江慧,魏鳳英

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院,福建福州 350108)

0 引言

毒品不僅傷害吸毒者自身健康,而且傳播疾病,嚴重地影響了社會治安[1-2].為了協(xié)助決策者更好地預測和控制吸毒者的數(shù)量,有效地使用治療資源并減少吸毒者的數(shù)量.本研究在White近期提出的由常微分方程組刻畫的吸食海洛因人口模型[3]的基礎上,針對總?cè)丝跀?shù)量較大的實際情況,常數(shù)輸入率不能滿足刻畫易感者數(shù)量增長的趨勢,借鑒SEIR模型和SIR模型采用的飽和發(fā)病率,以及傳染病模型引入隨機干擾的方法[7-11],建立了未接受治療吸毒者的隨機生存模型：

其中：S(t)為t時刻易感者數(shù)量；U1(t),U2(t)是未接受治療和正在接受治療的吸毒者數(shù)量,且總?cè)丝跀?shù)為N(t)=S(t)+U1(t)+U2(t).

假設易感者數(shù)量遠大于吸毒總?cè)藬?shù)；β1是易感者轉(zhuǎn)變?yōu)槲唇邮苤委煹奈菊弑嚷?；?是正在接受治療的吸毒者轉(zhuǎn)變?yōu)槲唇邮苤委煹奈菊弑嚷?；μ是人口的自然死亡率；p是吸毒者接受治療的比率；δ1是去除率(未接受治療的吸毒者因吸食毒品死亡或自發(fā)恢復的比率,自發(fā)恢復后,吸毒者不再復吸)；δ2是成功治愈率(成功治愈后,吸毒者不再復吸)；Bi(t)是獨立標準布朗運動且Bi(0)=0,＞0(i=1,2,3)為白噪聲的強度.

1 正解的全局性和唯一性

定理1 對任意(S(0),U1(0),U2(0))∈,系統(tǒng)(1)存在唯一正解(S(t),U1(t),U2(t))∈R3+.

證明 由文獻[12]的定理2.1可知,只需證明存在一個二次可微函數(shù)V,使得LV≤Q,其中Q為正常數(shù).現(xiàn)定義一個二次可微函數(shù)V：

2 持久性

引理1對任意的初值(S(0),U1(0),U2(0))∈,系統(tǒng)(1)的解(S(t),U1(t),U2(t))∈R3+具有以下性質(zhì)：

定理2若＞1,2r＞,則inf A 〈U1〉t≥ B(-1) ＞ 0.其中：

證明 定義一個二次可微函數(shù)V1：→R：V1(S,U1)=c1S-ln U1-α2U1.應用Ito)’s公式

取V2(S)=,應用It’s公式以及文獻[15]的引理4.2可得：

令V3(S,U1)=V1(S,U1)+3V2(S),則有：

取 c1=K2r2β21α1, 則=Krβ1.那么：

則存在：

對等式(7)兩邊同時取積分平均值,可知：

3 平穩(wěn)分布及遍歷性

定理3若＞1,則系統(tǒng)(1)存在平穩(wěn)分布,且正解是遍歷的.其中：

證明 易證文獻[16]引理3的條件(1)成立.為了證明條件(1)成立,只需證明對任意(S,U1,U2)∈＼Dε,存在一個非負二次函數(shù)V和一個鄰域Dε,使得LV≤-1.定義：

顯然,函數(shù)W(S,U1,U2)是連續(xù)函數(shù),因此W(S,U1,U2)在內(nèi)部有最小值(S*,,).

定義一個非負二次可微函數(shù)V=M(V3+V4)+V5+V6-W(S*,,,應用It’s公式可得：

接下來定義一個有界閉集Dε如下：

情形1、2、5、6易于證明,此處從略.

情形3.若(S,U1,U2)∈D3,則：

其中：

情形4.若(S,U1,U2)∈D4,則：

其中：

綜上,當(S,U1,U2)∈＼Dε時,LV(S,U1,U2)≤-1成立.

4 絕滅性

定理4若＜1且2μ ＞,=max{,i=1,2,3},則U1(t)=0,U2(t)=0.