閆慧凰,武惠俊
(長治學院數(shù)學系,山西長治046011)
Z2={}表示模2的剩余類環(huán),它是一個僅有兩個元的有限域。為方便書寫,文中分別用0,1表示,以后不專門說明.記對應(yīng)方程組的解的個數(shù)為n.其余符號和術(shù)語與文獻[1][2]一致.
定義1 Z2上的線性方程組指形式為
的方程組,其中 x1,x2,…,xn代表 n 個未知量,s為方程的個數(shù),并且 aij,bi∈Z2,(i=1,2,…,s,j=1,2,…,n).
定義2(1)式中當bi=0(i=1,2,…,s)時的方程組稱為 Z2上的齊次線性方程組.
定理1Z2上的n元單個線性方程的解的個數(shù)為個2n-1(n≥1).
證明:(i)當n=1時,結(jié)論顯然.
(ii)假設(shè)當n=k時,命題成立.即齊次線性方程組x1+x2+… +xk=0有2k-1個解(由于Z2中僅有0,1兩個元素,由對稱性則知方程組x1+x2+…+xk=1的解的個數(shù)也恰為2k-1個).則當n=k+1時,齊次線性方程組x1+x2+…+xk+xk+1=0的解有且僅有以下兩種情形:
對于以上情形(i),解的個數(shù)顯然為2k-1個;
對于以上情形(ii),解的個數(shù)顯然也為2k-1個;則方程x1+x2+… +xk+xk+1=0的解的個數(shù)為:2k-1+2k-1=2·2k-1=2k=2(k+1)-1個.
故Z2上的n元單個線性方程的解的個數(shù)為2n-1個(n≥1).
推論1對于Z2上的n元單個線性方程,若其中k個未知數(shù)的系數(shù)為1,其余n-k個未知數(shù)的系數(shù)為0,則方程的解的個數(shù)亦為2n-1個.
證明:對于系數(shù)均為1的k個未知數(shù)的方程,由定理1知,解的個數(shù)為2k-1個;對于系數(shù)為0的n-k個未知數(shù),每個未知數(shù)的取值均有0,1兩種可能,由乘法原理,則這n-k個未知數(shù)的總共取法為可得方程解的個數(shù)為2k-1·2n-k=2n-1,結(jié)論得證.
定理2Z2上的n元齊次線性方程組,若所含的方程個數(shù)為2個,則當r(A)=1時,解的個數(shù)為2n-1;當r(A)=2時,解的個數(shù)為2n-2.
證明:r(A)=1時,由定理1知,結(jié)論顯然;
(其中 i1,i2,…ik及 j1,j2,…jk為 1,2,…,n 中的不同數(shù)碼).下面分三種情形分別予以證明:
(1)方程(#)中n個未知元全部出現(xiàn),方程(*)中含方程(#)中的s個未知元(不妨設(shè)是前s個).由定理2.1知,方程(*)的解的個數(shù)為 2s-1個,則
由于方程(#1)含有未知數(shù)的個數(shù)為 n-(s+1)+1 個,則方程(#1)的解的個數(shù)為 2[n-(s+1)+1]-1=2n-s-1個.由乘法原理,所以方程組(I)的解的個數(shù)為2s-1·2n-s-1=2n-2=2n-r(A).
(2)方程(#)與(*)中n個未知元全部出現(xiàn),有m個公共未知元,則方程(#)中除這m個公共元外還有k-m個元,方程(*)中除這m個公共元外還有s-m個元,即有k+s-m=n.這時,
其中,未知元 xi1,xi2,…,xim表示方程(#)與方程(*)的 m 個公共元;未知元 xim+1,xim+2,…,xik表示方程(#)中除去方程組(I)中的m個公共元外剩余的k-m個元;未知元表示方程(*)中除去方程組(I)中的m個公共元外剩余的 s-m 個元.結(jié)合定理 1,則方程組(I1)的解的個數(shù)為 2m-1·2[k-(m+1)+1]-1·2[s-(m+1)+1]-1=2k+s-m-3=2n-3.又由于Z2中僅有0和1兩個元,有0和1的對稱性,再由定理1,則方程組(I2)的解的個數(shù)也為2n-3個.所以,原方程組的解的個數(shù)為:2n-3+2n-3=2n-2=2n-r(A).
(3)方程(#)與(*)無公共元,且設(shè)方程(#)中含有p個未知元,方程(*)中含有q個未知元.由定理1知,方程(#)的解的個數(shù)為2p-1,方程(*)的解的個數(shù)為2q-1,且方程組(I)中有n-p-q個自由未知量,每個量均有取0和1兩種取法,共2n-p-q種取法.故有乘法原理,則方程組(I)的解的個數(shù)為2p-1·2q-1·2n-p-q=2n-2=2n-r(A).
綜上,對于Z2上的n元齊次線性方程組,若所含的方程個數(shù)為2個,則當r(A)=1時,解的個數(shù)為2n-1;當r(A)=2時,解的個數(shù)為2n-2.
定理3Z2上的n元齊次線性方程組,若其系數(shù)矩陣的秩為r(A),則方程組的解的個數(shù)n=2n-r(A).
證明:設(shè)方程組為
其中 aij∈Z2(i=1,2,…,s,j=1,2,…,n).
對r(A)作數(shù)學歸納法.
當r(A)=1,r(A)=2時,由定理2結(jié)論成立.
假設(shè)系數(shù)矩陣的秩為r(A)-1時,結(jié)論成立.當系數(shù)矩陣的秩為r(A)時,對系數(shù)矩陣作初等行變換,得到最簡階梯形矩陣中有r(A)個非零行.記原方程組的解有n0個,注意到,第一行到第r(A)-1行組成的方程組與r(A)個非零行組成的方程組相比較,恰好多了一個自由未知量,而自由未知量有0,1兩種取法.又由歸納假設(shè)得,第一行到第r(A)-1行對應(yīng)的方程組有2n-r(A)+1個解,可以得到n0·2=2n-r(A)+1,故n0=2n-r(A),結(jié)論得證.