宋 美，葛玉輝，劉舉勝

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093

1 引言

微粒群算法（Particle SwarmOptimization，PSO）[1]由于其具有實(shí)現(xiàn)簡單，群體共同進(jìn)化等優(yōu)化性能從1995年，被Eberhart 和Kennedy 提出以后，在路徑規(guī)劃、疾病檢測、圖像分割、電力故障預(yù)測等方面產(chǎn)生了巨大的應(yīng)用價(jià)值[2-3]。

雖然PSO算法具有較好的優(yōu)化性能，然而易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟也是其缺陷之一。對(duì)此研究人員借鑒自適應(yīng)和非線性機(jī)制對(duì)算法參數(shù)的取值方式進(jìn)行了相關(guān)改進(jìn)。借鑒自適應(yīng)機(jī)制，文獻(xiàn)[4]針對(duì)粒子群算法具有易陷入局部最小值和全局尋優(yōu)能力差的缺陷，提出了一種自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法（AIW_PSO）。研究發(fā)現(xiàn)該算法能夠有效平衡粒子的位置和速度。文獻(xiàn)[5]針對(duì)粒子群算法在處理優(yōu)化問題時(shí)缺乏有效的參數(shù)控制這一缺陷，采用異步變化策略對(duì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行更新，采用非線性遞減的方式對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行更新，改進(jìn)算法較原算法具有一定的求解優(yōu)勢。文獻(xiàn)[6]通過對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)取值，將改進(jìn)的PSO 算法與支持向量機(jī)（SVM）進(jìn)行了結(jié)合，利用改進(jìn)算法對(duì)花粉濃度進(jìn)行了有效的預(yù)測。文獻(xiàn)[7]將自適應(yīng)變異應(yīng)用于PSO 算法中，通過對(duì)算法中全局最優(yōu)值進(jìn)行擾動(dòng)，以提高種群多樣性，最終形成自適應(yīng)優(yōu)化PSO 算法。之后將該算法與小波網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)合，形成自適應(yīng)優(yōu)化小波網(wǎng)絡(luò)算法，研究發(fā)現(xiàn)該算法預(yù)測精度提升率最高。文獻(xiàn)[8]根據(jù)迭代次數(shù)和粒子的位置的變化情況設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)慣性權(quán)重混沌PSO 算法，該算法能夠有效避免陷入極值，提高算法性能。

借鑒非線性機(jī)制，文獻(xiàn)[9]通過引入非線性慣性權(quán)重系數(shù)，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性取值，形成改進(jìn)PSO 算法，之后將改進(jìn)PSO算法與BP算法進(jìn)行結(jié)合，形成了非線性BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法對(duì)非線性函數(shù)具有良好的擬合效果。文獻(xiàn)[10]針對(duì)文化算法中的函數(shù)優(yōu)化問題存在過早收斂，不確定等缺陷，基于文化算法框架，將混沌搜索引入算法中，提出了一種混沌文化算法。該算法具在搜索效率、搜索精度及穩(wěn)定性上有顯著表現(xiàn)。文獻(xiàn)[11]通過對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性取值，形成了一種非線性PSO 算法，該算法在分配網(wǎng)絡(luò)路由節(jié)點(diǎn)和平衡簇結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方面具有良好的性能。文獻(xiàn)[12]通過引入非線性慣性權(quán)重替代傳統(tǒng)慣性權(quán)重遞減，構(gòu)造了一種改進(jìn)優(yōu)化PSO算法的小波支持向量機(jī)預(yù)警模型，在預(yù)測效果上，改進(jìn)后的算法具有更好的預(yù)測性能。

上述研究主要從自適應(yīng)性和非線性等方面對(duì)算法進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)大多圍繞PSO 算法的慣性權(quán)重進(jìn)行了相關(guān)改進(jìn)，且改進(jìn)算法的求解效果有一定的提升。然而上述改進(jìn)只是從單個(gè)方面對(duì)算法的某種參數(shù)取值方式進(jìn)行了改進(jìn)，鮮有學(xué)者將混沌、自適應(yīng)、非線性和共同演化等特征都考慮到算法中，對(duì)粒子群算法中的學(xué)習(xí)因子、粒子初始值選取以及慣性權(quán)重等參數(shù)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化，以提升算法的求解性能。

