周勇軍 丁偉慧 趙煜 李源 吳領(lǐng)領(lǐng)

（1.長安大學(xué)舊橋檢測與加固技術(shù)交通行業(yè)重點實驗室，西安 710064；2.長安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064）

徐變是混凝土重要性質(zhì)之一，其影響不容忽視［1-2］。對于變化應(yīng)力作用下的徐變，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度提出了很多計算方法。文獻［3］提出徐變率法可用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的徐變計算中，但是該方法認為徐變速率與加荷齡期無關(guān)的假設(shè)與實際不符。文獻［4］針對指數(shù)形式的徐變度表達式，提出了無需記錄應(yīng)力歷史的全量方法，得到了大體積混凝土結(jié)構(gòu)應(yīng)力徐變計算公式，大大提高了計算效率。文獻［5］提到疊加法是以應(yīng)變與應(yīng)力成線性關(guān)系的假設(shè)作為依據(jù)，遞增應(yīng)力歷史時疊加法徐變計算值與試驗值基本相符。文獻［6］基于疊加法推導(dǎo)出彈性后效徐變恢復(fù)表達式，提出徐變的雙功能函數(shù)全量遞推表達式，最終徐變計算值與疊加法計算值差異很小。文獻［7］在疊加法的基礎(chǔ)上利用積分中值定理，推導(dǎo)出含有老化系數(shù)的齡期調(diào)整有效模量法，計算簡便，但精度依賴于老化系數(shù)的取值。文獻［8］進一步研究齡期調(diào)整有效模量，得到含有2 個中值系數(shù)的計算式，可分別描述彈性應(yīng)變、徐變應(yīng)變對總應(yīng)變的影響。文獻［9］基于徐變的可逆性原理，結(jié)合中值定理，推導(dǎo)出不需要記錄全部應(yīng)力歷史的全量遞推表達式，較大幅度地提高了計算效率，且能夠滿足工程需要。許多學(xué)者對不同類型混凝土的徐變恢復(fù)進行了大量研究。文獻［10］在試驗的基礎(chǔ)上，對混凝土徐變恢復(fù)影響因素進行分析，得出徐變恢復(fù)與加載齡期、應(yīng)力持荷時間、卸載齡期、卸載持續(xù)時間有關(guān)，而與溫度和濕度無關(guān)的結(jié)論，并基于試驗建立了可行的徐變恢復(fù)預(yù)測模型。文獻［11］發(fā)現(xiàn)混凝土徐變恢復(fù)受混凝土強度的影響。文獻［12］建立了高強度混凝土的徐變恢復(fù)修正模型，并驗證了其合理性。

在變化應(yīng)力的徐變計算中，一類方法高估或低估徐變恢復(fù)的作用；另一類方法雖然考慮了徐變恢復(fù)作用，但較少對復(fù)雜應(yīng)力歷史進行分析。為解決復(fù)雜應(yīng)力歷史的徐變計算問題，研究徐變恢復(fù)對混凝土徐變應(yīng)變、總應(yīng)變的影響，本文采用雙函數(shù)法對疊加法的徐變計算公式進行修正，推導(dǎo)適用于不同狀態(tài)應(yīng)力歷史的徐變計算公式。

1 徐變計算理論

現(xiàn)有徐變計算方法和理論包括有效模量法、疊加法、彈性老化理論、徐變率法和績效流動理論。經(jīng)試驗驗證，疊加法計算值與試驗值基本吻和，能夠滿足工程需要［5］。疊加法對t時刻的徐變εcr(t)可表示為

采用積分形式可表示為

式中：σ0，E(t0)分別為初始加載齡期t0的應(yīng)力、彈性模量；φ(t，t0)為徐變系數(shù)；Δσi=σi-σi-1為在ti時刻的應(yīng)力增量；σ(τ)和E（τ）分別為任意時刻的應(yīng)力、彈性模量。

