劉 冶，李竹影，夏江敏

(海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033)

1 引言

超材料是一種新型人工材料，它通過精細(xì)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)自然材料所不具備的超常物理性能，包括有效控制電磁波傳播路徑[1-3]的能力。本課題組在研究超材料隱身裝置時(shí)，發(fā)現(xiàn)將圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器拓展成其他形狀的理想旋轉(zhuǎn)聚焦器將會(huì)非常困難，因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)過程中涉及的變換空間坐標(biāo)反向代換問題不易處理。對(duì)此，本文對(duì)橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器在設(shè)計(jì)上的可能性進(jìn)行探討，最終基于坐標(biāo)變換原理，提出了使入射電磁波產(chǎn)生小偏轉(zhuǎn)角的橢圓柱形超材料電磁旋轉(zhuǎn)聚焦器的近似方法，并得到了有限元軟件數(shù)值仿真結(jié)果的驗(yàn)證。

2 旋轉(zhuǎn)聚焦器的近似設(shè)計(jì)

一般來說，推導(dǎo)橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器的坐標(biāo)變換表達(dá)式時(shí)，需要經(jīng)歷兩個(gè)步驟，第一步是將原空間某一特定的區(qū)域進(jìn)行壓縮，實(shí)現(xiàn)該裝置對(duì)入射電磁波能量的聚焦功能，第二步是將原空間剩余的另一部分區(qū)域進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)張，整個(gè)變換過程只涉及柱坐標(biāo)的r分量和θ分量。橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器的二維模型由短半軸分別為a、b、c(a

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，可以很快計(jì)算出壓縮后空間(短半軸為a,k=2的橢圓包圍的區(qū)域)的電磁參數(shù)張量為

(1)

旋轉(zhuǎn)擴(kuò)張的空間為短半軸分別為a、c、k=2的橢圓所圍成的封閉橢圓環(huán)區(qū)域。此時(shí)，坐標(biāo)變換的極角分量θ的變換表達(dá)式為

(2)

其中，θ0為入射電磁波相對(duì)初始傳播方向變化的角度，即偏轉(zhuǎn)角。

在旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)張過程中，變換空間的徑向分量r′=r′(r,θ)，相對(duì)于原空間的徑向分量r，同時(shí)發(fā)生了長度和角度的變化，因此表達(dá)式r′=r′(r,θ)變得復(fù)雜，不易直接給出，這也是設(shè)計(jì)非圓柱形理想旋轉(zhuǎn)聚焦器的挑戰(zhàn)所在。但當(dāng)偏轉(zhuǎn)角θ0為零時(shí)，r′相對(duì)于r僅僅發(fā)生了等比例的縮小，這時(shí)不同空間徑向分量的坐標(biāo)變換表達(dá)式可簡化為

(3)

對(duì)于偏轉(zhuǎn)角足夠小的情況，變換空間中的徑向分量r′與式(3)得到的r′差別很小，此時(shí)可以將式(3)作為橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器旋轉(zhuǎn)擴(kuò)張區(qū)域?qū)?yīng)的徑向分量的近似變換表達(dá)式。

根據(jù)式(2)、式(3)及z′=z，根據(jù)坐標(biāo)變換理論，即可推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)擴(kuò)張區(qū)域中的橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器電磁參數(shù)張量關(guān)于柱坐標(biāo)變量的近似表達(dá)式。

3 偏轉(zhuǎn)角的橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器的仿真驗(yàn)證

橢圓柱形旋轉(zhuǎn)聚焦器仿真模型的三個(gè)橢圓形邊界的短半軸分別設(shè)為a=0.04 m，b=0.08 m，c=0.10 m，長短軸比均為k=2，由于(3)式只適用于偏轉(zhuǎn)角足夠小的情況，此時(shí)可將偏轉(zhuǎn)角設(shè)為θ0=π/120。模型的尺寸參數(shù)設(shè)置完畢后，采用COMSOL Multiphysics商用有限元仿真軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真條件中，波源為單位強(qiáng)度的TM平面波，工作頻率為8.5 GHz，求解域?yàn)?.56 m×0.46 m的矩形域，求解域的四周設(shè)置為吸收邊界，旋轉(zhuǎn)聚焦器的各個(gè)邊界均為連續(xù)邊界，TM波是從矩形域的左邊界垂直入射。經(jīng)過仿真軟件的數(shù)值計(jì)算，最終得到求解域的仿真結(jié)果如圖1所示。

從圖1中可以看到，盡管設(shè)置的偏轉(zhuǎn)角θ0比較小，但仍然能夠比較明顯地觀察到TM波的傳播方向在壓縮區(qū)域發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，且該區(qū)域磁場強(qiáng)度的幅值發(fā)生輕微的變化，最大值為1.319 A/m，最小值變?yōu)?1.317 A/m。此外，在旋轉(zhuǎn)聚焦器后方的區(qū)域，相對(duì)于初始狀態(tài)，TM波的等相位面略微發(fā)生了變化，沒有發(fā)生明顯的扭曲。以上的仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的裝置具有良好的電磁隱身和一定的能量聚焦性能。

4 結(jié)語

應(yīng)用坐標(biāo)變換理論推導(dǎo)出小偏轉(zhuǎn)角的橢圓柱形電磁超材料旋轉(zhuǎn)聚焦器的電磁參數(shù)張量的近似表達(dá)式。有限元軟件的仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的橢

圓柱形超材料裝置不僅具有良好電磁隱身性能，而且在一定程度上還同時(shí)具備變換入射電磁波傳播方向，聚焦電磁波能量的功能，從而實(shí)現(xiàn)了裝置設(shè)計(jì)預(yù)期。