白雪敏

（晉中學(xué)院物理學(xué)院，山西晉中030619）

0 引言

由于任何系統(tǒng)都不可避免地受到周圍環(huán)境的影響，如何檢測系統(tǒng)的量子態(tài)演化速度受到國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注.量子系統(tǒng)從初始態(tài)達(dá)到目標(biāo)量子態(tài)所需要的最小演化時間被稱為量子速度極限時間.近年來，人們對封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)的量子速度極限時間問題做了大量的研究［1～4］.量子速度極限時間相關(guān)問題研究在量子物理的許多領(lǐng)域中都起著重要的作用，例如，量子計算、量子控制和量子計量［5～7］等等.最近，針對系統(tǒng)中糾纏度對量子極限時間的作用［8］、退相干與量子極限時間之間的微妙聯(lián)系［9～10］，開放系統(tǒng)下初始狀態(tài)對量子極限時間的影響以及在量子相變與量子極限時間的聯(lián)系等課題，許多文獻(xiàn)都展開了研究［11］.特別是非馬爾科夫性可以加速量子系統(tǒng)的演化在不同的噪聲環(huán)境下的系統(tǒng)中被做了大量的研究.關(guān)于實驗在弱驅(qū)動光腔電動力學(xué)系統(tǒng)中的非馬爾科夫性可以加速量子系統(tǒng)演化已在文獻(xiàn)［12］中被報道.在此基礎(chǔ)之上，我們將研究級聯(lián)環(huán)境中原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)以及非馬爾科夫性對系統(tǒng)量子演化速度的影響，我們研究的是一個量子比特被嵌入在兩個耦合腔中的一個腔內(nèi)的系統(tǒng).由于模型參數(shù)的變化，本系統(tǒng)也可發(fā)生馬爾科夫到非馬爾科夫轉(zhuǎn)變的現(xiàn)象.我們研究該量子系統(tǒng)中環(huán)境參數(shù)對量子速度極限時間的影響.當(dāng)量子速度極限時間與驅(qū)動時間相等τQSL=τ，這意味著進(jìn)化已經(jīng)沿著最快的路徑，不具備進(jìn)一步加速演化的潛力.然而當(dāng)τQSL＜τ，τQSL越小代表該系統(tǒng)潛在的加速能力越大［13］.在這種情況下，隨著腔-腔耦合強度J的增大，系統(tǒng)的量子態(tài)演化可以從沒有加速到有加速.原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)與非馬爾科夫性對量子極限時間影響較大.研究表明，即使是兩個量都對量子加速起到作用，但非馬爾科夫性最終決定了對量子態(tài)演化的加速.

1 物理模型以及基本概念

我們考慮一個量子比特被放置在一個有損腔C1而C1又與另一個有損腔C2相互作用組成的量子系統(tǒng)，它的哈密頓量為如下形式（?=1）：

這是級聯(lián)環(huán)境中一個量子比特系統(tǒng)的哈密頓量.σ±是量子比特的上升和下降算符，ω0是量子比特基態(tài)｜0〉和激發(fā)態(tài)｜1〉之間的轉(zhuǎn)換頻率，（a1）為Ci腔的產(chǎn)生（湮滅）算符以及腔場頻率為ωi（i=1，2）.J表示兩腔之間的耦合強度，參數(shù)κ代表比特和腔之間的耦合強度參數(shù).為了簡便，我們令ω1=ω2=ω且ω0=ω+δ，這里δ是量子比特和腔之間的失諧.考慮兩腔的耗散，可以通過主方程得到整個系統(tǒng)隨時間演化的密度矩陣為：

密度矩陣變形為

通過標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯轉(zhuǎn)換和數(shù)值計算，我們可以得到單量子比特的約化密度矩陣，在基矢 ｛｜ 1 〉，｜0〉｝下可展開為

3 量子加速

首先，我們簡要地給出了與本文第二部分中描述的模型相對應(yīng)的單量子比特開放系統(tǒng)的量子速度極限推導(dǎo)形式.根據(jù)馮諾依曼不等式和柯西-施瓦茨不等式，開放系統(tǒng)的最初量子態(tài)ρ（0）=｜Ψ0〉〈Ψ0｜與其目標(biāo)量子態(tài)ρ（τ）之間的量子速度極限時間滿足方程

在這一節(jié)，我們計算了初始狀態(tài)ρ（0）與最終狀態(tài)之間的量子速度極限時間τQSL，其中驅(qū)動時間為τ.為了既方便又不失一般性，初始狀態(tài)被假設(shè)為激發(fā)態(tài)ρ（0）=｜1〉〈1｜.上述模型的QSL時間τQSL可導(dǎo)出為

其中，μt表示τ時刻激發(fā)態(tài)的布居數(shù)，可以從方程（6）中計算獲得.顯然，τQSL與給定驅(qū)動時間下的原子布居數(shù)μt有密切關(guān)系.同時，原子布居數(shù)μt受到環(huán)境各個參數(shù)共同的影響.在下面，我們將分別研究J，δ，κ，Γ2對QSL時間τQSL的影響.