基于此，本文基于協(xié)同進(jìn)化理論，借鑒協(xié)同進(jìn)化理論中混沌、自適應(yīng)、非線性和共同演化等諸多特性通過對(duì)PSO 進(jìn)行改進(jìn)形成動(dòng)態(tài)雙重自適應(yīng)PSO 算法（DDAPSO）。對(duì)此算法進(jìn)行了仿真測試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明DDAPSO能夠有效避免算法陷入局部極值，具有較好的求解性能。

2 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法原理

PSO算法在可行解空間中首先會(huì)初始化一群粒子，初始化后的粒子可以看作初始解，用位置、速度、適應(yīng)度值來表示該粒子或該解的特征。粒子會(huì)根據(jù)一定的更新法則在解空間中不斷運(yùn)動(dòng)，在解空間運(yùn)動(dòng)的過程中，通過跟蹤個(gè)體極值pbest和群體極值gbest更新個(gè)體位置，粒子每更新一次，計(jì)算一次適應(yīng)度值，通過比較個(gè)體極值pbest和群體極值gbest的優(yōu)劣，從而逐步迭代求得全局最優(yōu)解。粒子群算法按照式（1）和式（2）進(jìn)行速度和位置的更新[13]。

其中，ω為慣性權(quán)重，d=1,2,…,D表示粒子的維數(shù)；i=1,2,…,n表示粒子的個(gè)數(shù)；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；Vid表示粒子的速度；X表示粒子的位置；c1和c2為加速度因子，c1稱為個(gè)體學(xué)習(xí)因子，c2稱為社會(huì)學(xué)習(xí)因子；r1和r2是分布于[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，Pid為個(gè)體極值，Pgd為群體極值。

3 協(xié)同進(jìn)化理論及其特征

關(guān)于協(xié)同進(jìn)化的研究，最早始于國外學(xué)者對(duì)生物學(xué)的探索，Ehrlich和Raven最早在研究蝶類與植物之間的作用關(guān)系時(shí)提出了協(xié)同進(jìn)化這一概念[14]，Jazen[15]隨后對(duì)協(xié)同進(jìn)化給出了定義：協(xié)同進(jìn)化就是一個(gè)物種的特征隨著另一個(gè)物種的某一特征變化而進(jìn)行變化，后者的特征同樣隨著前者特征變化而進(jìn)化。具體來說協(xié)同進(jìn)化理論具有如下特征：

（1）協(xié)同進(jìn)化中的個(gè)體具有多樣性[16]。參與協(xié)同進(jìn)化的主體可以是不同形態(tài)、不同性質(zhì)的主體，主體的多樣性可以使得整體系統(tǒng)的熵增減小，系統(tǒng)的無序性受到削減，最后在混沌中快速找到最優(yōu)解。

（2）協(xié)同進(jìn)化中的個(gè)體具有自組織、自適應(yīng)性[17-18]。在復(fù)雜系統(tǒng)中，兩個(gè)或多個(gè)個(gè)體在協(xié)同進(jìn)化的過程中，個(gè)體與個(gè)體、個(gè)體與環(huán)境之間會(huì)協(xié)同演化，不斷地促使整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)系統(tǒng)會(huì)根據(jù)系統(tǒng)的演化結(jié)果及時(shí)向個(gè)體反饋信息，個(gè)體會(huì)根據(jù)反饋信息進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)整，最終實(shí)現(xiàn)個(gè)體與系統(tǒng)的協(xié)調(diào)發(fā)展。

（3）協(xié)同進(jìn)化中的個(gè)體與環(huán)境具有非線性[19]。在個(gè)體與整體協(xié)同進(jìn)化過程中，個(gè)體與整體將會(huì)發(fā)生非線性作用，這一作用會(huì)促使個(gè)體和整體相互演化，進(jìn)而最終實(shí)現(xiàn)協(xié)同進(jìn)化。在協(xié)同進(jìn)化的作用下，個(gè)體最優(yōu)與群體最優(yōu)將趨于同質(zhì)，最終促使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

