張萬芹,陸博,馬騰飛

（河南科技學院數(shù)學科學學院,河南新鄉(xiāng)453003）

非線性問題是近代學術(shù)發(fā)展中比較前沿的課題.在科學技術(shù)的發(fā)展過程中人們發(fā)現(xiàn),自然科學和社會科學領(lǐng)域中非線性問題的作用越來越突出.在各類學科中都普遍存在非線性問題,而且這些問題大都可以被非線性常微分方程或非線性偏微分方程進行恰當?shù)拿枋?因此,很多科技工作者都投身于研究如何求解這些非線性方程,以便在科研過程中利用適合的方法得到需要的結(jié)果,這些成果不僅完善了本學科的研究,還可以促進相應學科的進步和發(fā)展[1].

近年來,在非線性動力學與控制學的研究中,比較熱點的課題是對非線性偏微分方程行波解的研究[2-12].求非線性方程中的精確解,尤其是方程的孤立波解,是面對高階非線性偏微分時的必要問題,于是很多新的方法被發(fā)現(xiàn)以用來獲得各類系統(tǒng)的孤立波解,如：齊次平衡法、Bcklund變換法、雙曲函數(shù)法等[4-6].

1993年,Camassa和Holm用物理方法推導出了標準的Camassa-Holm方程（簡稱為C-H方程）,并且推導出了淺水波波動方程的孤立波解.這種孤立波解的波峰并不是光滑的,也就是在波峰出現(xiàn)了尖點,因此被稱為孤立尖解[13].自從這種具有連續(xù)但不光滑的孤立解被Camassa和Holm找到后,受到了眾多學者的關(guān)注與研究[10-12].由于C-H方程保留的運動信息比Benjamin Bona Mahonyequation方程和Korteweg-de Vries方程中保留的更多,因此對C-H方程進行深入研究很有必要.

1 變系數(shù)Camassa-Holm方程的精確解

在獲得變系數(shù)C-H方程精確解的時候,可以借助第一種橢圓方程,來求方程的精確解,并用橢圓函數(shù)來表達方程的周期尖波解.

考慮變系數(shù)廣義Camassa-Holm方程

式（1）中：k,c和a是給定的常數(shù).

首先引入變換

式（2）中的b為待定常數(shù),把式（2）代入（1）中可得

然后對方程（3）兩邊進行一次積分

再積分可得

式（5）中：l,m,n,q,z為待定常數(shù),將方程（5）代入到方程（4）得到

整理可得

將變換方程（7）代入方程（6）整理后,令各項系數(shù)為0,得到

此時取b為方程

的實根,并且將式（7）式（8）代入到（5）得到

所以可以看出,只要把方程（10）的解求出來,就可以通過方程（7）、（3）來得到方程（1）的解.

2 橢圓函數(shù)表達的精確解

上面所得的方程（10）是第一種橢圓方程,現(xiàn)分兩種情況進行討論.

情況1

在式（11）中

而（12）式可化為

在（15）式中

3 小結(jié)

本文主要進行了兩類非線性方程精確解的研究.廣義Camassa-Holm方程是常見的非線性方程,本文利用構(gòu)造輔助微分方程結(jié)合廣義Camassa-Holm方程計算出精確解,然后聯(lián)系第一種橢圓方程的性質(zhì)和條件對精確解給出表達式.方法解決了變系數(shù)Camassa-Holm方程求解問題,推廣了文獻[10-12]的結(jié)果.