陜西漢中鎮(zhèn)巴中學(xué)

陜西師范大學(xué)(712000)羅新兵

1 問題提出

數(shù)學(xué)教育的目的不僅是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和教會(huì)學(xué)生解題，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)精神、思維方式，并形成正確的人生觀、價(jià)值觀和適應(yīng)未來的素養(yǎng)更是數(shù)學(xué)教育肩負(fù)的不可推卸的重任.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用的過程中，逐步形成與發(fā)展的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)[1].核心素養(yǎng)源于20世紀(jì)90年代經(jīng)合組織所開展的“素養(yǎng)的界定與遴選”研究項(xiàng)目，將核心素養(yǎng)界定為人們都應(yīng)該具備的共同素養(yǎng)中那些最關(guān)鍵、且居于核心地位的素養(yǎng).20世紀(jì)初歐盟執(zhí)委會(huì)發(fā)表了《終生學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)：歐盟參考框架》指出：核心素養(yǎng)主要包括知識(shí)、技能與態(tài)度.之后，美、英、法等國(guó)相繼結(jié)合本國(guó)的情況對(duì)核心素養(yǎng)實(shí)施了界定[2].我國(guó)對(duì)核心素養(yǎng)的研究相對(duì)較晚，2014年3月教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，明確提出制定不同學(xué)段、不同學(xué)科的核心素養(yǎng)體系是首要任務(wù)，這是我國(guó)官方首次提出核心素養(yǎng).2016年9月，北師大林崇德團(tuán)隊(duì)發(fā)布了“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”研究成果，提出了核心素養(yǎng)的3個(gè)方面、6個(gè)維度和18個(gè)要素.2018年1月，人教社出版了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(下面簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2017版)》)，首次將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的含義、分類、主要表現(xiàn)、水平劃分和評(píng)價(jià)寫進(jìn)了課程標(biāo)準(zhǔn)，史寧中和王尚志教授組織課標(biāo)修訂組進(jìn)行了詳細(xì)的解讀[3]，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正式融入高中數(shù)學(xué)教育.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育研究的焦點(diǎn)，而核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)是其核心，查閱數(shù)學(xué)教育主流期刊，以往文獻(xiàn)主要研究的傾向是核心素養(yǎng)的構(gòu)建與內(nèi)涵等，如文[4-6].而對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的實(shí)證研究還處以起步階段，參考相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)僅有3篇是結(jié)合中高考數(shù)學(xué)試題對(duì)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的實(shí)證研究，其中張惠英、王瑞霖以2017年河北中考數(shù)學(xué)試題為例[7]，朱先東、吳增生以2017年浙江中考試題為例[8]，僅有1篇，即李作濱以2018年全國(guó)卷I為例，對(duì)高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查情況開展了研究[9].

在上述背景下，以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷II為例，探究高考中核心素養(yǎng)的考查情況與特征.

2 全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)

2019年是《課標(biāo)(2017版)》頒布以來的第二次高考，也是國(guó)務(wù)院推進(jìn)建立中國(guó)特色現(xiàn)代教育考試招生制度的倒數(shù)第二年，根據(jù)教育部公布的最新信息，2019年全國(guó)高考考生達(dá)到1031萬，這是近十年首次突破1000萬，比去年增加56萬人.全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試卷主要適用于重慶、遼寧、吉林、黑龍江、陜西、內(nèi)蒙古、寧夏、甘肅、青海九個(gè)省份，這九省主要分布在我國(guó)東北和西部地區(qū)，涉及地域廣，是我國(guó)經(jīng)濟(jì)大開發(fā)的重點(diǎn)區(qū)域，也是我國(guó)推進(jìn)教育改革相對(duì)緩慢地區(qū)，所以研究全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試卷的特征和核心素養(yǎng)的考查情況，對(duì)推進(jìn)教育改革和落實(shí)高考數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)的有效性有著十分重要的意義.