為了有效地估計量子加速的過程，我們假設(shè)了一個初始狀態(tài)和一個目標(biāo)狀態(tài)，驅(qū)動時間τ表示量子系統(tǒng)實際演化時間.不同于封閉系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)，在開放系統(tǒng)演化中這兩種狀態(tài)是不正交的.接下來通過分析，我們發(fā)現(xiàn)，量子狀態(tài)演化的最小速度極限時間是由τQSL決定的.τQSL的大小能估計一個量子系統(tǒng)的演化速度.當(dāng)τQSL＜τ，表示量子系統(tǒng)有加速演化的可能，且τQSL越小量子系統(tǒng)演化得越快.當(dāng)τQSL=τ，代表系統(tǒng)演化速率是最快的，不存在加速演化的過程.有趣的是方程（8）清楚地表明了τQSL時間與原子布居數(shù)μt有關(guān).如果原子布居數(shù)μt始終為一，量子比特的狀態(tài)是不會演化的.這意味著τQSL=0.此外，為了能夠使我們更加精細(xì)地研究τQSL時間，描繪跡距離時間演化的非馬爾科夫性被引入，它定義為如下式子：

其中σ（t，ρ1，2（0））=ρ˙（ρ1（t），ρ2（t））為跡長的改變率.這里，積分區(qū)域是σ＜0的整個區(qū)域，并對所有可能的初態(tài)取極大值與對應(yīng)極小值之差.

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，當(dāng)ρ1（0）=｜0〉〈0｜且ρ2（0）=｜1〉〈1｜時，也就是D（ρ1（t），ρ2（t））=μ.我們可以把非馬爾科夫表示成如下式子

這表明τQSL時間不僅依賴于原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)μt，而且在演化時間τ內(nèi)，非馬爾科夫效應(yīng)也可以加速系統(tǒng)的演化.式（11）意味著量子態(tài)從沒有加速到有加速只是馬爾可夫環(huán)境變成非馬爾科夫環(huán)境出現(xiàn)的現(xiàn)象.當(dāng)N=0時，τQSL=μt.這是非馬爾科夫效應(yīng)N和激發(fā)態(tài)原子布居數(shù)μt兩個量之間共同作用最終決定了系統(tǒng)量子態(tài)的演化速度.對于開放量子系統(tǒng)，如果系統(tǒng)與環(huán)境相互作用出現(xiàn)信息回流的非馬爾科夫效應(yīng)或原子激發(fā)態(tài)不計數(shù)增大，都可以加快量子系統(tǒng)的演化速度（或者說潛在的加速是可以實現(xiàn)的）.

4 量子加速動力學(xué)演化

我們通過數(shù)值計算展示了量子速度極限時間τQSL在量子比特和腔場C1的耦合強度κ不同的情況下以無量綱場之間耦合強度J/Γ1為變量的動力學(xué)演化（見圖1）.這里，我們假定第一個腔的耗散率Γ1=1，量子比特和腔之間的失諧 δ=0，第二個腔的耗散率 Γ2=0（圖 1（a1)-圖 1（a2）），Γ2=1（圖 1（a3）-圖 1（a4））.從圖中可以清楚地看出，當(dāng)驅(qū)動時間τ不同（例如在τ=1和τ=5）的情況下，以無量綱J/Γ1為函數(shù)的量子速度極限時間τQSL的性質(zhì)表現(xiàn)出強烈的不同.當(dāng)驅(qū)動時間τ=1時，腔-腔耦合強度J大于某個值，系統(tǒng)會產(chǎn)生量子加速現(xiàn)象；而當(dāng)腔-腔耦合強度J小于這個值時，速度極限時間τQSL會保持在一個穩(wěn)定的值.逐漸增大耦合強度κ的值（從0.2到1），我們觀察到量子加速現(xiàn)象但不是很明顯.然而在τ=5的情況下，較強的耦合強度κ可以把加速臨界點推到較小的腔-腔耦合強度J區(qū)域.我們發(fā)現(xiàn)，如果量子比特最初弱耦合與腔C1（κ=0.2）其量子系統(tǒng)的演化隨著兩腔之間的耦合強度J的增大從沒有加速變?yōu)榧铀?另一方面增加量子比特與腔之間的耦合強度（κ=0.6，1），量子加速現(xiàn)象會出現(xiàn)在J=0區(qū)域，這種現(xiàn)象完全不同于τ=1的情況.此外，對于較長的驅(qū)動時間τ，逐漸增大腔-腔之間的耦合強度J，量子加速表現(xiàn)為阻尼振蕩行為.相比較，當(dāng)?shù)诙€腔的耗散強度較大為Γ2=1時，量子系統(tǒng)加速行為可以觀察到明顯受阻（如圖1（a1）～1（a4））.在圖1（a3）中的量子加速發(fā)生點與圖1（a1）的相比，會出現(xiàn)在較大點處.最后，當(dāng)驅(qū)動時間τ越大時，阻尼振蕩行為越明顯（見圖 1（a2）～1（a4））.

