張國儉

（晉中學院數(shù)學學院，山西晉中030619）

判別分析是一種應用十分廣泛的統(tǒng)計分析方法，在經(jīng)濟學、地質(zhì)學、醫(yī)學、氣象學等學科中均有廣泛的應用．判別分析的方法主要有距離判別、貝葉斯判別、費歇判別、逐步判別、非參數(shù)判別等［1～3］，對判別準則的評價方法有回代估計法、交叉確認估計法［1］（刀切法［4］）、前瞻性考核［4］等．總體而言，它們只研究了判別方法及對判別準則的評價，而沒有對一個固定的樣品其判別優(yōu)劣評價的研究，而現(xiàn)實中這樣的評價又具有重要的意義．有鑒于此，本文首先對兩個正態(tài)總體的樣品判別優(yōu)劣的評價進行了研究，然后又推廣到多個正態(tài)總體，提出了待判域的概念，用以鑒別距離差沒有統(tǒng)計學意義的樣品，在此基礎上，提出了判別系數(shù)的概念，用以對樣品判別的優(yōu)劣進行評價．最后，指出了本文的不足之處以及需要進一步研究的方面．

1 準備知識

定理1.1［1］設G1和G2是兩個不同的p維已知總體，其均值向量分別為μ1和μ2，協(xié)方差矩陣相等且都為Σ，x0為一樣品值，記W（ix0）=+bi，ai=Σ-1μi，bi=Σ-1μi，i=1，2.則判別準則為：

定理 1.2［1］設 G1，G2，…，Gk是 k 個不同的 p 維已知總體，其均值向量分別為 μ1，μ2，…，μk，協(xié)方差矩陣相等且都為Σ，x0為一樣品值，記W（ix0）=+bi，ai=Σ-1μi，bi=μi，i=1，2，…，k.則判別準則為：

對于x是p維隨機向量，有如下的結論：

定理1.3［1］設x～Np（μ，Σ），又Y=ATx+b，其中b為p維常向量，AT是l×p矩陣，rank（AT）=l，則Y～Nl（ATμ+b，ATΣA）.

定理1.4若x～N（μ，Σ），則Wi（x）～N（+bi，Σai），i=1，2，…，k.

證明：x是來自p維正態(tài)總體的任一樣品，由定理1.3知，隨機變量Wi（x）服從正態(tài)分布.下面求Wi（x）的數(shù)學期望與方差：

證畢．

注：這里為了整篇文章的符號統(tǒng)一，上面有些定理中的符號做了適當?shù)男薷?，只是所用的符號不同，不會影響整個定理的正確性.

2 顯著性檢驗

大家只對判別準則的評價進行了研究，對于一個固定的樣品，并沒有對其判別評價的研究，而現(xiàn)實中后者又有重要的意義．比如，有某種疾病，樣本分為患病和不患病兩類．在馬氏距離判別準則下，如果某樣品的數(shù)據(jù)指標離兩個總體的距離相等，就無法對其進行判別，即使把其歸為其中的一類，其實際意義也不大．同理，如果其數(shù)據(jù)指標雖然不等，但很接近，其實際意義也不大．如果此樣品為患者，說明此樣品剛患病，其數(shù)據(jù)指標不明顯．如果此樣品不是患者，說明此樣品患病的趨勢已經(jīng)很明顯，稍不加注意就可能患病，應該進行藥物控制或多加強鍛煉．所以，患病和不患病中間還有一個比較模糊的區(qū)域．下面對樣品的判別函數(shù)的差異進行顯著性檢驗，提出了待判域的概念，用以對數(shù)據(jù)指標沒有明顯所屬的樣品進行鑒別，同時提出了判別系數(shù)的概念，用以對樣品的判別優(yōu)劣進行評價．

對一個固定的樣品來說，不同的觀測有不同的觀測向量，所以可以把它看作一個隨機向量.設樣品x=（x1，x2，…，xp）T是p維空間中的一個隨機向量，由于它取自協(xié)方差陣皆為Σ的正態(tài)總體中的一個，故可設x～Np（μ，Σ）（μ未知）.而具體的數(shù)據(jù)向量x0=（x10，x20，…，xp0）T看成x的一個觀測向量，下面對判別函數(shù)的差異做顯著性假設檢驗．

2． 1 兩個正態(tài)總體的情形

設G1和G2是兩個不同的p維正態(tài)總體，其均值向量分別為μ1和μ2，協(xié)方差矩陣相等且都為Σ．由定理1.1可以確定判別函數(shù)Wi（x），i=1，2.

由定理1.4知，Wi（x）～N（+bi，Σai），i=1，2.不妨設W1（x0）＞W(wǎng)2（x0），下面對E（W1（x））＞E（W2（x））做顯著性檢驗：

拒絕域 {u≥u1-α}［5］，其中 u1-α為標準正態(tài)分布的 1-α 分位數(shù)．

定義2.1把上面的保留域{u＜u1-α}稱為判別分析中樣品x0的待判域.

由定義2.1知道，如果x0落入待判域，說明樣品x0離兩個總體的馬氏平方距離差沒有統(tǒng)計學意義.可以把x作為待觀察的對象.

檢驗的p值為：p=1-Φ（u0），其中u0是由x0算出的u值.

由p值的意思可知，p值越小，越拒絕原假設，判別越好.

定義2.2把R=1-p=Φ（u0）稱為樣品x0的判別系數(shù).

由定義2.2知道，0＜R＜1，且R越接近1，判別越好.而R越接近0，判別越差.一般情況下，判別可以接受時，應有R≥0.9.

2.2 k個不同的p維正態(tài)總體的情形

設 G1，G2，…，Gk是 k 個不同的 p 維正態(tài)總體，其均值向量分別為 μ1，μ2，…μk，協(xié)方差矩陣相等且都為Σ，由定理1.2知，判別準則為x0∈，若x0）=W（ix0）.

拒絕域 {u'≥u1-α}.

若{u'＜u1-α}成立，則E（W（1）（x））＞（W（2）（x））沒有統(tǒng)計學意義，說明x到總體（1）和到總體（2）的馬氏平方距離差沒有統(tǒng)計學差別，x可以被判屬于總體（1），也可以被判屬于總體（2），甚至還可以被判屬于其他總體.這時，我們說x是待判的.即待判域為{u'＜uα}.

否則，E（W（1）（x））＞E（W（2）（x））有統(tǒng)計學意義.就可以說，x到（1）這個總體的距離最?。衳屬于總體（1）．

判別系數(shù)為：R=Φ（u0'），其中，u0'是由x0算出的u'值.

3 本文的不足之處及需要改進的地方

1）本文只研究了總體為正態(tài)總體的情形，對于非正態(tài)總體的情況沒有研究；

2）本文只研究了協(xié)方差陣相等的情形，對于協(xié)方差陣不等的情形沒有研究；

3）文章只研究了正態(tài)總體參數(shù)已知的情形，總體的參數(shù)未知時沒有研究；

4）對樣品的評價除了待判域和判別系數(shù)外還應該考慮判別函數(shù)整體的評價，最好做個綜合指標；

5）本文沒有做實證研究，還需要做實證以檢驗判別的誤判率的改進程度.