基于協(xié)同進(jìn)化理論，結(jié)合粒子群算法的進(jìn)化特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)雙重粒子群算法（Dynamic Dual Adaptive PSO algorithm，DDAPSO）。

4 DDAPSO算法

4.1 算法原理

DDAPSO 算法從PSO 算法的搜索機(jī)制和信息傳遞機(jī)制進(jìn)行了相關(guān)設(shè)計(jì)[20]。其借鑒生物學(xué)中的協(xié)同進(jìn)化論對(duì)傳統(tǒng)粒子群算法進(jìn)行相關(guān)改進(jìn)，通過對(duì)粒子初始值混沌取值，對(duì)自我學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子非線性取值，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)取值等多種方式，促使算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)快速求解，具體原理如圖1所示。

圖1 DDAPSO算法原理

如圖1所示，在DDAPSO中，首先，在初始值的選取上，由于混沌算法具有一定的隨機(jī)性和遍歷性，能夠以較為隨機(jī)的搜索方式，對(duì)粒子的初值進(jìn)行取值，因此在算法解解空間一定的情況下，能夠使得初值選取更為隨機(jī)，有效擴(kuò)展了初值的隨機(jī)性。

其次，對(duì)自我學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行非線性取值能夠使得自我學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子借鑒復(fù)雜系統(tǒng)中的非線性關(guān)系，清楚呈現(xiàn)自我學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子的動(dòng)態(tài)變化關(guān)系，并根據(jù)搜索的迭代次數(shù)恰當(dāng)調(diào)整粒子學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而對(duì)局部搜索和全局搜索進(jìn)行一定平衡。

最后，DDAPSO算法的慣性權(quán)重取值區(qū)別于傳統(tǒng)慣性權(quán)重線性遞減形式，其根據(jù)粒子的適應(yīng)度值自適應(yīng)更新慣性權(quán)重。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值較小時(shí)，對(duì)慣性權(quán)重選取一個(gè)較小值，粒子在局部位置進(jìn)行搜索；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值較大時(shí)，對(duì)慣性權(quán)重選取一個(gè)較大值，粒子在全局進(jìn)行搜索。此時(shí)，粒子的慣性權(quán)重能夠根據(jù)適應(yīng)度值進(jìn)行自適應(yīng)進(jìn)化，從而促使函數(shù)值不斷向著最優(yōu)解進(jìn)行趨近，直到最終找到最優(yōu)解。

4.2 算法表示

（1）混沌并不是一片混亂，而是有著精致的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一類現(xiàn)象，混沌運(yùn)動(dòng)能在一定范圍內(nèi)按自身的“規(guī)律”不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)。在PSO中，初始化種群時(shí)，種群的多樣性以及初始化粒子時(shí)的隨機(jī)性與粒子的搜索效率有很大的關(guān)系，為了使得種群的多樣性和隨機(jī)性得以增強(qiáng)，結(jié)合協(xié)同進(jìn)化理論，將混沌這種具有隨機(jī)性、遍歷性及規(guī)律性特點(diǎn)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)特有運(yùn)動(dòng)形式引入進(jìn)化計(jì)算，利用其具有隨機(jī)性和遍歷性優(yōu)勢，可以有效避免搜索過程陷入局部最優(yōu)。由于Feigenbaum 迭代與其他產(chǎn)生混沌變量的動(dòng)力系統(tǒng)相比簡單、計(jì)算量小、使用方便，所以本文采用Feigenbaum迭代，來構(gòu)造混沌序列，進(jìn)行粒子位置和速度的初始化，具體如式（3）所示，其中xn的初始值不能取該混沌迭代方程的不動(dòng)點(diǎn)。

為了直觀展現(xiàn)混沌迭代軌跡，取初值x0=0.007 時(shí)，將式（3）的Feigenbaum 迭代軌跡進(jìn)行了仿真，具體如圖2所示（迭代次數(shù)取500）。