2019年高考結(jié)束后，全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題遭到了成千上萬人的吐槽，是恢復(fù)高考以來媒體和網(wǎng)絡(luò)反映最強(qiáng)烈的一次.然而整體上來說，試題還是延續(xù)了全國(guó)卷Ⅱ的命題風(fēng)格，穩(wěn)中有變、穩(wěn)重求新，注重對(duì)“四基”(基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))“四能”(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力)“三會(huì)”(會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界)和六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析)的考查，注重考查通性通法，突出主干知識(shí)，從多角度、多層次考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

表1 2018與2019年全國(guó)卷II試題對(duì)比

穩(wěn)中有變，穩(wěn)中有新的是：(1)文理科相同試題大幅度減少，由2018年的12道，共計(jì)91分，減少到2019年的7道，共計(jì)45分；(2)文科試題難度變化不大，得分率較高，然而理科試題難度明顯變大，是近幾年難度最大的一年，理科生數(shù)學(xué)成績(jī)的差距與區(qū)分度增加，選拔性增強(qiáng)；(3)在2018年框圖、三視圖與線性規(guī)劃三考二的基礎(chǔ)上，文科三考一，只考了線性規(guī)劃，理科則全部刪除，同時(shí)理科還沒考察二項(xiàng)式定理與定積分等內(nèi)容，這些內(nèi)容在《課標(biāo)(2017版)》和新教材中都已經(jīng)刪除，試題正逐年向新課程改革接軌；(4)試題沒有突出對(duì)高中數(shù)學(xué)雙基的全覆蓋，而是注重了核心知識(shí)與通性通法，加大了對(duì)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)邏輯等方面的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的深刻性與靈活性；(5)滲透數(shù)學(xué)文化，增設(shè)試題的真實(shí)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.如文科第4題以科學(xué)實(shí)驗(yàn)為背景命制，文科第5題以“一路一帶”為背景命制，文理第16題以中國(guó)歷史悠久的金石文化為背景命制，理科第4題以中國(guó)偉大的航天成就為背景命制，理科第13題以我國(guó)高鐵發(fā)展為背景命制，理科第18題以我國(guó)“國(guó)球”乒乓球比賽為背景命制等；(6)試題的順序發(fā)生了很大的變化.以近十年的全國(guó)卷II解答題為例，命題的落腳點(diǎn)基本是數(shù)列或解三角形、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式，然而2019年全國(guó)卷II文科解答題順序變?yōu)榱Ⅲw幾何、數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì)、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式，理科考察順序變?yōu)榱Ⅲw幾何、概率、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式；(7)試卷的閱讀量變大.理科試卷由2018年的1329字增加到2019年的2165字，增加836字，文科由2018年的1239字增加到2019年的1934字，增加695字，文理科試卷都由4頁增加到5頁，這是在過去全國(guó)高考和日常模擬考試中難以遇到的；(8)題型靈活，有創(chuàng)新試題，填空題出現(xiàn)一題兩空，這在近十年全國(guó)卷中首次出現(xiàn).

3 試題數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

根據(jù)《課標(biāo)(2017版)》對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定、分類與水平劃分和史寧中教授等的解讀，參考喻平教授、呂世虎教授和蔡金法教授文獻(xiàn)[4-6]，以2019年全國(guó)卷II高考數(shù)學(xué)試題為例，對(duì)核心素養(yǎng)的考查作出詳細(xì)分析，深入探究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查情況.

需要指出的是，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理及直觀想象的考查，往往不是在某一道題中獨(dú)立考查，而是在突出考查某一核心素養(yǎng)時(shí)，也對(duì)其它數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有所要求，在體現(xiàn)試題綜合性的同時(shí)，也順應(yīng)了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相互聯(lián)系的特征.

3.1 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)抽象是指舍棄事物的一切非數(shù)學(xué)屬性(如物理屬性、化學(xué)屬性、生物屬性、社會(huì)屬性等)，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系等方面抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部要素之間的聯(lián)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言加以表征的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：探究數(shù)學(xué)規(guī)律和概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和模型，體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法，理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考察數(shù)學(xué)抽象的試題約有12道，下面以理科第12題為例.

