楊 芳,張寬橋,余 磊

(1.西安航空學(xué)院 飛行器學(xué)院,陜西 西安 710077;2.洛陽(yáng)電子信息裝備試驗(yàn)中心,河南 洛陽(yáng) 471003)

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,許多導(dǎo)彈(如某些反艦導(dǎo)彈、反坦克導(dǎo)彈、防空導(dǎo)彈等)需要以一定的攻擊角度命中目標(biāo),來(lái)增加戰(zhàn)斗部的毀傷效能。因此,攻擊角度約束是制導(dǎo)律設(shè)計(jì)需要考慮的問(wèn)題[1]。由于滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動(dòng)模態(tài)對(duì)干擾具有不變性,被廣泛應(yīng)用在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[2]采用彈目視線角速率和視線角約束項(xiàng)作為滑模面,將滑模變結(jié)構(gòu)控制用于帶攻擊角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[3]結(jié)合自適應(yīng)指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,增加了制導(dǎo)律的自適應(yīng)性和動(dòng)態(tài)性能。

上述制導(dǎo)律均采用線性滑模面,不能保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂,而導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的時(shí)間是有限的。針對(duì)有限時(shí)間收斂問(wèn)題,文獻(xiàn)[4]基于終端滑?？刂?設(shè)計(jì)了帶攻擊角度約束的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[5]通過(guò)在終端滑模面中加入線性項(xiàng),進(jìn)一步加快了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。但終端滑模控制律中含狀態(tài)量的負(fù)指數(shù)項(xiàng)存在奇異問(wèn)題。針對(duì)奇異問(wèn)題,目前主要有2種解決途徑:一是非奇異終端滑模[6],二是積分滑模[7]。積分滑模能保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂,但不能確定其具體的收斂時(shí)間表達(dá)式。文獻(xiàn)[8]改進(jìn)了非奇異終端滑模面,避免了奇異問(wèn)題,并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的制導(dǎo)律,但所提制導(dǎo)律不能保證滑模面的嚴(yán)格有限時(shí)間收斂,存在非收斂因子,會(huì)降低收斂速率。文獻(xiàn)[9]對(duì)滑模面的非嚴(yán)格收斂問(wèn)題進(jìn)行了研究,提出了一種嚴(yán)格有限時(shí)間收斂的非奇異終端滑模面,但滑模面函數(shù)是不光滑的,系統(tǒng)只能收斂至一個(gè)有界區(qū)域內(nèi),且無(wú)法給出其具體范圍。

針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)和系統(tǒng)擾動(dòng)等干擾問(wèn)題,目前大多數(shù)文獻(xiàn)的處理方法有3種:設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器實(shí)時(shí)在線估計(jì)干擾[10];設(shè)計(jì)自適應(yīng)律估計(jì)干擾的上界[11],利用滑?？刂频聂敯粜缘挚垢蓴_。這些方法需要引入符號(hào)函數(shù)項(xiàng),使得控制量不連續(xù),引起抖振現(xiàn)象。大多數(shù)文獻(xiàn)對(duì)符號(hào)項(xiàng)進(jìn)行光滑處理,以達(dá)到削弱抖振的目的,但同時(shí)也削弱了滑?？刂频聂敯粜浴ａ槍?duì)抖振問(wèn)題,文獻(xiàn)[12]提出了一種二階滑模超螺旋算法,具有算法簡(jiǎn)單、避免抖振、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[13]采用該方法設(shè)計(jì)了二階滑模制導(dǎo)律,能夠有效抑制抖振,且能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。但超螺旋算法存在控制律不光滑,參數(shù)選取需要已知系統(tǒng)干擾的上界信息以及系統(tǒng)狀態(tài)距平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)收斂速度慢等問(wèn)題。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)了一種非奇異快速終端滑模面,改進(jìn)了一種自適應(yīng)光滑超螺旋算法來(lái)削弱抖振和抵消干擾,進(jìn)而提出了一種帶攻擊角度約束的非奇異快速終端二階滑模制導(dǎo)律,并對(duì)其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了證明。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律的有效性和優(yōu)越性。

1 問(wèn)題描述及相關(guān)引理

1.1 問(wèn)題描述

在慣性坐標(biāo)系上建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。r為彈目相對(duì)距離,q為彈目視線角,vm和vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度,θm和θt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的航跡角。所有角度逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?/p>

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,可得彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