圖2 Feigenbaum迭代軌跡

（2）在PSO 算法中，學(xué)習(xí)因子體現(xiàn)了粒子的學(xué)習(xí)能力，其中自我學(xué)習(xí)因子，體現(xiàn)了粒子的自我學(xué)習(xí)能力，社會(huì)學(xué)習(xí)因子體現(xiàn)了粒子的社會(huì)學(xué)習(xí)能力。不同的學(xué)習(xí)因子表明粒子具有不同的尋優(yōu)能力。在粒子尋優(yōu)的過程中，初始時(shí)期，粒子需要具備較強(qiáng)的個(gè)體學(xué)習(xí)能力，這樣其可以在更大的搜索空間中快速尋找到最優(yōu)解的位置；在搜索后期，粒子需要較大的社會(huì)學(xué)習(xí)能力，可以在周圍局部解范圍內(nèi)進(jìn)一步進(jìn)行局部搜索。為此，借鑒協(xié)同進(jìn)化理論中非線性優(yōu)勢，引入非線性調(diào)整策略來平衡c1、c2的關(guān)系，c1、c2通過非線性變化，控制粒子的飛行速度與方向，來提高解的收斂速度與精度，具體調(diào)整策略為：

其中，iter為當(dāng)前迭代次數(shù)，itermax為最大迭代次數(shù)，c1b、c1e、c2b和c2e分別為c1和c2的初始值和最終值，一般取c1b=2.5，c1e=0.5，c2b=0.5 和c2e=2.5 時(shí)算法效果較好，c1、c2的取值如圖3所示（學(xué)習(xí)次數(shù)取500）。

（3）為了避免慣性權(quán)重線性遞減，本文采用自適應(yīng)慣性權(quán)重遞減的方法對(duì)w進(jìn)行自適應(yīng)取值。這樣取值可以有效促使w的取值會(huì)隨著目標(biāo)函數(shù)值得變化而發(fā)生相應(yīng)的調(diào)整，及時(shí)更新自身信息，不斷將自我信息與全局信息進(jìn)行比較，促使自身信息能夠在獲取全局信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行個(gè)體更新和改變，最終實(shí)現(xiàn)自身與系統(tǒng)的協(xié)同進(jìn)化。具體自適應(yīng)慣性權(quán)重更新公式如式（6）和（7）所示。

圖3 c1、c2 自適應(yīng)變化圖

式中，ωmax表示ω的最大值，ωmin表示ω的最小值，f表示當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值，favg表示當(dāng)前平均目標(biāo)函數(shù)值，fmin表示目標(biāo)函數(shù)極小值。

4.3 算法步驟

步驟1 混沌初始化粒子群參數(shù)。對(duì)初始的粒子按照（3）式進(jìn)行混沌隨機(jī)取值，生成初始的粒子速度vi和粒子位置xi。

步驟2 評(píng)價(jià)粒子群。計(jì)算出粒子的適應(yīng)值，通過fitness 函數(shù)將粒子的個(gè)體最優(yōu)值存儲(chǔ)到pbest中，群體最優(yōu)值存儲(chǔ)到gbest中。

步驟3 更新自我學(xué)習(xí)和社會(huì)學(xué)習(xí)因子，按照式（4）和式（5）更新自我學(xué)習(xí)因子c1和社會(huì)學(xué)習(xí)因子c2。

步驟4 更新慣性權(quán)重w，若當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值f小于平均目標(biāo)值favg，則按照式（6）更新慣性權(quán)重；若當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值f大于平均目標(biāo)值favg則按照式（7）更新慣性權(quán)重。

步驟5 更新粒子的位置。按照式（1）和式（2）更新粒子的速度和位置。

步驟6 更新個(gè)體最優(yōu)。將粒子的適應(yīng)度值與上一次迭代的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，取較好的粒子作為后代粒子。

步驟7 更新全局最優(yōu)。比較個(gè)體最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest，若pbest優(yōu)于gbest，則將pbest賦值給gbest。