疊加法認為卸載后的徐變恢復(fù)曲線與加載徐變曲線一致［6］，所以其徐變恢復(fù)度C(t，t0，t1)可表示為

式中，C(t，t0)=φ(t，t0)∕E(t0)，為徐變度。

2 考慮徐變恢復(fù)的疊加法修正

2.1 簡單應(yīng)力下疊加法修正

由于疊加法計算遞減應(yīng)力時高估了混凝土徐變恢復(fù)，文獻［13］在疊加法的基礎(chǔ)上提出了簡單應(yīng)力歷史（圖1）的雙函數(shù)計算公式，見式（4）。

圖1 簡單應(yīng)力歷史示意

式中：φr(t，t0，t1)為徐變恢復(fù)系數(shù)；E28為混凝土28 d 彈性模量。

由式（4）可知，t時刻的徐變可視為圖1 中上下2塊矩形應(yīng)力歷史對t時刻徐變作用的疊加。下方矩形、上方矩形（陰影）應(yīng)力歷史對時刻t的徐變分別為對于下方矩形應(yīng)力歷史，可理解為加載時刻t0應(yīng)力作用下對時刻t的徐變?yōu)樾遁d時刻t應(yīng)力作用下對時刻t的徐變?yōu)橥?，圖1 上方矩形（陰影）應(yīng)力歷史也可理解為加載時刻t0與卸載時刻t1的應(yīng)力作用下對時刻t的徐變，分別為

2.2 階梯變化應(yīng)力下疊加法修正

基于式（4）的應(yīng)力分割原理，可把復(fù)雜的階梯變化應(yīng)力歷史分割為多個矩形應(yīng)力，然后在把多個矩形應(yīng)力歷史對時刻t的徐變進行線性疊加，最終求出時刻t的徐變。對于階梯變化應(yīng)力歷史，可分為幾個簡單矩形應(yīng)力歷史，見圖2。

圖2 階梯變化應(yīng)力歷史

分別計算每一個加卸載簡單應(yīng)力歷史的徐變再疊加，則時刻t的徐變可表達為

對于應(yīng)力局部減小且減小幅值較大時，需要確定遞減應(yīng)力下不同的加載時刻。圖2 中對于t5的卸載時刻，卸載應(yīng)力幅值為|Δσ5|=σ4-σ5，其變化較大，可分為多個應(yīng)力加載σ0-σ5，σ3-σ0，σ4-σ3，加載時刻分別為t0，t1，t4。

綜上所述，對于階梯變化應(yīng)力歷史的混凝土徐變計算可表達為

式中：m為從初始加載齡期t0到計算時刻t離散為矩形應(yīng)力歷史的個數(shù)；tji，txi分別為第j個簡單加卸載應(yīng)力歷史的加載、卸載齡期。

2.3 連續(xù)變化應(yīng)力下疊加法修正

類似于階梯變化應(yīng)力歷史的應(yīng)力分割原理，可推導(dǎo)連續(xù)變化應(yīng)力歷史（圖3）的徐變計算式。當計算時刻t的徐變應(yīng)變時，可分為如下5種情況。

圖3 連續(xù)變化應(yīng)力歷史示意

1）τ∈[t0，t]，σ'(τ) > 0，且不存在τm∈[τ，t]，使得σ（τm）=σ（τ），則時刻τ應(yīng)力增量對時刻t產(chǎn)生的徐變可表示為

2）τ∈[t0，t]，σ'(τ) > 0，且存在τm∈[τ，t]，使得σ（τm）=σ（τ），則時刻τ應(yīng)力增量對時刻t產(chǎn)生的徐變可表示為

其 中，τm= min(τm1，…，τmx)，τm1，…，τmx均 滿 足σ(τmi) =σ(τ)。

如圖3 所示，當τ=t1時，存在τm=t'1使得σ(t1)=σ(t'1)，則時刻t1的應(yīng)力增量對時刻t徐變可寫dεcr(t1)=

3）τ∈[t0，t]，σ'(τ) < 0，且不存在τn∈[t0，τ]，使得σ(τn) =σ(τ)，則時刻τ應(yīng)力增量對時刻t產(chǎn)生的徐變可表示為

