楊夢娜, 李艷玲

(陜西師范大學數學與信息科學學院，西安 710119)

1 引言

具有Holling-III 型功能反應函數的捕食-食餌模型作為一類重要的生物模型，得到了國內外很多學者的關注[1-6].其中文獻[1]使用迭代方法和構造相關序列研究了一類具有Holling-III 型反應函數的捕食-食餌模型，得到了正常數平衡解的全局漸近穩(wěn)定性；文獻[2]利用錐上不動點理論和線性穩(wěn)定性理論研究了一類具有Holling-III 型非線性密度制約的捕食-食餌模型，得到了正解的存在性與穩(wěn)定性；文獻[4]利用分歧理論、隱函數定理以及攝動技巧研究了一類具有非單調生長率且功能反應函數為Holling-III 型的捕食-食餌模型，得到了其正解在一維情形下的存在性及穩(wěn)定性.本文是在文獻[4]的基礎上，進一步研究如下的捕食-食餌模型

本文主要利用不動點指標理論和擾動理論研究問題(2)在N 維情形下正解的存在唯一性與穩(wěn)定性.

2 預備知識

本節(jié)首先給出一些基本的定義和引理，其次運用極值原理和上下解方法得到問題(2)正解的先驗估計和正解存在的一些必要條件.

如果問題(2)的一個解滿足對任意的x ∈?, u(x) ＞0 且v(x) ＞0，則稱(u,v)為問題(2)的一個正解.

設q(x)∈Cα(?)(0 ＜α ＜1), λ1(q)為如下特征值問題

的主特征值.由文獻[9]可知，λ1(q(x))連續(xù)依賴于q(x)，且λ1(q(x))是簡單的.另外，λ1(q(x))是關于q(x)的遞增函數.為了簡單起見，定義λ1(0) = λ1，對應的特征函數記為φ1，且φ1＞0, x ∈?.

考慮以下非線性邊值問題

和

由文獻[10]可知，若a ≤λ1，則問題(4)只有平凡解u = 0；若a ＞λ1，則問題(4)存在唯一正解，記為θa.特別地，θa＜a 且連續(xù)依賴于a.由文獻[4]可知，若α ?d ＞λ1(q(x))，則問題(5)存在唯一正解，記為θα,d(q)，并簡記θα,d(0) = θα,d.因此，在一定條件下，問題(2)存在半平凡解(?u,0)及(0,?v)，其中?u=θa, ?v =θ1,d.

1) 若F′(y)具有α 性質，則indexW(F,y)=0；

2) 若F′(y)沒有α 性質，則indexW(F,y)=(?1)β，其中β 是F′(y)的所有大于1 的特征值的代數重數之和.

引理2[11]令q(x) ∈Cα()(0 ＜α ＜1)，M 為正常數，使得對任意的x ∈, ?q(x)+M ＞0，則以下結論成立：

1) λ1(q(x))＜0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]＞1；

2) λ1(q(x))＞0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]＜1；

3) λ1(q(x))=0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]=1；其中r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]為算子(?△+M)?1(?q(x)+M)的譜半徑.

引理3如果(u,v)為問題(2)的正解，則

證明 假設(u,v)為問題(2)的正解，從關于u 的方程可以得到

因此?u 可以作為下述問題

令z =cu+mv，結合u 和v 的方程，則z 滿足

由極大值原理可知

又由于z =cu+mv，從而

引理4如果問題(2)存在正解，則

證明 設(u,v)是問題(2)的正解，則

對上式兩端同時乘以u，再在? 上積分，運用格林公式，則

又由Poincar′e 不等式可知

從而a ＞λ1.

從v 的方程中，可以得到

因此

3 正解的存在性

本節(jié)主要利用不動點指標理論[2,12]研究問題(2)正解的存在性.為了計算不動點指標，引入以下記號：

則通過計算得到：

取M 充分大，使得(u,v)∈D 時

定義算子F: E →E:

則F :D →W 是緊算子，則問題(2)有解等價于算子方程F(u,v)=(u,v)有解.