步驟8 當(dāng)算法滿足迭代結(jié)束條件，結(jié)束算法，否則返回步驟3繼續(xù)搜索，直到滿足停止條件跳出循環(huán)。

DDAPSO 算法流程圖如圖4 所示（其中N為算法最大迭代次數(shù)）。

圖4 DDAPSO算法流程

5 算法復(fù)雜度及收斂性分析

5.1 算法復(fù)雜度分析

在經(jīng)典粒子群算法中，粒子群的規(guī)模為N，每個(gè)粒子的維數(shù)為D，粒子每進(jìn)行一次迭代，其計(jì)算復(fù)雜度為O(N)[21]；在DDAPSO 算法中，主要的執(zhí)行運(yùn)算的復(fù)雜度包括：

（1）粒子的初始值混沌取值，其算法的復(fù)雜度為O(DN)。

（2）計(jì)算適應(yīng)度的均值，其算法復(fù)雜度為O(N+1)。

因此，DDAPSO 算法整體復(fù)雜度為O(DN)。該算法理論復(fù)雜度理論上高于經(jīng)典PSO算法，并且算法的復(fù)雜度會(huì)隨著粒子個(gè)數(shù)的增加和維數(shù)的增加而進(jìn)一步增大。但在求解時(shí)間和求解效率上，由于DDAPSO 算法借鑒了復(fù)雜協(xié)同進(jìn)化理論的協(xié)同進(jìn)化，自適應(yīng)和非線性等諸多特性卻具有較好求解性能。

5.2 算法收斂性分析

在算法的收斂性方面，相關(guān)研究已經(jīng)對(duì)PSO 算法收斂性進(jìn)行了相關(guān)分析[22-24]，結(jié)合前人研究，本文依據(jù)文獻(xiàn)[22-23]對(duì)DDAPSO 算法的收斂性進(jìn)行相關(guān)分析，具體如下。

假設(shè)1 目標(biāo)函數(shù)f的解空間為Rn到R，Q為Rn的一個(gè)子集，算法的最終目的是在Q的范圍內(nèi)找到一個(gè)最優(yōu)解z，使得目標(biāo)函數(shù)最小化。當(dāng)存在f(D(z,δ))≤f(z)時(shí)，若δ∈Q，則f(D(z,δ))≤f(δ)。其中，D為迭代函數(shù)。

假設(shè)2 對(duì)于Q的任意Borel子集B，如果測度u(B)>0 ，則有，其中vi[B]是由測度vi所得到B的概率。

定理1 若目標(biāo)函數(shù)f為可測函數(shù)，Q為可測子集，滿足假設(shè)1 和假設(shè)2，同時(shí)假設(shè)為算法生成的解序列，則

證明DDAPSO 算法的收斂性，需要證明其符合假設(shè)1、假設(shè)2和定理1。

引理1 DDAPSO滿足假設(shè)1。

由步驟7 可知，比較個(gè)體最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest，若pbest優(yōu)于gbest，則將pbest賦值給gbest。

在DDAPSO算法中，假設(shè)D為算法的迭代函數(shù)，則D函數(shù)的描述可以根據(jù)步驟7定義為：

若f(gbest)≤f(pbest) ，則D(gbest,pbest)= gbest，因此f(D(gbest,pbest))= f(gbest)≤f(pbest) 。若f(gbest)≥f(pbest) ，則D(gbest,pbest)=pbest，因此，f(D(gbest,pbest))=f(pbest)≤f(pbest) 。因此，DDAPSO 算法滿足假設(shè)1。

引理2 DDAPSO算法滿足假設(shè)2。

定義Q的任意 Borel 子集B=Mi,k，在 DDAPSO 算法中，令φ1=c1×r1，φ2=c2×r2，由式（1）和式（2）可得：

其中，w按照式（6）和式（7）自適應(yīng)取值，c1和c2按照式（4）和式（5）非線性取值。隨著迭代次數(shù)的增加，c1、c2的非線性取值以及w的自適應(yīng)取值使得Borel 子集中的元素更加隨機(jī)。因此，種群中粒子測度u(Mi,k)不斷增大，其并集也不斷增大。此時(shí)，假設(shè)種群中粒子支持集的并集為β，則DDAPSO 算法搜索停止時(shí)，。因此，DDAPSO算法的樣本空間的并集包含Q，此時(shí)u(B)>0，存在