圖1 量子速度極限時間τQSL以無量綱時間J為變量的演化行為

如何解釋上述現(xiàn)象呢？為此，我們在圖 1（b1）～1（b4）中以與圖 1（a1）-1（a4）相同的參數(shù)為條件展示了布居數(shù)P與非馬爾科夫N的動力學(xué)演化曲線圖.只有當(dāng)馬爾科夫環(huán)境變?yōu)榉邱R爾科夫環(huán)境時，量子系統(tǒng)演化加速現(xiàn)象才會發(fā)生.當(dāng)驅(qū)動時間τ=1時（如圖1（a1）和1（a3）），量子加速強烈依賴于布居數(shù)P與非馬爾科夫N，雖然非馬爾科夫很小.隨著原子與腔耦合強度κ的增大（從0.2到1），非馬爾科夫變得更大，但布居數(shù)P變得越來越小，隨著耦合強度J的增大，我們觀察到的量子加速現(xiàn)象沒有顯著的不同（見圖1（a1））.此外，當(dāng)驅(qū)動時間τ=5，量子加速表現(xiàn)為阻尼振蕩行為.這種行為可以通過非馬爾科夫與布居數(shù)兩者的阻尼振蕩的方式來解釋.當(dāng)?shù)诙€腔的耗散強度較大為Γ2=1時，非馬爾科夫與布居數(shù)兩者的振蕩行為明顯受阻（如圖 1（b1）～1（b4））.

圖2顯示了在腔-腔耦合強度為J=1和J=2的情況下，δ對量子速度極限時間τQSL、非馬爾科夫N、布居數(shù)P的影響.在圖2（a1）中，當(dāng)|δ|的值大于某一值時系統(tǒng)演化出現(xiàn)量子加速現(xiàn)象.當(dāng)驅(qū)動時間τ=5（見圖2（a2）），增加|δ|值，我們觀察到τQSL曲線首先達(dá)到一個最小值，然后振蕩并達(dá)到一個最大值或者保持一間段最大穩(wěn)定值，最后τQSL曲線進(jìn)化阻尼振蕩.相比較，當(dāng)量子比特與腔弱耦合時（κ=0.2），會出現(xiàn)沒有量子加速現(xiàn)象，但在量子比特與腔強耦合的情況下（κ=0.6，1）一直有量子加速現(xiàn)象.在J=2的情況下，在圖2（a3）加速現(xiàn)象出現(xiàn)在δ=0這個點，這是完全不同于圖2（a1）.在驅(qū)動時間τ=5的情況下，我們觀察到?jīng)]有加速區(qū)域和最大值點出現(xiàn)在較大|δ|的地方，但區(qū)間的大小以及最大值沒有變化.為了解釋上述現(xiàn)象，通過對比圖2（a1-b4），我們可以發(fā)現(xiàn)加速的原因在于非馬爾科夫N和布居數(shù)P，這與圖1相似.

圖2 量子速度極限時間τQSL以無量綱時間δ/Γ1為變量的演化行為

5 總結(jié)

在這篇文章中，我們討論和分析了級聯(lián)環(huán)境對量子速度極限時間影響的相關(guān)問題.特別地，我們可以觀察到由兩個耦合的腔組成的環(huán)境體系可以使嵌入在其中一個腔內(nèi)的量子比特系統(tǒng)的動態(tài)演化實現(xiàn)在馬爾科夫和非馬爾科夫之間的切換的.這個特性在本文中可以用來解釋系統(tǒng)演化加速現(xiàn)象.此外，我們發(fā)現(xiàn)腔-腔耦合強度、量子比特與腔的耦合強度、腔的耗散以及驅(qū)動時間都極大地影響了速度極限時間的大小.最后，我們發(fā)現(xiàn)非馬爾科夫性與激發(fā)態(tài)原子布居數(shù)可以共同解釋量子加速現(xiàn)象的產(chǎn)生.

我們對量子速度極限時間的研究方案不僅簡單，而且可以用來被擴展成兩組分或者多組分體系從而滿足了復(fù)雜的量子信息研究.這項研究工作的結(jié)果關(guān)于開放量子系統(tǒng)的量子速度極限有新的見解，并為進(jìn)一步的實驗發(fā)展打下了基礎(chǔ)，有助于更好地保護(hù)量子資源.