對于任意的t ∈[0,1]，定義

引理5假設a ＞λ1，則有：

1) degW(I ?F,D)=1；

2) 若?d+1 ?=λ1，則indexW(F,(0,0))=0；

證明 1) 由引理3 知，F 在?D 上沒有不動點，因此degW(I ?F,D)有意義，對于任意的t ∈[0,1]，Ft的不動點為下述方程的解

則對于任意的t ∈[0,1]，Ft的不動點滿足u ≤a, v ≤R.因此Ft的不動點一定落在D 內，再由度的同輪不變性知，degW(I ?Ft,D)不依賴于t，于是

degW(I ?F,D)=degW(I ?F0,D)=degW(I ?Ft,D).

當t=0 時，問題(7)只有平凡解(0,0)，所以degW(I?F0,D)=indexW(F0,(0,0)).注意到

記

由引理1 知，indexW(F0,(0,0))=1，因此degW(I ?F,D)=1.

如果ξ ＞0，則a = λ1，這與已知相矛盾.因此ξ ≡0，同理可證η ≡0.從而I ?F′(0,0)在(0,0)上可逆.

又由于a ＞λ1，則同時ra為算子(?△+M)?1(a+M)的主特征值，對應的特征函數φ ＞0，取t0= r?1a，則0 ＜t0＜1，并且(I ?t0F′(0,0))(φ,0)=(0,0)∈S(0,0)，因此F′(0,0)具有α 性質，從而由引理1 知，indexW(F,(0,0))=0.

3) 通過計算得到

若η ?≡0，則由η ∈K 知

記

由于

從而由引理2 可知，r(A) ＞1 且是算子A 的主特征值，相應的特征函數φ ＞0，取t0=r?1(A)，則0 ＜t0＜1, (0,φ)∈(u?,0)S(u?,0)，并且

因此F′(u?,0)在W(u?,0)上具有α 性質，從而由引理1 知，indexW(F,(u?,0))=0.

4) 由上節(jié)可知，當

時，I ?F′(u?,0)在(u?,0)上可逆.由于

從而r(A) ＜1.假設F′(u?,0)在(u?,0)上具有α 性質，則存在0 ＜t ＜1, (φ1,φ2) ∈(u?,0)S(u?,0)，使得

于是

又由于φ2∈K{0}.從而為算子A 的一個特征值，這與r(A) ＜1 相矛盾.因此F′(u?,0)在W(u?,0)上不具有α 性質，根據引理1 可知，indexW(F,(u?,0)) = (?1)β，其中β 是F′(u?,0)的所有大于1 的特征值的代數重數之和.

即

如果η ?≡0，則

從而矛盾，因此η ≡0.

若ξ ?≡0，則

從而矛盾.因此F′(?u,0)沒有比1 大的特征值.于是根據引理1 得indexW(F,(?u,0))=1.

類似引理5，我們可以證明如下結論：

引理6設?d+1 ＞λ1，則：

1) 若a ＞λ1時，則indexW(F,(0,?v))=0；

2) 若a ＜λ1時，則indexW(F,(0,?v))=1.

從而由引理5 和引理6，以及度的可加性得到問題(2)正解的存在性定理.

定理11) 如果?d+1 ＞λ1, a ＞λ1時，則問題(2)除(0,0), (?u,0), (0,?v)之外，至少還有一個正解；

2) 如果?d+1 ＜λ1，則問題(2)存在正解當且僅當

證明 1) 根據引理6 和引理7 可以得到

1=degW(I ?F,D)=indexW(F,(0,0))+indexW(F,(?u,0))+indexW(F,(0,?v))=0,從而矛盾，因此問題(2)至少還有一個正解.

從而矛盾，因此問題(2)至少有一個正解.

4 正解的唯一性與穩(wěn)定性

本節(jié)主要運用度的可加性質和線性算子的擾動技巧[14-16]來討論當參數m 充分小時，問題(2)正解的唯一性與穩(wěn)定性.

首先考慮下述方程

引理7設

則當m ＞0 且趨于0 時，問題(2)的任意正解都是非退化且線性穩(wěn)定的.

