冀懷忠

（和順縣教師進(jìn)修學(xué)校，山西和順032700）

山西省2018年中考數(shù)學(xué)22題系初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”范疇的“綜合與實(shí)踐”題目.試題遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》之要求，立足基礎(chǔ)，不偏不難，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程，彰顯了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，值得思考和研究.

1 試題呈現(xiàn)（山西中考數(shù)學(xué)22題——綜合與實(shí)踐）

1.1 問(wèn)題情境

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=AB，連接DE，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系.

1.2 探究展示

勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵BE=AB，∴AE=2AB.

∵ AD=2AB，∴ AD=AE，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.

即AM是△ADE的DE邊上的中線.

又∵ AD=AE，∴ AM⊥DE，（依據(jù)2）

∴AM垂直平分DE.

圖1

1.3 反思交流

1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上，請(qǐng)直接回答，不必證明.

2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.

1.4 探索發(fā)現(xiàn)

如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C和點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.

圖2

圖3

2 試題思考

試題突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)注探究實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)歷，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.

2.1 探究活動(dòng)的范例

試題結(jié)構(gòu)包括有“問(wèn)題情境”“探究展示”“反思交流”“探索發(fā)現(xiàn)”四部分，其以矩形為載體，構(gòu)造直角三角形、正方形等情境，圍繞有關(guān)“點(diǎn)在線段的垂直平分線”問(wèn)題展開(kāi)探究活動(dòng).“問(wèn)題情境”先是對(duì)特殊矩形進(jìn)行圖形延展，出現(xiàn)直角三角形和正方形，要求判斷圖中兩線段的位置關(guān)系.“探究展示”環(huán)節(jié)為學(xué)生探究、討論后出示的一種解答方案.“反思交流”首先體現(xiàn)良好的思維習(xí)慣，對(duì)上面某小組展示的解答過(guò)程尋找推理依據(jù)，并聯(lián)想、提出“點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上”的相關(guān)問(wèn)題，接著給出創(chuàng)新小組受如前探究活動(dòng)“啟發(fā)”的類(lèi)比聯(lián)想，重新構(gòu)建直角三角形、正方形新情形如圖3，猜想、發(fā)現(xiàn)具有類(lèi)似“點(diǎn)在線段垂直平分線上”的結(jié)論.“探索發(fā)現(xiàn)”，在前一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生聯(lián)想，對(duì)稱(chēng)性地變化所構(gòu)正方形“CE為一邊在CE的右上方作正方形”，類(lèi)比性的正常思維提出，是否又存在“點(diǎn)在線段垂直平分線上的特征”猜測(cè)等.

試題的幾個(gè)環(huán)節(jié)具有一定的關(guān)聯(lián)性.以“點(diǎn)在線段垂直平分線上”為主線，進(jìn)行邏輯性的、環(huán)環(huán)相扣的類(lèi)比，產(chǎn)生一系列的猜想，并給予推理論證.一定意義上講，這一過(guò)程是人們科學(xué)認(rèn)識(shí)世界的濃縮過(guò)程，是人們獲得新知的有效途徑和方法.學(xué)生經(jīng)歷、體現(xiàn)如此過(guò)程的訓(xùn)練，有助于形成正確的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思考問(wèn)題的良好思維習(xí)慣；有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力；有助于學(xué)生獲得新知探究過(guò)程的體驗(yàn)和感悟，彰顯出“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力以及數(shù)學(xué)思維的綜合訓(xùn)練之特點(diǎn).筆者認(rèn)為，該題目設(shè)置的結(jié)構(gòu)模式展現(xiàn)了科學(xué)的思維過(guò)程，充滿(mǎn)了探究的意味，具有探究實(shí)踐活動(dòng)范例之功效，對(duì)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施有良好的導(dǎo)向作用.

2.2 核心素養(yǎng)的考查

一般地，初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等.在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查方面，該試題顯得尤為突出，重點(diǎn)地考查了學(xué)生的推理能力、空間觀念、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)等.

