王 麗，陳 震，劉奇龍

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是一個(gè)m階n維的張量，表示為

其中，［n］＝｛1，2，…，n｝.稱張量A是對(duì)稱的，如果ai1i2…im＝aπ（i1i2…im），?π∈Πm，其中Πm是指標(biāo)向量［1，2，…，m］的所有排列的全體.稱張量A是半對(duì)稱的，如果

其中Πm-1是指標(biāo)向量［2，3，…，m］的所有排列的全體.

本文考慮如下多線性系統(tǒng)的數(shù)值求解問題

其中，x＝［x1，x2，…，xn］T∈Rn是未知向量，Axm-1是列向量，它的第i個(gè)元素定義為

多線性系統(tǒng)（1）來源于數(shù)據(jù)挖掘、微分方程數(shù)值解和張量補(bǔ)等實(shí)際問題［1-3］，近年來受到廣泛關(guān)注.2015年，Li等［1］提出了求解數(shù)據(jù)挖掘背景下產(chǎn)生的系數(shù)為稀疏非負(fù)張量的多線性系統(tǒng)的一種迭代方法，并證明了算法的線性收斂性；2016年，Ding等［2］研究了系數(shù)張量為M-張量的多線性系統(tǒng)，在張量A是非奇異的M-張量，b是正向量的情形下證明了方程有唯一的正解，并提出了求解張量方程的幾種迭代算法，推廣了經(jīng)典的Jacobi方法與Gauss-Seidel方法；Han［4］提出了確定這個(gè)唯一正解的同倫方法；He等［5］提出了二次收斂的Newton型算法；2017年，Li等［6］將一些經(jīng)典的分裂方法推廣到求解對(duì)稱張量方程，在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了算法的全局收斂性和局部r-線性收斂性；對(duì)于系數(shù)為強(qiáng)M-張量的張量方程，Liu等［7］提出了一些基于張量分裂的算法，并將該算法應(yīng)用到高階馬爾可夫鏈模型；Lü 等［8］將經(jīng)典的 Levenberg-Marquardt（LM）方法應(yīng)用到系數(shù)為半對(duì)稱張量的多線性系統(tǒng)，并證明了在局部誤差界下的全局收斂性與局部二次收斂性；Li等［9］提出了求解多線性系統(tǒng)的混合交替投影算法，并證明了在適當(dāng)條件下算法的局部線性收斂性.

綜上，現(xiàn)有方法通常是針對(duì)系數(shù)為對(duì)稱或半對(duì)稱的張量或具有一定結(jié)構(gòu)的非奇異M-張量的多線性系統(tǒng)進(jìn)行討論.本文則是考慮一般情形下的多線性系統(tǒng)（1）.首先討論了應(yīng)用改進(jìn)的LM方法求解多線性系統(tǒng)的數(shù)值算法，然后證明了該方法在局部誤差界條件下的全局收斂性和局部二次收斂性，最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性.

2 迭代算法

3 收斂性分析

4 數(shù)值算例

選取幾個(gè)例子驗(yàn)證算法2.2的有效性.所有程序在配置為intel（R）Core（TM）i5-6200U CPU @2.30 GHz的筆記本電腦環(huán)境下使用Matlab 2015b編寫，涉及到張量計(jì)算的部分使用了工具箱Tensor toolbox 2.5［16］.迭代過程中的容許誤差取為，其中算法2.2相關(guān)參數(shù)的選取為：α0＝0.5，αmin＝1.0×10-5，a1＝4，a2＝1/4，h0＝0.02，h1＝0.3，h2＝0.6，最大迭代次數(shù)N＝20.

例4.1采用文獻(xiàn)［8］中的例5.1，考慮多線性系統(tǒng)（1）.首先生成一個(gè)m階n維隨機(jī)非負(fù)張量A，其元素在（0，1）上均勻分布.為了得到向量b，先選取x*＝2*ones（n，1）為準(zhǔn)確解.在實(shí)驗(yàn)中選取初值x0＝3*ones（n，1），通過算法2.2 計(jì)算多線性系統(tǒng)的解，并與文獻(xiàn)［8］的算法相比較.數(shù)值結(jié)果如表1所示，其中，k表示迭代次數(shù)，t表示運(yùn)算時(shí)間，∈res表示相對(duì)誤差‖x-x*‖/‖x*‖.因?yàn)檫@里的張量A沒有對(duì)稱性，所以不能直接使用文獻(xiàn)［8］的LM方法.為了與文獻(xiàn)［8］中的LM方法比較，在計(jì)算Jacobi矩陣時(shí)不能利用文獻(xiàn)［8］中的（3.4）式，而是利用本文的（8）式.由表1可以看出：算法2.2與LM方法相比較，前者所需的迭代次數(shù)更少，時(shí)間更短.

表1 選取不同階數(shù)不同維數(shù)的多線性系統(tǒng)的數(shù)值結(jié)果Tab.1 The numerical results of multilinear systems with different orders and dimensions

圖1是選取m＝4，n＝30時(shí)，算法2.2的收斂性演示.顯然，在局部誤差界條件下，算法2.2產(chǎn)生的點(diǎn)列是二次收斂的.

下面利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明該方法可應(yīng)用于如下廣義的多線性系統(tǒng)

其中，Ap是一個(gè)p階n維的張量，p＝2，3，…，m.

例4.2隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)三階張量A1和二階矩陣A2，其元素都在（0，1）上均勻分布，選取

圖1 算法2.2的收斂性演示Fig.1 Convergence demonstration of Algorithm 2.2

為準(zhǔn)確解，從而確定右端向量b.利用算法2.2求解上述的多線性系統(tǒng)，結(jié)果如表2所示.表2表明算法2.2同樣可以有效求解廣義的多線性系統(tǒng).

表2 選取不同維數(shù)的廣義多線性系統(tǒng)的數(shù)值結(jié)果Tab.2 The numerical results of generalized multilinear systems with different dimensions

例4.3參考文獻(xiàn)［2］中的例4.3，考慮引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

Dirichlet邊界條件為

其中重力常數(shù)G≈6.67×10-11Nm2/kg2和地球質(zhì)量M≈5.98×1024kg.

離散化后可以得到如下的多項(xiàng)式方程組

上述方程組可以改寫成多線性系統(tǒng)Ax3＝b，其中系數(shù)A是一個(gè)四階張量，其元素為

右端向量b中的元素為

另一方面，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡可以用拋物線近似地表示

其中，c0和c1表示地球半徑，等于6.37×106km，重力加速度g≈9.8 m/s2，α和β是由邊界條件確定的常數(shù).

圖2是利用算法2.2求解上述多線性系統(tǒng)的數(shù)值結(jié)果與拋物線的對(duì)比，顯然，數(shù)值結(jié)果完全符合實(shí)際情況.

圖2 在引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡Fig.2 Trajectory of particle motion under the action of gravity