綜上，DDAPSO算法滿足假設(shè)2。

引理3 DDAPSO算法是一個(gè)全局收斂算法。

證明因DDAPSO算法滿足假設(shè)1和假設(shè)2，由定理1知，則DDAPSO是一個(gè)全局收斂算法。

6 測試仿真

6.1 測試函數(shù)

為了檢驗(yàn)DDAPSO 算法的性能，本文選取了6 個(gè)經(jīng)典Benchmark 函數(shù)進(jìn)行測試。在6 個(gè)測試函數(shù)中，De Jong、Quadric、Rosenbrock valley為單模態(tài)函數(shù)；Rastrigin、Schaffers、Ackley 為多模態(tài)函數(shù)。其中 De Jong 為復(fù)雜的非線性對(duì)稱單模函數(shù)，Rosenbrock valley為很難極小化的典型病態(tài)單模函數(shù)；在6 個(gè)函數(shù)中，函數(shù)的全局最優(yōu)位置均為[0，0]，各個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的極小值均為0，具體的函數(shù)軌跡如圖3所示。

單模態(tài)函數(shù)：

函數(shù)1 De Jong函數(shù)

De Jong 函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)Sphere 函數(shù)，此函數(shù)存在極小值，其全局最優(yōu)解在一個(gè)狹窄的椎體底端，在x1=x2=0 時(shí)存在全局最小值，具體如圖5（a）所示。

函數(shù)2 Quadric函數(shù)

Quadric 函數(shù)是一個(gè)典型的單模態(tài)測試函數(shù)，其全局最優(yōu)解在一個(gè)狹長的山谷中，是一個(gè)很難極小化的測試函數(shù)，當(dāng)x1=x2=0 時(shí)其存在全局極小值，具體如圖5（b）所示。

函數(shù)3 Rosenbrock’s valley函數(shù)

Rosenbrock’s valley 是一個(gè)非常經(jīng)典的優(yōu)化測試函數(shù)，其全局最優(yōu)值位于一個(gè)帶有拋物面的卷狀的峽谷中。雖然山谷的坡度不是很大，但全局收斂很難，當(dāng)x1=x2=1 時(shí)，此函數(shù)存在全局極小值點(diǎn)，具體如圖5（c）所示。

多模態(tài)函數(shù)：

函數(shù)4 Rastrigin函數(shù)

Rastrigin函數(shù)是一個(gè)基于De Jong函數(shù)的局部最小值規(guī)則分布的多模態(tài)函數(shù)，是一個(gè)典型的多模態(tài)函數(shù)，該函數(shù)在求解最優(yōu)解過程中，極易陷入局部最優(yōu)解中，當(dāng)x1=x2=0 時(shí)，全局最小值，具體如圖5（d）所示。

函數(shù)5 Schaefer’sf7 函數(shù)

Schaefer’sf7 函數(shù)是一個(gè)典型的病態(tài)多模態(tài)函數(shù)，該函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)存在很多局部最優(yōu)點(diǎn)，在尋求最優(yōu)解過程中很難找到全局極值點(diǎn)，是一個(gè)典型的多模測試函數(shù)。當(dāng)x1=x2=0 時(shí)，存在全局最小值，具體如圖5（e）所示。

函數(shù)6 Ackly函數(shù)

Ackley是一個(gè)使用廣泛的多模測試函數(shù)，其全局最優(yōu)解在一個(gè)狹小的椎體底部，在尋求最優(yōu)解的過程中，算法極易停滯不前陷入局部最優(yōu)，從而找不到全局最優(yōu)解。當(dāng)x1=x2=0 時(shí)，其全局最小值，具體如圖5（f）所示。

6.2 測試環(huán)境與參數(shù)設(shè)置

測試環(huán)境如下：計(jì)算機(jī)的CPU 為Intel?Core? i7-8700 CPU @3.20 GHz 3.19 GHz，運(yùn)行內(nèi)存為8.0 GB；軟件為Windows10操作系統(tǒng)下的Matlab2018A中文版。