(1)

(2)

攻擊角度為制導(dǎo)終端導(dǎo)彈與目標(biāo)速度矢量方向之間的夾角。若導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)滿足期望攻擊角度,則有以下條件成立:

(3)

θd=θt(tf)-θm(tf)

(4)

式中:tf為導(dǎo)彈命中目標(biāo)的時(shí)刻,θd為期望攻擊角度。

將式(1)中第2個(gè)公式代入式(3),得:

vmsin(q(tf)-θm(tf))=vtsin(q(tf)-θt(tf))

(5)

將式(4)代入式(5)可得期望攻擊角度與終端視線角q(tf)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

(6)

因此,攻擊角度約束問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了終端視線角約束q(tf)=qd的問(wèn)題,其中,qd為期望終端視線角。

對(duì)式(2)整理后可得帶攻擊角度約束的制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(7)

1.2 相關(guān)引理

為分析和證明方便,引入如下引理。

(8)

(9)

引理3[16]對(duì)于如下非線性系統(tǒng):

(10)

若a1>0,a2>0,01,則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,且收斂時(shí)間滿足:

(11)

(12)

2 自適應(yīng)二階滑模制導(dǎo)律

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

終端滑?？刂撇捎梅蔷€性函數(shù)作為滑模面,能夠使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂,但該方法存在奇異問(wèn)題。為避免奇異問(wèn)題,基于分段滑模面思想和引理3,設(shè)計(jì)一種非奇異快速終端滑模面為

s=x2+k1|x1|α1sgn(x1)+k2ψ(x1)

(13)

(14)

式中:α1>1,0<α2=p1/p2<1,k1>0,k2>0,δ>0,p1和p2為正奇數(shù),λ1=(3-α2)δα2-1/2,λ2=(α2-1)δα2-3/2。

對(duì)式(13)微分得:

(15)

(16)

將式(7)代入式(15)得:

(17)

設(shè)計(jì)等效制導(dǎo)律為

(18)

將式(18)代入式(17)得:

(19)

為抵消干擾和抑制抖振,并加快滑模面的收斂速度,采用二階超螺旋算法設(shè)計(jì)輔助制導(dǎo)律為

(20)

其有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件為[17]

(21)

超螺旋算法能削弱抖振,且具有強(qiáng)魯棒性和高精度的控制性能。但傳統(tǒng)超螺旋算法有以下不足:①控制參數(shù)的選取需要已知干擾的邊界信息;②當(dāng)系統(tǒng)距平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí),收斂速度慢;③積分項(xiàng)下含有不連續(xù)項(xiàng),控制指令是不光滑的,會(huì)影響控制性能。針對(duì)上述問(wèn)題,對(duì)超螺旋算法進(jìn)行改進(jìn),在控制指令中加入線性項(xiàng),在積分項(xiàng)下加入連續(xù)函數(shù),并設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自適應(yīng)律來(lái)抑制干擾。改進(jìn)后的超螺旋算法設(shè)計(jì)的輔助制導(dǎo)律為

(22)

式中:1/2≤β<1。

參數(shù)自適應(yīng)律為

(23)

式中:b>0,c>0,ε>0。

結(jié)合式(18)和式(22),設(shè)計(jì)制導(dǎo)律為

(24)

將式(24)代入式(17)得:

(25)

由式(25)可以看出,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),式(22)中的線性項(xiàng)s起主要作用,相比傳統(tǒng)超螺旋算法收斂速度更快,當(dāng)系統(tǒng)接近平衡點(diǎn)時(shí),非線性項(xiàng)|s|βsgn(s)起主要作用。因此,與傳統(tǒng)超螺旋算法相比,式(22)具有更快的收斂速度。

由于系統(tǒng)會(huì)存在測(cè)量噪聲,因此系統(tǒng)狀態(tài)不能完全到達(dá)滑模面。為避免參數(shù)增至無(wú)窮大,因此自適應(yīng)律中加入了sgn(|s|-ε)項(xiàng),避免“過(guò)分估計(jì)”的問(wèn)題[18]。

