王家林, 曹珂瑞

(重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400074)

0 引言

大部分斜拉橋的拉索張拉常采用一次張拉為主，成橋后再進(jìn)行二次調(diào)索來(lái)保證結(jié)構(gòu)在施工過(guò)程中的安全[1]。二次調(diào)索是在當(dāng)前狀態(tài)與設(shè)計(jì)成橋狀態(tài)有偏差的情況下，通過(guò)調(diào)整索力使當(dāng)前成橋狀態(tài)的內(nèi)力分布趨向于設(shè)計(jì)成橋狀態(tài)的內(nèi)力分布[2-5]。

斜拉橋作為高次超靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力情況較為復(fù)雜，如何通過(guò)二次調(diào)索使成橋索力達(dá)到目標(biāo)索力一直是斜拉橋設(shè)計(jì)施工中的難點(diǎn)[6]。眾多學(xué)者對(duì)斜拉橋的成橋索力調(diào)整問(wèn)題進(jìn)行了大量研究，提出了多種索力調(diào)整方法，分別是最小二乘法[7]、彎曲能量最小法[8]、彎矩最小法[9]、循環(huán)迭代法[10]、凝聚函數(shù)法[11]、影響矩陣法[12]、正裝迭代法[13]。

最小二乘法是使誤差平方和最小，經(jīng)過(guò)多次迭代后得到最終值；彎曲能量最小法用斜拉橋橋塔和主梁的彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化求解；彎矩最小法用彎矩平方和最小作為優(yōu)化目標(biāo)；循環(huán)迭代法基于初應(yīng)變或溫度荷載，建立單根索力與其初應(yīng)力或溫度荷載之間的關(guān)系，通過(guò)改變各拉索的初應(yīng)變或溫度荷載來(lái)調(diào)整橋梁內(nèi)力；凝聚函數(shù)法通過(guò)引入信息熵函數(shù)[14]，將多目標(biāo)多約束的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為光滑、可微的單目標(biāo)、單約束優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解；影響矩陣法是目前斜拉橋成橋索力調(diào)整中應(yīng)用最為廣泛的方法，將斜拉橋優(yōu)化的多種目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一用索力變量與廣義影響矩陣表示，實(shí)現(xiàn)了一種方法對(duì)多種目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的目的，既可用于成橋階段，也可用于施工階段，具有便于電算的優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大，需要通過(guò)多次迭代才能得到各拉索近似非彈性變形影響，存在不夠準(zhǔn)確的問(wèn)題；正裝迭代法基于影響矩陣法，能方便地計(jì)入混凝土收縮徐變和幾何非線(xiàn)性的影響，便于編程實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)[15]提出了一種含非彈性收縮量的預(yù)應(yīng)力筋桁架單元，在考慮預(yù)應(yīng)力筋剛度的同時(shí)，可準(zhǔn)確模擬預(yù)應(yīng)力筋單元的有效預(yù)應(yīng)力，實(shí)現(xiàn)了在分析結(jié)果中桁架單元的軸力(應(yīng)力)等于指定的值。本研究將其用于模擬斜拉橋的拉索，提出了分析斜拉橋二次調(diào)索的一種新方法。以一座單塔雙跨不對(duì)稱(chēng)布置的斜拉橋結(jié)構(gòu)為模型，進(jìn)行二次調(diào)索計(jì)算，并在Midas中建立相應(yīng)的結(jié)構(gòu)模型，對(duì)本方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于指定應(yīng)力的全橋拉索調(diào)整

以平面坐標(biāo)系下為例，將斜拉橋的拉索用含非彈性收縮量的預(yù)應(yīng)力筋單元[15]模擬時(shí)，單元平衡方程為：

(1)

式中，E，A，l分別為拉索單元的彈性模量、橫截面面積、建模長(zhǎng)度；c，s為拉索單元的方向余弦；ui，vi，uj，vj分別為節(jié)點(diǎn)i和j在直角坐標(biāo)系下沿x，y方向的位移分量；Xi，Yi，Xj，Yj分別為與各位移分量對(duì)應(yīng)的力分量；ΔL為拉索的非彈性收縮量；T為拉索的拉力。

對(duì)斜拉橋進(jìn)行整體分析，建立的平衡方程為：

(2)