如圖3 所示，不存在τn，所以時刻t3的應(yīng)力增量對時刻t的徐變可寫為

4）τ∈[t0，t]，σ'(τ) < 0，且存在τn∈[t0，τ]，使得σ(τn) =σ(τ)，則時刻τ應(yīng)力增量對時刻t產(chǎn)生的徐變可表示為

其 中，τn= max(τn1，…，τny)，τn1，…，τny均 滿 足σ(τni) =σ(τ)。

如圖3 所示，當τ=t2時，存在τn=t'2，使得σ(t'2)=σ(t2)，所以時刻t2的應(yīng)力增量對時刻t的徐變可寫為

5）上述4 種情況是計算變化應(yīng)力對時刻t的徐變，τ∈[t0，t]范圍內(nèi)最小應(yīng)力min[σ(τ)]對時刻t的徐變可用式（11）計算。對于圖3 應(yīng)力歷史，

min[σ(τ)]=σ(t)。

綜上所述，計算時刻t的徐變應(yīng)變可表達為

為表達方便，令dεcr(τ) =f(τ)dσ(τ)，則有

3 計算模型的選取

3.1 徐變模型的對比與選取

由于影響徐變的因素較多，國內(nèi)外許多學(xué)者對徐變做了大量研究，得到了適合本國的模型。本文主要將ACI 209R?92 模型［14］、GL2000 模型［15］、CEB?FIP1978模型［16］以及JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》［17］（以下簡稱18橋規(guī)）中模型進行對比，分析其中的差異。

從徐變影響因素方面，4 種模型均考慮了加載齡期、計算齡期、構(gòu)件截面尺寸、環(huán)境相對濕度，但考慮方法及影響程度卻各不相同。其他相對次要的因素，各模型考慮并不一致，如ACI 209R?92 模型對混凝土內(nèi)部構(gòu)成及前期工藝方法（空氣含量、細骨料比重、坍落度、養(yǎng)護方法）考慮比較全面。

從徐變的發(fā)展形式來看，4 種模型表達方式不一致：ACI 209R?92 模型采用雙曲函數(shù)表達徐變系數(shù)；GL2000 模型則采用分段函數(shù)；CEB?FIP1978 模型將徐變分成可恢復(fù)徐變、不可恢復(fù)徐變、初始不可恢復(fù)變形3 個部分；18 橋規(guī)模型則采用整體函數(shù)描述徐變規(guī)律。

18橋規(guī)在我國應(yīng)用較為廣泛，所以本文選取18橋規(guī)模型作為徐變系數(shù)計算模型。其公式為

式中：φ0為名義徐變系數(shù)；φRH，β(fcm)，β(t0)分別為濕度RH、混凝土強度fcm、加載齡期t0對名義徐變系數(shù)的影響系數(shù)；β(t-t0)為徐變發(fā)展函數(shù)；βH為濕度對徐變發(fā)展函數(shù)的影響系數(shù)。

3.2 徐變恢復(fù)模型的對比與選取

不同學(xué)者提出了一系列的徐變恢復(fù)模型，包括文獻［13］中提到的CFB?FIP1978模型（MC78模型）、改進CEB?FIP78 模型（IMC78 模型）、修正求和模型（RSM 模型），以及文獻［18］中的雙曲冪模型。MC78 模型及IMC78 模型認為徐變恢復(fù)系數(shù)終值為常數(shù)，但是考慮徐變恢復(fù)發(fā)展方式不同。MC78 模型采用雙曲函數(shù)描述徐變規(guī)律，IMC78模型采用指數(shù)形式。雙曲冪模型、RSM 模型則考慮加載齡期、應(yīng)力持時、強度對徐變恢復(fù)的影響，與試驗結(jié)果吻合較好，但是RSM 模型輸入?yún)?shù)較多，計算復(fù)雜。雙曲冪模型考慮因素較為全面，與試驗值吻合度較高，計算簡便。因此，本文選取雙曲冪模型作為徐變恢復(fù)計算模型。其公式為