首先，試題具有綜合性的特點(diǎn).試題要求學(xué)生認(rèn)真閱讀題干，從中獲取信息，經(jīng)歷操作、猜想、推理證明等過(guò)程.第（1）問(wèn)依據(jù)的尋找，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)推理須邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)的觀點(diǎn).各個(gè)環(huán)節(jié)相繼提出的問(wèn)題需要一定合情推理能力作保障.對(duì)所給結(jié)論或猜想的證明，考查了學(xué)生的推理能力.試題中圖形的變化，隱含了空間觀念的考察.“問(wèn)題情境”中，兩線段位置關(guān)系的判斷，“探索發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)的“請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論”等，需要學(xué)生具有一定的“幾何直觀”素養(yǎng)和猜想、推理能力.第（3）問(wèn)題的分析，對(duì)于矩形ABCD和正方形CEFG，除題設(shè)所給“發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C和點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上”不需要考慮外，涉及到的頂點(diǎn)還有點(diǎn)A、D、E、F、G.幾何直觀，觀察發(fā)現(xiàn)，所給矩形、正方形某邊垂直平分線上的頂點(diǎn)只可能有A、F兩個(gè)頂點(diǎn)，其他的點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)G一定是不行的.接著可判斷點(diǎn)A也是不具備條件的，事實(shí)上，如圖4，若頂點(diǎn)A具備，只可能是CE或FG的垂直平分線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作CE的垂線AH，垂足為H，連接AC，因在Rt△ACH和Rt△AEH中，顯然AC≠AE，根據(jù)勾股定理，CH≠EH，故點(diǎn)A非CE垂直平分線上的點(diǎn)，也非FG垂直平分線上的點(diǎn).故猜想到的結(jié)論可能是“點(diǎn)F是CB垂直平分線上的點(diǎn)”，后經(jīng)推理論證，該結(jié)論得到證明.幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象，獲得了很多有效判斷.凡此種種均考察了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

其次，試題體現(xiàn)出探究、開(kāi)放的特點(diǎn).解答方法具有一定的開(kāi)放性，考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，為不同學(xué)生提供了展示才華的空間，激發(fā)學(xué)生的想象力，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、發(fā)散思維.第（2）問(wèn)題的證明，其思路可如圖5，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB于點(diǎn)H，通過(guò)證明△GHC≌△CBE，得CH=EB，從而證明CH=BH，結(jié)論獲證.或思路如圖6，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB于H，連接DB，通過(guò)證明Rt△BCD≌Rt△CBE，得BD=CE，∠DBC=∠ECB，又∠ECB+∠GCH=90°，∠CGH+∠GCH=90°，故有∠ECB=∠CGH，∠DBC=∠CGH，Rt△GHC ≌ Rt△BCD，CD=CH，從而證明 CH=BH，結(jié)論獲證.

圖4

圖5

圖6

第（3）問(wèn)題的證明，可采取幾何法思路，如圖7，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥MF于點(diǎn)N，通過(guò)證明Rt△FNE≌ Rt△CBE，得BE=NE，故BM=NE=BE，從而CM=BM，結(jié)論獲證.也可采取幾何思路，如圖8，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，得矩形BHFM，BM=FH，又可證Rt△FEH≌Rt△ECB，故有BE=FH=BM，從而CM=BM，結(jié)論獲證.還可采取代數(shù)法思路，如圖9，連接CF和BF，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，可證Rt△FEN≌Rt△ECB，F(xiàn)N=BE，EN=CB，若設(shè)BE=a，則對(duì) Rt△CFG 和 Rt△BNF 可計(jì)算出 CG2=CE2=（2a）2+a2=5a2，CF2=5a2+5a2=10a2，BF2=（3a）2+a2=10a2，從而 CF=BF，F(xiàn) 在 BC 的垂直平分線上.