或簡(jiǎn)寫(xiě)為：

kd=F，

(3)

基于指定應(yīng)力有限元方法進(jìn)行全部索力調(diào)整的算法步驟為：

1.1 確定當(dāng)前索力對(duì)應(yīng)的非彈性收縮量ΔLc

將T設(shè)置為當(dāng)前已知索力Tc，此時(shí)：

(4)

解式(2)，可得廣義位移向量，記為d：

(5)

式(4)中的非彈性收縮量ΔLc即為初始索力對(duì)應(yīng)的斜拉索非彈性收縮量。

1.2 確定目標(biāo)索力對(duì)應(yīng)的非彈性收縮量ΔLm

將T設(shè)置為目標(biāo)索力Tm，重復(fù)步驟1.1的過(guò)程，可得到與目標(biāo)索力對(duì)應(yīng)的非彈性收縮量ΔLm。

1.3 確定調(diào)索長(zhǎng)度ΔLt

各拉索的無(wú)應(yīng)力調(diào)索量(縮短為正)ΔLt的確定式為：

ΔLt=ΔLm-ΔLc。

(6)

2 基于指定應(yīng)力的部分拉索調(diào)整

根據(jù)指定應(yīng)力法，對(duì)全橋斜拉索進(jìn)行索力調(diào)整可以在理論上使得全部索力精確等于目標(biāo)索力。但在實(shí)際工程中，斜拉橋索力調(diào)整的施工難度大，施工控制復(fù)雜，對(duì)全橋斜拉索進(jìn)行索力調(diào)整很不經(jīng)濟(jì)。

從工程角度看，實(shí)際索力與目標(biāo)值容許有較小的誤差。這時(shí)需要解決的問(wèn)題是如何調(diào)整部分斜拉索，使得全部拉索的索力滿(mǎn)足工程要求精度。本研究基于指定應(yīng)力法，提出一個(gè)以部分拉索的非彈性收縮量為優(yōu)化變量、以全部拉索的索力差為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型。

2.1 部分斜拉索索力調(diào)整方法

將廣義位移向量d和廣義力向量F分為4類(lèi)：

(7)

(8)

式(7)～(8)中各項(xiàng)的含義與在結(jié)構(gòu)有限元平衡方程中的狀態(tài)見(jiàn)表1，d1,d2示意圖見(jiàn)圖1。

表1 廣義位移與廣義力中各項(xiàng)含義與狀態(tài)Tab.1 Meanings and states of generalized displacements and forces

圖1 d1,d2示意圖Fig.1 Schematic diagram of d1 and d2

根據(jù)式(7)～(8)，將式(2)中的k整理為分塊矩陣形式，可得：

(9)

根據(jù)上式可得：

(10)

由于F1，d2，ΔL2已知，式(10)可表達(dá)為：

d1=f1(ΔL1)。

(11)

進(jìn)一步可得：

T1=k31d1+k32d2+k33ΔL1+k34ΔL2=f2(ΔL1)，

(12)

T2=k41d1+k42d2+k43ΔL1+k44ΔL2=f3(ΔL1)。

(13)

式(12)～(13)表明，全部索力是以調(diào)索單元的非彈性收縮量為自變量的函數(shù)。根據(jù)目標(biāo)索力，可選擇不同形式的索力誤差作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行索力優(yōu)化。

例1以目標(biāo)索力與優(yōu)化后索力的差值平方和為目標(biāo)函數(shù)，按最小值進(jìn)行優(yōu)化：

f4(ΔL1)=∑[Tm-{T1,T2}]2。

(14)

例2以目標(biāo)索力與優(yōu)化后索力的相對(duì)差值的絕對(duì)值最大值為目標(biāo)函數(shù)，按最小值進(jìn)行優(yōu)化：

(15)

2.2 部分拉索調(diào)整方案選取方法簡(jiǎn)介

對(duì)于調(diào)整部分拉索的優(yōu)化問(wèn)題，選擇不同數(shù)量、不同位置的索會(huì)得到不同的優(yōu)化結(jié)果。為選取盡可能少的斜拉索得到滿(mǎn)足要求的優(yōu)化結(jié)果，可按不同方法選擇不同拉索組合進(jìn)行索力優(yōu)化，選擇其中效果最好的拉索組合作為最終的調(diào)索方案。