由式(22)可知,φ1(s)和φ2(s)與s同號(hào),因此φ1(s)φ2(s)≥0。由式(23)可知,當(dāng)|s|>ε時(shí),k3和k4逐漸增大,使系統(tǒng)狀態(tài)收斂。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)收斂至|s|<ε時(shí),sgn(|s|-ε)k3和k4逐漸減小。若k3和k4減小到無(wú)法抵消干擾時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)偏離|s|<ε,此時(shí)在自適應(yīng)律作用下,k3和k4逐漸增大,使系統(tǒng)狀態(tài)收斂至|s|<ε范圍內(nèi)。重復(fù)前面的過(guò)程,k3和k4逐漸減小。因此,k3和k4是全局有界的。

2.2 有限時(shí)間收斂性分析

對(duì)于系統(tǒng)總擾動(dòng)d做出如下假設(shè)。

假設(shè)1d(t)表示為d(t)=d1(t)+d2(t),且滿足:

(26)

式中:K>0,L>0。

一些文獻(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)干擾d有界且可微,但實(shí)際上,d可能包含有不可微的干擾信息,比如方波干擾、系統(tǒng)噪聲等,因此假設(shè)1對(duì)d的描述較為全面,并且由于滑模面s并不會(huì)完全收斂至0,只是收斂至0的鄰域內(nèi),式(26)是可以成立的。

證明引入新的狀態(tài)向量:

(27)

結(jié)合式(26)和式(27)可得,存在ρ1(t)和ρ2(t)滿足:

(28)

對(duì)式(27)微分得:

(29)

構(gòu)造如下二次型Lyapunov函數(shù):

V1=zTPz

(30)

(31)

式中:a為大于0的任意常數(shù)。易證P為正定矩陣且V1徑向無(wú)界,即:

λmin(P)‖z‖2≤V1≤λmax(P)‖z‖2

(32)

定義一個(gè)正數(shù)σ滿足0<σ<2b,結(jié)合式(29)對(duì)V1求一階導(dǎo)數(shù),得:

(33)

定義:

(34)

易證Q為半正定矩陣。

由式(32)可知:

(35)

(36)

由引理2可知,z可有限時(shí)間收斂至原點(diǎn),即s是有限時(shí)間收斂的。

證畢。

定理2在制導(dǎo)律(24)的作用下,且制導(dǎo)參數(shù)滿足式(23),制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)可有限時(shí)間收斂至如下區(qū)域:

(37)

(38)

(39)

由式(36)可知:

(40)

當(dāng)|s|>ε時(shí),結(jié)合式(23)得:

(41)

令c>a,結(jié)合式(40)和式(41)得:

(42)

式中:

由1/2≤β<1,可知1/2<γ<1。由引理1可知V2可有限時(shí)間收斂至原點(diǎn),因此,s可收斂至|s|≤ε,收斂時(shí)間滿足:

(43)

當(dāng)|s|≤ε時(shí),若k3和k4減小到無(wú)法抵消干擾時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)偏離|s|≤ε,此時(shí)在自適應(yīng)律作用下,k3和k4增大,使系統(tǒng)狀態(tài)收斂至|s|≤ε區(qū)域內(nèi)。

當(dāng)滑模面s到達(dá)收斂域后,此時(shí)令s=ε1,則|ε1|≤ε。分以下2種情況進(jìn)行討論。

①|(zhì)x1|≥δ,式(13)可寫(xiě)為

(44)

(45)

由于ε為一個(gè)較小正數(shù),通過(guò)合理的選取參數(shù)k1和k2,可使2?≤δ,此時(shí),x1的收斂域?yàn)?/p>

|x1|≤max{2?,δ}=δ

(46)

結(jié)合式(44),可得x2的收斂域?yàn)?/p>

|x2|≤k1|x1|α1+k2|x1|α2+|ε1|≤k1δα1+k2δα2+ε

(47)

②|x1|≤δ,式(13)可寫(xiě)為

(48)

由式(48)可得:

(49)

綜上所述,系統(tǒng)狀態(tài)可有限時(shí)間收斂至如式(37)所示的區(qū)域內(nèi),且收斂時(shí)間滿足:

(50)

證畢。

制導(dǎo)律(24)中含有較多設(shè)計(jì)參數(shù),這些參數(shù)可以根據(jù)實(shí)際需求來(lái)進(jìn)行整定。對(duì)自適應(yīng)律(23)和滑模面(13)進(jìn)行分析可知,增大a,b,c,k1,k2和α1,減小β和α2的值,可加快系統(tǒng)收斂速度和控制精度,但也會(huì)增大導(dǎo)彈過(guò)載,而導(dǎo)彈的可用過(guò)載是有界的,因此在這些參數(shù)選取時(shí)要折中考慮。為后文敘述方便,將本節(jié)所提的自適應(yīng)快速終端二階滑模制導(dǎo)律簡(jiǎn)記為ANFTSG。