在實(shí)驗(yàn)中，本文將與PSO（算法1），文獻(xiàn)[25]中的指數(shù)型函數(shù)遞減慣性權(quán)重的PSO 算法（算法2），文獻(xiàn)[26]中的高階指數(shù)型函數(shù)的遞減慣性權(quán)重PSO 算法（算法3），文獻(xiàn)[27]中的二階振蕩微粒群算法（算法4），文獻(xiàn)[28]中的帶收縮因子的PSO 算法（算法5）進(jìn)行了對(duì)比。其中PSO算法中的慣性權(quán)重采用線性遞減的形式，慣性權(quán)重w在區(qū)間[0.4，0.9]之間線性取值；文獻(xiàn)[25]中指數(shù)型函數(shù)遞減慣性權(quán)重中的α為控制因子，控制w與迭代次數(shù)變化曲線的平滑度，通常取3；文獻(xiàn)[26]中高階指數(shù)型函數(shù)的遞減慣性權(quán)重中的β一般取20。其余參數(shù)具體設(shè)置：自我學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)系因子的初始值和最終值分別為c1b=2.2，c1e=0.5，c2b=0.5，c2e=2.2，粒子數(shù)目為30，迭代次數(shù)為500 次，混沌初始化中的u取4，測試算法參數(shù)設(shè)置具體取值如表1所示。

6.3 測試結(jié)果及分析

對(duì)每種算法分別獨(dú)立運(yùn)行10 次，將其運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中Function 表示最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，Algorithm表示算法，Goal表示目標(biāo)值，◢best表示最優(yōu)值，◢worst表示最差值，◢avg 表示平均值，◢std 表示標(biāo)準(zhǔn)差，◢num表示尋優(yōu)次數(shù)，◢%表示尋優(yōu)率，t表示運(yùn)行時(shí)間（單位s），本文以10?6為誤差容忍度，測試結(jié)果如表2、表3所示，函數(shù)迭代軌跡如圖6、圖7所示（圖中為了使曲線變化對(duì)比明顯，縱軸表示種群平均適應(yīng)度自然對(duì)數(shù)值，橫軸表示進(jìn)化代數(shù)）。

表1 相關(guān)參數(shù)設(shè)置

表2 顯示的是DDAPSO 算法與其余算法在單模態(tài)函數(shù)上測試所得的結(jié)果。從表2中的最優(yōu)解，標(biāo)準(zhǔn)差和尋優(yōu)率上可以發(fā)現(xiàn)，DDAPSO 算法較算法4、算法5 而言，首先在求解精度上具有極大的優(yōu)勢，這一點(diǎn)在Rosenbrock’s valley 函數(shù)上，表現(xiàn)尤為明顯；在穩(wěn)定性方面，從De Jong、Quadric 這兩個(gè)單模態(tài)函數(shù)上可以發(fā)現(xiàn)DDAPSO 的求解性能較為穩(wěn)定，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢；其次，從算法的運(yùn)行時(shí)間上來看，DDAPSO在尋求最優(yōu)解的過程中所花費(fèi)的時(shí)間最少，在求解效率上具有一定的優(yōu)勢。此外，將DDAPSO 算法與算法1、算法2、算法3進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)DDAPSO算法在求解精度和尋優(yōu)效率上也具有相當(dāng)大的優(yōu)勢，由于DDAPSO 中的自適應(yīng)慣性權(quán)重較線性慣性權(quán)重遞減具有較強(qiáng)的適應(yīng)環(huán)境的能力，這樣在尋求最優(yōu)解的過程中，可以不斷與外界環(huán)境進(jìn)行交互，協(xié)同進(jìn)化，從而快速找到最優(yōu)解。

圖 6 顯示的是 De Jong、Quadric 和 Rosenbrock’svalley 函數(shù)在求解最優(yōu)解的過程中的迭代軌跡，從上述優(yōu)化結(jié)果中可以看出，DDAPSO算法在求解單模態(tài)函數(shù)時(shí)，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢。在尋優(yōu)性能上，最差的是PSO 算法，在尋優(yōu)的過程中容易陷入局部最優(yōu)解，從而使得算法停滯不前，發(fā)生早熟現(xiàn)象。DDAPSO由于借鑒了協(xié)同進(jìn)化理論中的個(gè)體的多樣性以及主動(dòng)性，利用混沌搜索克服前期所選粒子的單一性，使得種群的多樣性得以增加，從而使得進(jìn)化能夠跳出局部最優(yōu)，快速找到全局最優(yōu)解。

