毛潤東 濮安山

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

利用高等幾何中的交比知識以及仿射幾何的知識來解高考向量問題和解析幾何問題,可為解決初等幾何問題拓寬思路．本文對此作一些探討.

一、利用交比性質(zhì)突破難點(diǎn)

三等分線與中線交點(diǎn)將中線分成兩條線段,這兩條線段與中線有一定的比例關(guān)系,要求這種比例關(guān)系,可以選擇建立坐標(biāo)系.但又由于建立坐標(biāo)系需要進(jìn)行較為復(fù)雜的計(jì)算,所以這里引入交比法來突破難點(diǎn).

交比的初等幾何意義是:如果限于歐氏平面,則交比等式右邊的P1P3,P2P4,P2P3,P1P4就是兩點(diǎn)間的有向距離.

性質(zhì)1[2]兩點(diǎn)列成射影對應(yīng)的充要條件是任意四點(diǎn)的交比與對應(yīng)四點(diǎn)的交比相等.

據(jù)此，易得例1的解法如下:

評注運(yùn)用交比證明的理論依據(jù)就在于交比的初等幾何意義:在歐氏平面中等式右邊的四個(gè)因式都是兩點(diǎn)間的有向距離,又因?yàn)榻槐确栔兴膫€(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn),只需要考慮線段的長度即可.證明過程首要的就是選取透視中心(例題中選取C),根據(jù)中心投影構(gòu)造兩點(diǎn)列的透視對應(yīng).作輔助線中線的原因有二:一是構(gòu)造出透視對應(yīng)點(diǎn)列的四點(diǎn),根據(jù)充要條件這四點(diǎn)與對應(yīng)四點(diǎn)交比相等;二是能夠直接利用三角形重心將中線分成長度比為1∶2的線段這一性質(zhì).可以看出運(yùn)用交比法證明,過程較為簡單與直接.

二、利用圓的幾何性質(zhì)簡化問題

在笛卡兒直角坐標(biāo)系下，任意一個(gè)橢圓經(jīng)過仿射變換后的對應(yīng)圖形為圓.利用橢圓的仿射性質(zhì)，將橢圓中的點(diǎn)、線元素變?yōu)閳A中的元素,然后利用圓的幾何性質(zhì)解題，就能起到簡化作用.

(1)求橢圓C的方程;

(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

(2)方法1因?yàn)橹本€AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),所以直線AE與直線AF的斜率都存在,所以不妨設(shè)AE的斜率為k.

用-k代替k，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)

評注這是一類求橢圓弦的斜率為定值的問題.對比這兩種方法，顯然方法2更加簡單,方法2可以避免復(fù)雜的計(jì)算.方法1中如果點(diǎn)的坐標(biāo)不是簡單的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的話,聯(lián)立方程的復(fù)雜程度將更高.方法2利用仿射變換將橢圓中的弦EF變?yōu)閳A中的弦E′F′,BD變?yōu)閳A中的直徑B′D′,且B′是弧E′F′的中點(diǎn),然后利用經(jīng)過弧中點(diǎn)的直徑與弧所對應(yīng)的弦垂直這一圓中的性質(zhì)，就能很快地解出該題.