2.2.1 窮舉法

對(duì)所有拉索組合進(jìn)行分析，比較調(diào)索結(jié)果，找出最佳的索力調(diào)整方案。此方法的缺點(diǎn)是計(jì)算量很大，只適用于拉索數(shù)量較少的斜拉橋。

2.2.2 按索力誤差一次排序，遞增調(diào)索數(shù)量

根據(jù)各索當(dāng)前索力與目標(biāo)索力的某種誤差，從大到小排序，逐次增加調(diào)索數(shù)量，直到調(diào)索效果滿(mǎn)足精度要求。此方法簡(jiǎn)便易用，計(jì)算速度快。缺點(diǎn)是難以獲得最佳的拉索組合。

2.2.3 按索力誤差逐次排序，遞增調(diào)索數(shù)量

在增加1根拉索進(jìn)行調(diào)索時(shí)，在備選索中選擇當(dāng)前索力誤差最大的索，與已選索組合成新的拉索組合進(jìn)行調(diào)索優(yōu)化，逐次遞增調(diào)索數(shù)量，直到得到滿(mǎn)足要求的調(diào)索方案。

2.2.4 窮舉遞增

在上次組合基礎(chǔ)上，窮舉增加1根索的拉索組合，將效果最優(yōu)的拉索組合作為新的拉索組合，比較優(yōu)化效果，直到得到滿(mǎn)足要求的調(diào)索方案。

3 算例分析

利用前述方法，利用C++語(yǔ)言編制了1個(gè)有限元軟件，單元類(lèi)型包括常規(guī)桁架單元、梁?jiǎn)卧昂菑椥允湛s量的桁架單元。將每根拉索模擬為含非彈性收縮量的桁架單元，在指定索力時(shí)可計(jì)算其拉索非彈性收縮量；在指定非彈性收縮量時(shí)，可計(jì)算其索力。該軟件可方便地解決全橋調(diào)索問(wèn)題。

部分調(diào)索的計(jì)算思路為：

(1) 利用自編有限元軟件輸出總剛矩陣。

(2) 在Matlab軟件中按式(9)分塊，得到式(12)～(13)。

(3) 利用fminimax函數(shù)選擇式(15)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

3.1 模型概況

參考楊興等[16]的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，建立簡(jiǎn)化斜拉橋模型，布置情況見(jiàn)圖2。

圖2 斜拉橋總體布置Fig.2 General layout of cable-stayed bridge

斜拉橋采用獨(dú)塔雙跨不對(duì)稱(chēng)布置，主跨130 m，邊跨145 m，橋面寬19 m。斜拉索采用扇形索面，主跨斜拉索ZS1-ZS14索距8.5 m,邊跨斜拉索BS9-BS1索距8.5 m，BS14-BS10索距4.25 m，用桁架單元模擬。主梁采用C50混凝土，采用換算實(shí)腹式長(zhǎng)方形截面，梁高1.9 m，寬19 m，截面慣性矩10.86 m4。拉索彈性模量1.95×1011Pa，線(xiàn)膨脹系數(shù)α=1.2×105/℃，換算面積0.017 08 m2，用梁?jiǎn)卧M。全橋換算均布荷載307 kN/m,作用在主梁上。

3.2 全橋索力調(diào)整

根據(jù)資料，得到斜拉橋初始索力Tc和目標(biāo)索力Tm，根據(jù)本研究的全橋拉索調(diào)整方法，分別計(jì)算初始索力的非彈性收縮量ΔLc和目標(biāo)索力的非彈性收縮量ΔLm，其差值即為無(wú)應(yīng)力調(diào)索量ΔLt。

在Midas中建立相同的結(jié)構(gòu)模型，分別將本方法計(jì)算得到的非彈性收縮量ΔLc和ΔLm轉(zhuǎn)換為溫度荷載或初拉力施加Midas結(jié)構(gòu)索單元上，此時(shí)相當(dāng)于對(duì)Midas結(jié)構(gòu)施加了1組荷載，觀察其索力情況。若Midas計(jì)算得到的索力與對(duì)應(yīng)的初始索力Tc和目標(biāo)索力Tm相近，其誤差在允許范圍內(nèi)，可認(rèn)為本方法正確。

