lián)合失效概率，Pf1，2，3為 g1、g2和 g3的聯(lián)合失效概率.

抗側(cè)滾扭桿的可靠度計(jì)算表達(dá)式為:

式中，Pr為可靠度.

利用本文方法和100 000次蒙特卡洛仿真求解該結(jié)構(gòu)體系的可靠度，結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 可靠度計(jì)算結(jié)果

由表3可知，扭轉(zhuǎn)失效的可靠性指標(biāo)為1.382 9，彎曲失效的可靠性指標(biāo)為1.722 4，彎扭組合失效的可靠性指標(biāo)為2.141 1;由表4可知，抗側(cè)滾扭桿的可靠度為0.862 0，與蒙特卡洛法結(jié)果相近，證明本文方法的求解精度滿足要求.同時(shí)表明本文方法切實(shí)可行.

4 結(jié)論

(1)將DE算法引入到可靠性指標(biāo)的求解過(guò)程中，所得結(jié)果準(zhǔn)確性較高，由于不受函數(shù)非線性的影響，增強(qiáng)了可靠度求解的精度;

(2)將LDU分解引入到結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算中，可有效提高結(jié)構(gòu)體系可靠度的計(jì)算精度，并且減少了計(jì)算量，為結(jié)構(gòu)體系可靠度的求解提供了新的途徑;

(3)通過(guò)對(duì)解析算例和工程算例的計(jì)算驗(yàn)證了該方法求解的精度和速度，同時(shí)說(shuō)明了此法適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的可靠性分析.