3 仿真分析

本節(jié)基于彈道仿真在不同場(chǎng)景下對(duì)制導(dǎo)律ANFTSG的性能進(jìn)行仿真分析。在慣性坐標(biāo)系下,設(shè)定導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始位置分別為(0,0)和(10 000 m,5 000 m),導(dǎo)彈的速度vm=500 m/s,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度vt=250 m/s。重力加速度g=9.8 m/s2,導(dǎo)彈的最大可用過(guò)載為20g。仿真步長(zhǎng)0.01 s,采用4階Runge-Kutta法解算仿真模型。ANFTSG的制導(dǎo)參數(shù)設(shè)置為:k1=k2=2,a1=7/5,α2=5/7,β=0.6,ε=0.01,δ=0.001,a=0.5,b=c=1。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型為

(51)

式中:xt和yt為目標(biāo)在慣性系上的位置。

仿真中引入文獻(xiàn)[8]提出的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律(NFTG)以及文獻(xiàn)[13]提出的非奇異終端二階滑模制導(dǎo)律(NTSG)進(jìn)行對(duì)比仿真。

①仿真場(chǎng)景1。導(dǎo)彈以不同初始航跡角θm0打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)。設(shè)定θm0分別為30°,60°,90°,120°,150°。期望終端視線角qd=45°。目標(biāo)常值機(jī)動(dòng),加速度at=-30 m/s2,目標(biāo)初始航跡角θt0=150°。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 場(chǎng)景1的仿真結(jié)果

②仿真場(chǎng)景2。導(dǎo)彈以不同期望終端視線角打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)。設(shè)定qd分別為20°,40°,60°和80°,θm0=45°,目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng),加速度at=30sin(πt/5),θt0=150°。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 場(chǎng)景2仿真結(jié)果

③仿真場(chǎng)景3。ANFTSG和NFTG、NTSG對(duì)比仿真。設(shè)定θm0=45°,qd=45°,θt0=180°。目標(biāo)的機(jī)動(dòng)考慮如下2種情況:余弦機(jī)動(dòng)at=30cos(πt/5),方波機(jī)動(dòng)at=30sgn(sin(πt/5))。

引入平均過(guò)載nme來(lái)評(píng)估制導(dǎo)過(guò)程能量消耗,定義為

(52)

式中:N為總仿真步數(shù)。

仿真結(jié)果如圖4、圖5和表1所示。

表1為在3種制導(dǎo)律作用下的攻擊時(shí)間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過(guò)載的仿真結(jié)果,可以看出,相比NFTG和NTSG,ANFTSG的攻擊時(shí)間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過(guò)載最小。

表1 不同制導(dǎo)律下的仿真結(jié)果

圖4 目標(biāo)余弦機(jī)動(dòng)的仿真結(jié)果

圖5 目標(biāo)方波機(jī)動(dòng)的仿真結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo),對(duì)帶有攻擊角度約束的制導(dǎo)問(wèn)題展開(kāi)研究。通過(guò)理論分析和仿真驗(yàn)證有如下結(jié)論:

①所提自適應(yīng)非奇異終端二階滑模制導(dǎo)律在存在目標(biāo)機(jī)動(dòng)不確定及系統(tǒng)擾動(dòng)的情況下,能使導(dǎo)彈以期望攻擊角度命中目標(biāo),并且使彈目視線角速率及視線角偏差有限時(shí)間內(nèi)快速收斂至0的可控鄰域內(nèi)。相比現(xiàn)有的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律和非奇異終端二階滑模制導(dǎo)律,制導(dǎo)精度更高,收斂速度更快,能量消耗更少。

②在超螺旋算法的基礎(chǔ)上,增加了線性項(xiàng)和積分項(xiàng)下的連續(xù)函數(shù),且設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)律。一方面加快了系統(tǒng)的收斂速度,保證控制量的光滑性;另一方面能夠自適應(yīng)調(diào)整控制器參數(shù),有效抑制系統(tǒng)干擾,且無(wú)需干擾的邊界信息。

后續(xù)的研究可考慮將本文所提制導(dǎo)律擴(kuò)展至三維空間,并考慮自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性。