李林芳，舒 級(jí)，文慧霞

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

1 前言

近年來(lái)，非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程（FPDE）的研究引起了人們廣泛的關(guān)注.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的思想起源于萊布尼茨和洛必達(dá)討論的半階導(dǎo)數(shù)，后來(lái)由文獻(xiàn)［1-3］把它推廣到任意階導(dǎo)數(shù)，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的多種定義.在現(xiàn)實(shí)中，一種自然現(xiàn)象可能不僅取決于時(shí)間，也取決于先前一段時(shí)間的歷史，這些可以通過(guò)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分來(lái)闡述.分?jǐn)?shù)階微積分也是描述具有長(zhǎng)期記憶和長(zhǎng)期空間交互作用的物理系統(tǒng)的有力工具，不僅用于分析分?jǐn)?shù)布朗驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程，也包括非隨機(jī)的分?jǐn)?shù)物理現(xiàn)象，如多孔系統(tǒng)的研究、量子力學(xué)和非Newton流體力學(xué)等.然而，由于方法的限制，F(xiàn)PDE的研究受到了阻礙，導(dǎo)致具有多種特征（如周期解、混沌、奇異吸引子、分形等）的FPDE在一般情況下不能完全獲得精確解.因此，研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解是一個(gè)非常重要的課題.

本文研究如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組

其中，u（x，t）是速度場(chǎng)，v（x，t）是高度，α是時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，0＜α≤1.Boussinesq-Burger方程［4］是一個(gè)重要的偏微分方程組，產(chǎn)生于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究.Kuma等［4］利用剩余冪級(jí)數(shù)法研究了該方程組的解，發(fā)現(xiàn)修正的同倫分析法獲取的結(jié)果更為準(zhǔn)確.Wang等［5］應(yīng)用多參數(shù)達(dá)布變換獲得該方程組的一些顯示解，包括2N孤子解與周期解.Mostafa等［6］利用廣義Kudryashov方法獲得該方程組的精確解.

目前構(gòu)建非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的方法主要包括：首次積分法［7-9］、同倫分析法［10-11］、指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法［12-14］和（G′/G）-展開(kāi)法［15-17］等.近年來(lái)，一種基于不變子空間的解析方法為構(gòu)建FPDE的精確解提供了一種有效工具.不變子空間方法最初由Galaktionov等［18］提出，后來(lái)經(jīng)Gazizov等［19］推廣到非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階標(biāo)量偏微分方程.最近，Sahadevan等［20］將不變子空間方法擴(kuò)展到非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階耦合偏微分方程.通過(guò)該方法已經(jīng)獲得 Hunter-Saxton方程［20］、Whitman-Broer-Kaup 方程組［20］和可壓縮歐拉方程［21］等的精確解.不變子空間方法的優(yōu)勢(shì)在于：它是一種與對(duì)稱群相關(guān)的方法，通過(guò)這種方法，非線性演化方程可以被約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)；同時(shí)它也是一個(gè)算法，可以為FPDE構(gòu)造簡(jiǎn)單的孤子解和相似解.

下面給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)［1，22］.

2 預(yù)備知識(shí)

不變子空間方法是與廣義條件對(duì)稱密切相關(guān)的構(gòu)造非線性偏微分方程（組）廣義分離變量解的有效方法之一.下面介紹不變子空間方法及相關(guān)定義，分別對(duì)標(biāo)量PDE、耦合PDE、時(shí)間分?jǐn)?shù)階標(biāo)量PDE和時(shí)間分?jǐn)?shù)階耦合PDE進(jìn)行闡述［20］.

3 Boussinesq-Burger方程組的精確解

下面應(yīng)用不變子空間方法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組（2）.

按照第二節(jié)的方法，方程組（2）容許1個(gè)不變子空間：

4 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用不變子空間方法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階耦合非線性PDE，并得到時(shí)間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組的精確解.不變子空間方法對(duì)于某些方程還可以允許多個(gè)不變子空間，從而得到多個(gè)不同的精確解.從結(jié)果來(lái)看，不僅獲取了該方程在分?jǐn)?shù)階情形下的精確解，整數(shù)階情形下也一并獲得，這是其它方法所不能完成的.同時(shí)，相比其它方法，獲得的精確解的表達(dá)式也更為簡(jiǎn)潔.因此，對(duì)于構(gòu)建非線性分?jǐn)?shù)階方程（組）的精確解，不變子空間方法是一種新的行之有效的方法，以后將用于更多非線性偏微分方程（組）的研究中.