證明 采用反證法來證明.假設存在mi→0，使得問題(2)在m = mi時的正解(ui,vi)是退化的或者線性不穩(wěn)定的，則存在(ξi,ηi)?≡(0,0)，使得如下線性化問題的特征值μi滿足Re(μi)≤0，不妨設‖ξi‖2+‖ηi‖2=1.

顯然，當mi→0 時，(ui,vi) →(?u,v?).記ˉξi和ˉηi分別是ξi和ηi的共軛算子，對(9)式的第一個方程乘以ˉξi，第二個方程乘以ˉηi，然后在? 上積分，最后兩者相加得到

由引理3 知，ui和vi都有界，所以Re(μi)和Im(μi)有界，因此μi有界.可設μi→μ，則Re(μ)≤0.又由Lp估計和Sobolev 嵌入定理可得，ξi和ηi有界，設ξi→ξ, ηi→η.

再對(9)式兩端關于i 取極限，得到

若ξ ?≡0，則算子?△?(a ?2?u)I 的特征值全大于0，因此μ ≥λ1(?a+2?u) ＞0，從而與Re(μ)≤0 相矛盾，因此ξ ≡0.

若η ?≡0，將ξ =0 代入(10)式中第二個方程，則

從而與Re(μ)≤0 相矛盾，因此η ≡0.

所以問題(9)的所有特征值的實部都大于0，這意味著問題(2)的正解是非退化的且線性穩(wěn)定的.

定理2設

則當m ＞0 且充分小時，問題(2)有唯一正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的.

證明 由定理1 和引理7 可知問題(2)存在正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的，故只需要證明正解的唯一性即可.首先容易驗證平凡解和半平凡解都遠離正解，再根據緊性理論可知問題(2)至多有有限個正解，記為{(ui,vi) : i = 1,2,··· ,l}.又由引理7 可知，indexW(F,(ui,vi))=1.結合度的可加性及引理6 可得

因此問題(2)只有一個正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的.

5 數值模擬

這節(jié)主要討論系統(tǒng)(1)對應的一維空間的情形，即

利用Matlab 工具做數值模擬，根據直觀圖像來驗證前面研究得到的理論結果，通過計算可得λ1=.

首先，根據定理1 的條件進行數值模擬，參數取值分別為a = 0.65, b = 1, c =1, d = 0.4, e = 1.25 和m = 0.5.圖1 驗證了系統(tǒng)(1)在一維情形下正解的存在性，這與定理1 的結論一致，這說明兩物種在定理1 的條件下，食餌和捕食者可以共存.并且隨著時間t 的增大，可以看出兩物種趨于穩(wěn)定.

圖1: 系統(tǒng)(11)的正解(u(x,t),v(x,t))的模擬圖，其中圖(a)和圖(b)分別為正解(u(x,t),v(x,t))的模擬圖；圖(c)為正解(u(x,t),v(x,t))在T =100 時刻的剖面圖；圖(d)為任意時刻正解(u(x,t),v(x,t))在(0,2π)上的L1 范數

其次，圖2 分別驗證了當食餌種群的生長率充分小時，或者捕食者種群的死亡率充分大時，食餌和捕食者不能共存；除此以外，當食餌種群的生長率充分小且捕食者種群的死亡率充分大時，食餌和捕食者也不能共存，這些符合引理4 的結論.

下面給出一個二維空間的例子，驗證定理1 的結論.

這里取a=0.65, b=1, c=1, d=0.4, e=1.25, m=0.5 和t=4，從圖3 中可以看出，系統(tǒng)(12)的正平衡態(tài)解的存在，這說明兩物種可以共存.從圖4 可以看出，隨著時間t 的增大，兩物種趨于穩(wěn)定.

圖3: 系統(tǒng)(12)在t=4 時刻(u(x,y,t),v(x,y,t))的模擬圖，其中圖(a)和圖(b)分別為正解(u(x,y,t),v(x,y,t))的投影圖；圖(c)和圖(d)分別為正解(u(x,y,t),v(x,y,t))的模擬圖

圖4: 系統(tǒng)(12)的正解(u(x,y,t),v(x,y,t))在(0,2π)×(0,2π)上的L1 范數