真題1(2019年高考全國(guó)卷II理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+1)= 2f(x)，且當(dāng)x ∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x-1).若對(duì)任意x ∈(-∞,m]，都有則m的取值范圍是()

核心素養(yǎng)考查分析此題是理科選擇壓軸題，難度比較大.縱觀整道試題，不難發(fā)現(xiàn)其核心條件是數(shù)量關(guān)系：f(x+1)= 2f(x)，解決本題的難點(diǎn)就是要通過對(duì)此數(shù)量關(guān)系的抽象，獲得繼續(xù)研究此題的對(duì)象和一般規(guī)律，并表征為：自變量每增加1，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，或從函數(shù)圖象的視角表征為：函數(shù)圖像橫向向右每平移1個(gè)單位，則縱向拉伸為原來的2倍，由此再結(jié)合二次函數(shù)的圖像和函數(shù)周期性解決.此題在重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的同時(shí)，對(duì)幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)都有一定的要求.

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生慢慢認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要橋梁，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，學(xué)生要能在具體的情境中抽象出一般的命題或規(guī)律，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與運(yùn)用，形成理性思維，理解數(shù)學(xué)本質(zhì).教學(xué)中，教師要善于基于問題情境，采取多種措施，重視過程引導(dǎo)、學(xué)生習(xí)慣和思維方式等培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.2 邏輯推理素養(yǎng)的考查

邏輯推理就是符合思維規(guī)律的推理，在形式和結(jié)構(gòu)上正確的推理，數(shù)學(xué)邏輯推理就是以一些基本的數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)命題為根據(jù)，按照規(guī)則獲得其它命題的素養(yǎng).邏輯推理素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：理解邏輯推理的基本規(guī)則和形式，發(fā)現(xiàn)和提出命題，探究、表達(dá)和論證推理過程，掌握命題體系，有邏輯的思考、表達(dá)與交流.在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考查邏輯推理的試題多達(dá)26道，下面以文科第5題為例.

真題2(2019年高考全國(guó)卷II文科第5題)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.

乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?/p>

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

核心素養(yǎng)考查分析該題以甲、乙、丙三人對(duì)“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的預(yù)測(cè)為背景，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，即另外兩人預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，所以不妨分別假設(shè)甲、乙、丙三人預(yù)測(cè)正確，然后根據(jù)題目的規(guī)則和邏輯關(guān)系尋求矛盾，分三種情況論證如下：(1)若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；(2)若丙預(yù)測(cè)正確，則乙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；(3)若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，符合題意.顯然，此題通過實(shí)際情景重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生逐漸意識(shí)到邏輯推理素養(yǎng)是獲得數(shù)學(xué)命題與建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的主要方式，是保證數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要工具，是數(shù)學(xué)活動(dòng)與交流的基本思維品質(zhì)，其意義不僅僅說明了數(shù)學(xué)問題的正確性，更重要的是揭示了數(shù)學(xué)命題之間的本質(zhì)聯(lián)系，保證了數(shù)學(xué)體系的嚴(yán)密性.教學(xué)中，教師要有意識(shí)的將邏輯推理貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，準(zhǔn)確把握其各個(gè)階段的水平要求，充分發(fā)揮不同邏輯推理形式的思維促進(jìn)功能，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

3.3 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)抽象，在實(shí)際情景中，以問題為核心，以學(xué)生為主體，以實(shí)驗(yàn)、合作探究、交流分享為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)的視角出發(fā)，發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題，建立數(shù)學(xué)模型，明確參數(shù)，通過運(yùn)算，分析檢驗(yàn)和改進(jìn)模型，使之更切合實(shí)際，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的能力和素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)、提出、表征與分析問題，將實(shí)際模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立和求解模型，檢驗(yàn)和修改模型，數(shù)學(xué)模型解決，即實(shí)際問題解決.嚴(yán)士健、張奠宙教授等在上個(gè)世紀(jì)90年代就曾大力提倡高考數(shù)學(xué)應(yīng)該考查關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)用與建模方面的應(yīng)用題，在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考查數(shù)學(xué)建模的試題比去年有所增多，達(dá)到8道，下面以2019年全國(guó)卷II理科第18為例.

