毛煒　崔俊杰

摘 要：控制系統(tǒng)的速度在相當(dāng)大的程度上取決于控制算法，設(shè)備的控制質(zhì)量取決于控制算法運(yùn)算量的大小。文章介紹了基于快速傅立葉正負(fù)變換設(shè)計(jì)FIR濾波器的新算法，在層層迭代中進(jìn)行快速傅立葉正變換和快速傅立葉反變換的交替轉(zhuǎn)換，從而滿足對(duì)信號(hào)分析所需的時(shí)域和頻域條件，利用FFT實(shí)現(xiàn)序列的卷積算法，使所設(shè)計(jì)的濾波器在頻域中逼近理想頻率響應(yīng)的結(jié)果。算法特性是被變換的抽取點(diǎn)數(shù)變多，因此，該設(shè)計(jì)極大地減少了運(yùn)算量。

關(guān)鍵詞：快速傅立葉變換;FIR濾波器;Matlab

1 ? ?FIR濾波器及快速傅立葉變換

1.1 ?FIR濾波器

有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理中，主要用途是將不感興趣的信號(hào)過濾清除，留下有用信號(hào)。也就是說，能夠通過和阻止某一頻率信號(hào)，在保證任意幅頻特性的同時(shí)，具有嚴(yán)格的相位線性特性，其單位沖激響應(yīng)是有限的、全零點(diǎn)結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)永遠(yuǎn)穩(wěn)定[1]。因此，F(xiàn)IR濾波器在通信、圖像處理分析、模式識(shí)別等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波目的。FIR濾波器具有線性延時(shí)的特征和不存在系統(tǒng)極點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)，在有效頻率范圍內(nèi)分析所有信號(hào)，相位上不失真，對(duì)信號(hào)處理非常重要[2]。

1.2 ?快速傅立葉變換

快速傅立葉變換是離散傅立葉變換所需要的乘法次數(shù)大為減少的一種快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上很難看出具體特征，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征。有限長(zhǎng)序列可以通過離散傅立葉變換將其頻域也離散化成有限長(zhǎng)序列，將產(chǎn)生的短序列進(jìn)行適當(dāng)組合，刪除重復(fù)計(jì)算，從而減少乘法運(yùn)算和簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。本文所運(yùn)用的是按時(shí)間抽取的FFT算法，利用其對(duì)稱性和周期性，對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象的算法分若干步進(jìn)行，從而達(dá)到簡(jiǎn)化的目的[3]。

2 ? ?用快速傅立葉變換法設(shè)計(jì) FIR濾波器的算法

2.1 ?FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理

截止頻率為ωs（rad/s）理想濾波器，其傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：

（1）

取樣響應(yīng)為h（n），長(zhǎng)度為N，為了產(chǎn)生有限長(zhǎng)度的沖激響應(yīng)函數(shù)，其系數(shù)函數(shù)為H（z）：

（2）

用h（n）表示截取hd（n）后沖激響應(yīng)，即：

h（n）=ω（n）hd（n） ? （3）

式中，ω（n）為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為N。當(dāng)τ=時(shí)，截取的h（n）關(guān)于τ=（N-1）/2對(duì)稱，可使得所設(shè)計(jì)的濾波器相位線性。圖1為FIR濾波器設(shè)計(jì)流程。

2.2 ?用快速傅立葉變換法設(shè)計(jì)FIR濾波器的算法

給定下列技術(shù)指標(biāo)：導(dǎo)通頻率ωp，截止頻率ωs，導(dǎo)通頻帶最大波動(dòng)系數(shù)δp和截止頻帶最大波動(dòng)系數(shù)δs。頻域的約束如式（4）：

Hid（ejω）-Ed（ω）≤Hd（ejω）≤Hd（ejω）+Ed（ω） ? ? （4）

Hid（ejω）為理想濾波器的響應(yīng)，而且得到：

（5）

快速傅立葉變換法設(shè)計(jì)FIR濾波器，是在層層迭代計(jì)算中進(jìn)行快速傅立葉正變換和快速傅立葉反變換的交替變換，從而滿足時(shí)域和頻域約束的條件。設(shè)計(jì)步驟如圖2所示。