將非彈性收縮量ΔL轉(zhuǎn)換為溫度變化(降溫為正)t的關(guān)系為：

(16)

式中，α為拉索線(xiàn)膨脹系數(shù)；l為拉索單元長(zhǎng)度。

表2 全橋索力調(diào)整Tab.2 Cable force adjustment of the whole bridge

注: 1.差值=(索力-索力換算溫度荷載的Midas計(jì)算內(nèi)力)/索力; 2.調(diào)索量=目標(biāo)索力非彈性收縮量-初始索力非彈性收縮量。

從表2可以看出，全橋調(diào)索的計(jì)算結(jié)果與Midas驗(yàn)算結(jié)果很接近，誤差主要來(lái)源于式(16)中數(shù)據(jù)輸入、輸出的有效位數(shù)截?cái)?，?yàn)證了前述方法和自編軟件的正確性。

3.3 部分斜拉索索力優(yōu)化調(diào)整

本研究使用窮舉法，求解27,26,25根斜拉索進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整時(shí)的最佳拉索組合的優(yōu)化效果，目標(biāo)函數(shù)取為式(15)。

調(diào)27根索時(shí)，不調(diào)整ZS11索的效果最優(yōu)，目標(biāo)索力與優(yōu)化后索力相對(duì)差值絕對(duì)值的最大值為0.116%。

調(diào)26根索時(shí)，不調(diào)整ZS1，ZS5索的效果最優(yōu)，目標(biāo)索力與優(yōu)化后索力相對(duì)差值絕對(duì)值的最大值為1.432%。

調(diào)25根索時(shí)，不調(diào)整ZS1，ZS5，ZS4索的效果最優(yōu)，目標(biāo)索力與優(yōu)化后索力相對(duì)差值絕對(duì)值的最大值為1.497%。

表3 部分斜拉索索力優(yōu)化(窮舉法)Tab.3 Cable force optimization of partial cable stays (exhaustive method)

上述結(jié)果使用Midas進(jìn)行驗(yàn)算，誤差在允許范圍內(nèi)，計(jì)算正確且均滿(mǎn)足規(guī)范要求。24根索拉索組合數(shù)多達(dá)20 475種，窮舉較為困難，不再計(jì)算。除窮舉法，還可采用2.2節(jié)中的其他方法等多種方法選擇拉索組合進(jìn)行部分索力調(diào)整，對(duì)每種方法的性能的研究等工作將在以后展開(kāi)。

4 結(jié)論

迄今為止，已經(jīng)有多種方法可以實(shí)現(xiàn)斜拉橋的二次調(diào)索計(jì)算，但是都存在諸如計(jì)算量大、計(jì)算復(fù)雜、不夠準(zhǔn)確等缺點(diǎn)。本研究基于指定應(yīng)力有限元法，提出了一種斜拉橋二次調(diào)索的新計(jì)算方法，可對(duì)斜拉橋全橋進(jìn)行二次調(diào)索，也可對(duì)部分斜拉索進(jìn)行二次調(diào)索。對(duì)于結(jié)構(gòu)規(guī)模較小，非線(xiàn)性因素影響不大的斜拉橋二次調(diào)索計(jì)算具有計(jì)算簡(jiǎn)單、便于電算、力學(xué)意義明確等優(yōu)點(diǎn)，在工程上具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

對(duì)于斜拉橋的二次調(diào)索問(wèn)題，得到調(diào)索量后，按照一定的調(diào)索順序最終可以使全橋的索力達(dá)到目標(biāo)索力。但在實(shí)際工程中，為保證結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、應(yīng)力、位移在施工過(guò)程中不超過(guò)限值，還需找到最優(yōu)的調(diào)索順序[17]。對(duì)于大型的斜拉橋結(jié)構(gòu)，需要考慮索垂度、大變形、梁柱效應(yīng)、混凝土收縮徐變等非線(xiàn)性因素才能得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果[18]。未來(lái)可以從選擇更好的目標(biāo)函數(shù)、更好的優(yōu)化計(jì)算方法、考慮非線(xiàn)性因素、考慮施工控制等多方面進(jìn)一步發(fā)展本方法，提高針對(duì)大型復(fù)雜斜拉橋結(jié)構(gòu)的適用性。