真題3(2019年高考全國(guó)卷II理科第18題)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

核心素養(yǎng)考查分析本題以中國(guó)的“國(guó)球”乒乓球比賽的規(guī)則為背景，設(shè)置概率問題，在解決時(shí)需要建立概率模型，將實(shí)際模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決.第(1)問X=2表示“10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球甲均獲勝或乙均獲勝”，然而這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，所以恰當(dāng)?shù)慕⒒コ馐录怕誓Ｐ?，因此P(X=2)= 0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)= 0.5.第(2)問X=4且甲獲勝，表示”10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分”，整體建立獨(dú)立事件模型，局部涉及互斥事件，因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.建立合理的概率模型使得問題的解決事半功倍，顯然此題通過體育運(yùn)動(dòng)在滲透健康意識(shí)的育人功能時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要求較高，同時(shí)對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)也有一定要求.

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系外部世界與數(shù)學(xué)的橋梁，是運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本形式與手段，是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿Γ瑪?shù)學(xué)建模能促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全過程，鼓勵(lì)創(chuàng)新與多元評(píng)價(jià)，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)上得到不同的發(fā)展.

3.4 直觀想象素養(yǎng)的考查

直觀想象是指利用幾何直觀和空間想象感受事物的形態(tài)與變化，借助圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，具體來說就是運(yùn)用空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形表述、分析數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)與形的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)問題的直觀模型，尋求問題解決的方向與思路，從而解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).直觀想象主要表現(xiàn)為：構(gòu)建數(shù)與形的聯(lián)系，借助圖形表征問題，利用直觀理解問題，運(yùn)用空間形式感知事物.在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考查直觀想象的試題有12道，下面以文理科第16題為例.

真題4(2019年高考全國(guó)卷II文理科第16題)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有____個(gè)面，其棱長(zhǎng)為____.(本題第一空2分，第二空3分.)

圖2

圖1

核心素養(yǎng)考查分析此題以我國(guó)歷史悠久的傳統(tǒng)金石文化為背景命制，在解決時(shí)第(1)問需要借助圖形的空間形式來認(rèn)知半正多面體的各個(gè)面，第(2)問需要運(yùn)用空間想象，將三維空間圖形降維為二維的平面圖形，然后再結(jié)合幾何直觀，運(yùn)用平面幾何知識(shí)解決.顯然，本題在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力和將空間降維到平面的問題解決能力，對(duì)直觀想象素養(yǎng)要求較高，同時(shí)也對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算有一定的要求.

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到直觀想象是提出、發(fā)現(xiàn)、分析與解決問題的重要工具，是溝通數(shù)與形的媒介，是探究推導(dǎo)方向，實(shí)施數(shù)學(xué)推理與構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).教學(xué)中，教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣和利用圖形認(rèn)識(shí)、描述、理解問題，注重?cái)?shù)與形的聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)，探究問題的解決程序.

3.5 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指在數(shù)學(xué)運(yùn)算中起到調(diào)節(jié)作用的個(gè)性心理品質(zhì)，這種調(diào)節(jié)必須解決定向問題(明確運(yùn)算方向與運(yùn)算結(jié)果，確定運(yùn)算步驟)和運(yùn)算的操作與程序問題(具體的每步運(yùn)算).數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思路與方向的探究、準(zhǔn)確求解運(yùn)算結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)最典型的特征，在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的試題多達(dá)36道，考查頻率最為頻繁，下面以理科第4題為例.

真題5(2019年高考全國(guó)卷II理科第4題)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：設(shè)由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中則r的近似值為()

核心素養(yǎng)考查分析此題以中國(guó)偉大的航天成就“嫦娥四號(hào)”實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸為背景命制，試題的字?jǐn)?shù)多達(dá)234字，信息量大，閱讀量大，表面看像一道物理問題，實(shí)則是一道數(shù)學(xué)運(yùn)算問題，核心信息是題干后面的一句話設(shè)由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中審題結(jié)束后，縱觀四個(gè)選項(xiàng)，重點(diǎn)要尋求運(yùn)算方向，很顯然首先需要對(duì)方程兩邊同時(shí)除以M1得：結(jié)合題目的第二個(gè)條件得：利用題目的第三個(gè)條件得：解得本題對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求很高，找到運(yùn)算的切入點(diǎn)，然后結(jié)合題目條件，展開有序運(yùn)算是解決此題的關(guān)鍵.