表2 單模態(tài)函數(shù)測試對(duì)比

表3 多模態(tài)函數(shù)測試對(duì)比

表3顯示的是動(dòng)態(tài)雙重自適應(yīng)PSO算法（DDAPSO）與其他算法在多模態(tài)函數(shù)上測試所得的結(jié)果。從表3中的最優(yōu)解，標(biāo)準(zhǔn)差和尋優(yōu)率上可以發(fā)現(xiàn)，DDAPSO 算法較其他算法具有一定的尋優(yōu)優(yōu)勢。在求解精度上，對(duì)比各算法在Rastrigin，Schaefer’sf7 函數(shù)上的求解性能，可以發(fā)現(xiàn)DDAPSO算法在求解精度上，具有很好的尋優(yōu)性能，尤其在多模態(tài)Rastrigin 函數(shù)上表現(xiàn)尤為明顯；從運(yùn)行時(shí)間來看，DDAPSO 算法在尋優(yōu)過程中所花費(fèi)時(shí)間最短。此外，在運(yùn)行時(shí)間上，對(duì)比表3和表2可以發(fā)現(xiàn)，多模態(tài)函數(shù)在尋優(yōu)的過程中所花費(fèi)的時(shí)間較單模態(tài)函數(shù)花費(fèi)的多；從穩(wěn)定性和尋優(yōu)率來看，DDAPSO 較其他算法具有較為穩(wěn)定的尋優(yōu)性能，在尋優(yōu)率上，較其他算法而言，具有一定的優(yōu)勢，在一定的迭代次數(shù)內(nèi)能夠較多次逃脫局部最優(yōu)解，找到全局最優(yōu)解，具有極好的尋優(yōu)性能。

圖 7 顯示的是 Rastrigin，Schaefer’sf7 和 Ackly 函數(shù)在求解最優(yōu)解的過程中的迭代軌跡，從上述優(yōu)化結(jié)果中可以看出，DDAPSO 算法在求解多模態(tài)函數(shù)時(shí)，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢。從函數(shù)迭代軌跡可以發(fā)現(xiàn)，DDAPSO算法在求解多模態(tài)函數(shù)時(shí)，由于借鑒了協(xié)同進(jìn)化理論中的協(xié)同進(jìn)化的優(yōu)勢，粒子個(gè)體在尋優(yōu)的過程中，在個(gè)體與外界環(huán)境協(xié)同作用下，不斷進(jìn)化，從而在短時(shí)間找到全局最優(yōu)解。這一性能在在Rastrigin和Ackly函數(shù)上表現(xiàn)非常明顯，DDAPSO算法可以在大約150代之內(nèi)找到最優(yōu)解，較其他算法具有極高的尋優(yōu)效率。

7 結(jié)束語

圖6 單模態(tài)測試函數(shù)迭代軌跡圖

針對(duì)PSO算法易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟這一先天缺陷，本文利用生物學(xué)中的協(xié)同進(jìn)化理論，借鑒其進(jìn)化主體的多樣性，對(duì)基本PSO 算法進(jìn)行了改進(jìn)，形成了動(dòng)態(tài)雙重自適應(yīng)PSO算法。首先在初始化種群時(shí)，將混沌搜索引入PSO 算法中，增加了種群的多樣性，其次引入非線性動(dòng)態(tài)調(diào)整策略對(duì)個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)信息因子進(jìn)行非線性取值，最后借鑒協(xié)同進(jìn)化過程中與環(huán)境的主動(dòng)適應(yīng)性這些優(yōu)點(diǎn)，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)取值，從而形成了動(dòng)態(tài)雙重自適應(yīng)PSO 算法。最后經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，該算法無論在單模態(tài)測試函數(shù)上還是在多模態(tài)測試函數(shù)上，在求解精度、穩(wěn)定性、尋優(yōu)率及運(yùn)行時(shí)間上較其他5種算法均具有較好的求解性能，具有廣泛的應(yīng)用前景。

圖7 多模態(tài)測試函數(shù)迭代軌跡圖