圖7

圖8

圖9

2.3 可拓思維的素材

對(duì)該試題探究還有可拓展的思維空間.若將試題作為教學(xué)活動(dòng)繼續(xù)探討、研究的對(duì)象，沿著原試題情境中的方向往后思考的話，又會(huì)得到意想不到的結(jié)論.

對(duì)于“問(wèn)題情境”環(huán)節(jié)的圖1“以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG”對(duì)稱(chēng)變式為“以DE為一邊和“在DE的右上方作正方形DEFG”（或再抽象為“以DE為一邊作正方形DEFG”），結(jié)論是一樣的.思考發(fā)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上該問(wèn)題只與“連接的DE，DE、BC的交點(diǎn)M”有關(guān)，而與是否構(gòu)造正方形無(wú)關(guān).設(shè)置構(gòu)造正方形是為后繼的問(wèn)題提出做鋪墊之用的.

若將圖2、圖3結(jié)合在一起思考，圖2正方形沿直線CE翻折形成又一正方形.條件變成“以CE為一邊作正方形，可有正方形CEFG、正方形CEF′G′”，得到如圖10所示，連接GF′，則有GF′垂直平分邊CB的特征.繼續(xù)觀察圖10，去除多余的次要圖形部分，抓住主干，可抽象成更為簡(jiǎn)單的圖形圖11.同時(shí)可對(duì)圖11應(yīng)有的類(lèi)似結(jié)論進(jìn)行歸納抽象，得“以某一線段為一邊作兩個(gè)不重疊的正方形，再以這一線段為直角三角形的斜邊，構(gòu)造一個(gè)兩直角邊邊長(zhǎng)是2倍關(guān)系的直角三角形，則由兩個(gè)正方形構(gòu)成的矩形存在一條對(duì)角線垂直平分直角三角形較長(zhǎng)的直角邊”.我們認(rèn)為“數(shù)學(xué)抽象”雖是高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓初中階段學(xué)生進(jìn)行這樣的訓(xùn)練是很有必要的.

繼續(xù)探究，以上在構(gòu)造正方形時(shí)，都是連接最初圖形中的點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E中的某兩點(diǎn)所成線段（非原圖形的線段）作為正方形的一條邊構(gòu)造正方形去探索的.至此余下只有連接矩形對(duì)角線的情形了，那么連接矩形ABCD的任一條對(duì)角線，以此對(duì)角線為一邊作正方形，結(jié)論又怎樣？可以證明均有類(lèi)似于上面的性質(zhì)特征，即“存在正方形的某一頂點(diǎn)在矩形較長(zhǎng)邊的垂直平分線上”.事實(shí)上問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圖11的情形，結(jié)論顯然是成立的.

對(duì)于圖10，可引導(dǎo)學(xué)生尋找、感悟圖形之美，體會(huì)結(jié)論之美.圖形中矩形的邊長(zhǎng)是2倍關(guān)系，直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)同樣是2倍關(guān)系，得到的結(jié)論——出現(xiàn)有“線段垂直平分線”圖形.

如上探究活動(dòng)，程式具有一定的邏輯性，圍繞同樣的主線——點(diǎn)在線段的垂直平分線上，進(jìn)行操作、觀察、猜想、論證.得到的又有類(lèi)似的結(jié)論——存在這樣的點(diǎn)和線段，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，體現(xiàn)出圖形動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的和諧美，體現(xiàn)出結(jié)論、規(guī)律的統(tǒng)一美，體現(xiàn)出事物間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn).

開(kāi)拓思維空間，對(duì)原有22題的再探究，無(wú)論是在培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神方面，還是在引導(dǎo)學(xué)生揭示事物間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、規(guī)律方面，無(wú)疑具有積極的促進(jìn)作用.

圖10

圖11

3 小結(jié)

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)滿(mǎn)足于問(wèn)題解答，而應(yīng)善于挖掘發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、蘊(yùn)含的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入的研究和探討，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于思考、善于思考的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).