（1）為了產(chǎn)生初始序列h0（n）。取理想頻域響應(yīng)的傅立葉反變換hid（n）=F-L﹣1[Hid（ejω）]為初始值：

（6）

其中，N要以原點(diǎn)對(duì)稱，才能得到零相位。

（2）在第k次循環(huán)中，用FFT法計(jì)算hk（n）的傅立葉反變換函數(shù)，得到頻域函數(shù)Gk（ejω）。在頻域上施加以下約束：

（7）

（3）對(duì)Gk（ejω）進(jìn)行傅立葉反變換得到gk（n）。施加時(shí)域上的條件約束，gk（n）中在區(qū)域N以外取值為零。

（8）

（4）連續(xù)在層層迭代中不斷進(jìn)行時(shí)域約束和頻域約束條件，得到的頻率響應(yīng)趨近于理想的頻率響應(yīng)范圍，有限長(zhǎng)序列將收斂為濾波器理想的序列。濾波器的階數(shù)可以先取值N=2M+1，M由Kaiser窗函數(shù)設(shè)計(jì)階數(shù)公式估算。用此階數(shù)進(jìn)行循環(huán)，如果達(dá)不到設(shè)計(jì)要求，依次對(duì)M增加1，直到滿足要求。在迭代法中，傅立葉變換是由離散傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)，也就是減少乘方次數(shù)的變化的效果。因此，F(xiàn)FT算法的階數(shù)應(yīng)取足夠大。對(duì)于2M+1階數(shù)的濾波器，F(xiàn)FT算法的階數(shù)通常取大于10倍M，來滿足設(shè)計(jì)要求，得到相應(yīng)的所需結(jié)果[4]。

3 ? ?基于快速傅立葉變換設(shè)計(jì)FIR濾波器的算法設(shè)計(jì)高通濾波器

截止頻率為ωs的線性相位理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為：

（9）

即在 ωs≤ω≤π范圍內(nèi)，Hd（ejω）的幅值是1，其幅頻響應(yīng)示意圖如圖3—4所示。

圖3 ?截止頻率為ω1的理想高通濾波器幅頻響應(yīng)

圖4 ?截止頻率為ω2的理想高通濾波器幅頻響應(yīng)

理想高通濾波器的單位沖擊響應(yīng)為：

（10）

其中，Hd（n）是中心點(diǎn)在τ的偶對(duì)稱無限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的h（n），需要對(duì)hd（n）做加窗處理，為了分析問題方便，選窗函數(shù)WN（n）為矩形窗RN（n），N是矩形窗長(zhǎng)度。由于要求FIR濾波器的相位是線性的，h（n）必須偶對(duì)稱（或奇對(duì)稱），即其對(duì)稱中心為窗長(zhǎng)的1/2，也就是τ=，故FIR高通濾波器有限長(zhǎng)沖擊響應(yīng)為：

h（n）=hd（n）RN（n）

=，（11）

0≤n≤N-1

此時(shí)，一定滿足h（n）=h（N-1-n）這一線性相位條件，上述即為線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)過程。

4 ? ?結(jié)語

用快速傅立葉變換的一次正變換和反變換設(shè)計(jì)FIR濾波器的算法，隨之帶來的交替頻域約束條件和時(shí)域條件，使所得濾波器的頻率響應(yīng)無限逼近理想頻率響應(yīng)，也得到在時(shí)域中無限逼近單位沖激響應(yīng)序列。FFT的過程極大地簡(jiǎn)化了在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行DFT的過程，減少了許多復(fù)雜且難以計(jì)算的運(yùn)算量。設(shè)計(jì)上千階數(shù)的濾波器在普通計(jì)算機(jī)上僅需要很短的時(shí)間，但是，算法設(shè)計(jì)的濾波器階數(shù)較高。由于FIR濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)，在實(shí)際計(jì)算時(shí)幾乎不考慮穩(wěn)定性問題，運(yùn)算誤差小。利用快速傅立葉變換，在相同的階數(shù)下，運(yùn)算速度更快，更加體現(xiàn)優(yōu)越性，也正因?yàn)樵O(shè)計(jì)方法的直觀性和簡(jiǎn)單性，才普遍將其應(yīng)用來研究相關(guān)信號(hào)問題。

[參考文獻(xiàn)]

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