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于演繹推理，是正確解決數(shù)學(xué)問題的保障和發(fā)展其它數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提.數(shù)學(xué)運(yùn)算能規(guī)范學(xué)生思考問題的品質(zhì)和一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)問題情境，將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，明確運(yùn)算對(duì)象，合理選用運(yùn)算法則，確定運(yùn)算思路，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.6 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

數(shù)據(jù)分析是指收集、整理、處理數(shù)據(jù)，并作出推斷與決策等，主要是在大量數(shù)據(jù)中提取和從具體情境中獲得相關(guān)的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，并最終得到結(jié)論.數(shù)據(jù)分析主要表現(xiàn)為：收集與分析數(shù)據(jù)，解釋和整理數(shù)據(jù)，歸納和理解結(jié)論，抽象和生成知識(shí).數(shù)據(jù)分析能力是信息時(shí)代的必備能力，在2019年全國(guó)卷II文理科試題中，考查數(shù)據(jù)分析的試題有6道，下面以文科第19題為例.

真題6(2019年高考全國(guó)卷II文科第19題)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企業(yè)數(shù)2 24 53 14 7

(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)附：

核心素養(yǎng)考查分析該題以企業(yè)產(chǎn)值的增長(zhǎng)與虧損情況為背景命制，試題的閱讀量也比較大，達(dá)到186字，第(1)問主要考查了頻率的計(jì)算，第(2)問需要根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)分析平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差：

此題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的同時(shí)，重點(diǎn)考查了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也有一定的要求.

在高中階段，要引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)據(jù)分析是研究自然現(xiàn)象的重要技術(shù)手段，是大數(shù)據(jù)時(shí)代的主要工具，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)滲透到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代生活等各個(gè)方面，通過數(shù)據(jù)形成認(rèn)識(shí)事物的辯證唯物主義觀念.教學(xué)中，教師要善于通過問題情境引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析活動(dòng)的全過程，充分發(fā)揮案例教學(xué)的作用，注重過程評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)生在數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

上述通過典型高考試題重點(diǎn)分析每種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查情況，眾所周知，高考試題代表著國(guó)家選拔優(yōu)秀人才的意志，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間即相對(duì)獨(dú)立又聯(lián)系緊密，有的試題在突出考查某一核心素養(yǎng)時(shí)，對(duì)其它數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也有所要求，所以為了更加詳細(xì)的了解2019年全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試題核心素養(yǎng)的考查情況，對(duì)46道文理科試題做了詳細(xì)的分析，如下表2.

通過表2發(fā)現(xiàn)，2019年全國(guó)卷II文理科試題對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有所考查，并且在考查側(cè)重方面的趨勢(shì)基本相同，即考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的試題明顯多于考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的試題，由于邏輯推理是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的工具，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，都體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的典型特征：嚴(yán)謹(jǐn)性.2019年全國(guó)卷II文理科試題單獨(dú)只考查某一種核心素養(yǎng)的試題很少，綜合考查多種核心素養(yǎng)的試題較多.

4 結(jié)論與建議

基于上述對(duì)2019年全國(guó)卷II文理科數(shù)學(xué)試題核心素養(yǎng)的考查研究，可以獲得以下結(jié)論.

(1)繼承創(chuàng)新，包容開放.創(chuàng)新與開放主要體現(xiàn)在兩方面：(i)文理科試題順序發(fā)生了很大變化，如：立體幾大題處于解答題第一題位置，縱觀近十年全國(guó)卷II今年是首次，立體幾何是學(xué)生的難點(diǎn)，這讓很多高三師生措手不及，所以2019年6月7號(hào)數(shù)學(xué)考試結(jié)束后，網(wǎng)上便大量涌現(xiàn)如下段子：嘔心瀝血講了幾個(gè)月的數(shù)學(xué)老師，到頭來連個(gè)題號(hào)都沒押對(duì).(ii)2019年的文理科填空題命制了多填題，這也是近十年來全國(guó)數(shù)學(xué)試題首次如此命制，應(yīng)證了教育部考試中心任子朝先生等在文[10]中的結(jié)論.

(2)文理科相同試題大幅度減少，文理科試題的難度差異變大.文理科相同試題由2018年的12道減少到2019年的7道，理科試題難度明顯上升，與文科試題難度的差距進(jìn)一步擴(kuò)大，增加了區(qū)分度與選拔性，這為文理不分科之后，數(shù)學(xué)高考試題的命制是趨于相同還是分層考核做了很好的實(shí)踐嘗試[11].

(3)試題的閱讀量變大.文理科試卷相對(duì)于2018年增加了1531字，其中理科增加836字，文科增加695字，試卷都由4頁增加到5頁，這種情況在近十年全國(guó)卷II中首次出現(xiàn).

(4)試題的命制注重真實(shí)情景，試題背景豐富，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，對(duì)學(xué)生德智體美勞“五育”都有所要求與熏陶.如：以中國(guó)偉大的航空成就和國(guó)人為之驕傲的高鐵等為背景命題，激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感與愛國(guó)情懷.以“國(guó)球”乒乓球比賽為背景命題，以提升學(xué)生的健康審美意識(shí)，宣揚(yáng)勞動(dòng)精神.并且教育部考試中心任子朝先生等在今年高考結(jié)束后在文[12]中再次強(qiáng)調(diào)高考數(shù)學(xué)要加強(qiáng)“五育”考查.

(5)試題的綜合性進(jìn)一步加強(qiáng)，單純只考查某一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題很少，大部分試題綜合考查了多種核心素養(yǎng)，美中不足的是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考核過于偏重，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題相對(duì)較少.

數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)是數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是落實(shí)立德樹人、培養(yǎng)學(xué)生德智體美勞的重要組成部分，擔(dān)負(fù)著提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量和選拔合格大學(xué)生的責(zé)任.高考是我國(guó)的基本教育制度，是目前相對(duì)公平的終結(jié)性測(cè)評(píng)方式，發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.基于上述分析，并結(jié)合目前現(xiàn)狀，提出以下建議.

(1)減少套路，回歸教材，返璞歸真，重視數(shù)學(xué)本質(zhì).首先，高考命題要減少套路，避免每年高考數(shù)學(xué)試卷都以相同的題型和模式命制；其次，教師高三復(fù)習(xí)備考教學(xué)要摒棄“考啥教啥”，過分押題的功利心理；最后，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要多關(guān)注通性通法，減少“題海戰(zhàn)術(shù)”，關(guān)注探究性問題，回歸教材，返璞歸真，重視數(shù)學(xué)問題的根源與本質(zhì).

(2)高考命題在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，要善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，焦距素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，“五育”并舉，陶冶學(xué)生情操，關(guān)注真善美，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.教師在高三復(fù)習(xí)備考中要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

(3)在落實(shí)“四基”的同時(shí)，促進(jìn)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)與選拔.這就需要命制一些創(chuàng)新性試題，創(chuàng)新性高考數(shù)學(xué)試題主要包括：多選題、多填題、舉例題與開放性試題等，教師在日常教學(xué)過程中要關(guān)注數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，在繼承中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)點(diǎn)時(shí)，要有開拓創(chuàng)新的覺悟.

(4)建議數(shù)學(xué)高考命題適當(dāng)減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，增強(qiáng)數(shù)學(xué)試題的思維含量，適當(dāng)延長(zhǎng)高考數(shù)學(xué)時(shí)間，加大數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的考查力度，因?yàn)殡S著信息技術(shù)與人工智能的高速發(fā)展和數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，數(shù)據(jù)分析與決策是學(xué)生適應(yīng)未來的必備技能，復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算建議理解運(yùn)算原理、方向與程序即可，不必在高考短時(shí)間內(nèi)大量考查，而淹沒數(shù)學(xué)火熱的思考.

(5)文理科相同試題減少，難度差別變大，為文理不分科后分層命題與考核提供了參考，豐富了學(xué)生的選擇性，提高了高考的選拔性.對(duì)于教師來說，需要根據(jù)這種導(dǎo)向，注重分層教學(xué)，因材施教，從而避免“優(yōu)等生吃不飽，學(xué)困生消化不了”現(xiàn)象，最大效率的讓每位學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.