式 中：φr∞為 徐 變恢 復(fù)系 數(shù)終 值，取0.35；K(t0，t1)，β(t0，t1)分別為加載齡期、荷載持時對徐變恢復(fù)系數(shù)終值、徐變發(fā)展函數(shù)的影響系數(shù)；βr(t，t0，t1)為徐變恢復(fù)發(fā)展函數(shù)；a=0.12，b=0.005 5，c=7，d=3，γ= 0.5。

4 實例應(yīng)用與對比分析

4.1 概況

為分析疊加法與修正疊加法的差異，本文設(shè)計混凝土強度等級為C50，所處的環(huán)境濕度為60%，溫度為20℃，構(gòu)件截面尺寸為120 mm×120 mm，構(gòu)件采用全截面受壓，E28= 35.5 GPa，混凝土彈性模量隨時間的變化參考CEB?FIP1978模型［16］，其公式為

設(shè)置3 組階梯變化和2 組連續(xù)變化應(yīng)力歷史。3組階梯變化應(yīng)力歷史分別為階梯遞增、階梯遞減與階梯波動應(yīng)力歷史，其初始加載時刻均為100 d，其后每100 d變化1次應(yīng)力，累計變化6次，最終徐變計算時刻為700 d。2 組連續(xù)變化應(yīng)力歷史的初始加載時刻為100 d，徐變計算終止時刻為700 d。連續(xù)波動變化應(yīng)力歷史函數(shù)為

式 中：a= -1∕240 000 000，b= 67 ∕10 000 000，c=-2 219 ∕600 000，d= 803∕1000，f= -228∕5。

連續(xù)遞減應(yīng)力歷史函數(shù)為

階梯變化應(yīng)力和連續(xù)變化應(yīng)力歷史見圖4。

圖4 應(yīng)力歷史

4.2 徐變計算與對比分析

本文采用MATLAB計算階梯變化應(yīng)力歷史下2種方法的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變（彈性應(yīng)變+徐變應(yīng)變），見圖5。

圖5 階梯變化應(yīng)力下的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變

由圖5（a）可知，疊加法和修正疊加法在遞增應(yīng)力歷史下計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變一致。由圖5（b）和圖5（c）可知，彈性應(yīng)變和受力狀態(tài)變化一致；在應(yīng)力初始加載及遞增應(yīng)力作用下，2 種方法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變一致。在應(yīng)力首次卸載后，修正疊加法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變比疊加法要大。原因是修正疊加法考慮的徐變恢復(fù)系數(shù)比疊加法小，疊加法低估了混凝土徐變效應(yīng)。應(yīng)力減小量越大、持續(xù)時間越長，2種方法的徐變應(yīng)變差異越大。對于階梯遞減、階梯波動應(yīng)力歷史，700 d疊加法計算的徐變應(yīng)變比修正疊加法分別小44%，33%，總應(yīng)變分別小39%，24%。

連續(xù)變化應(yīng)力歷史下2 種方法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變見圖6。

由圖6（a）可知：①100 ～200 d 時，由于應(yīng)力是連續(xù)增加的，疊加法和修正疊加法計算的徐變應(yīng)變和總應(yīng)變一致；②200 ～400 d 時，2 種方法的徐變應(yīng)變和總應(yīng)變差異逐漸增大；③400 ～600 d 時，應(yīng)力遞增不會引起2 種方法徐變應(yīng)變差異，同時由于前期應(yīng)力遞減引起的徐變恢復(fù)基本完成，因此2 種方法的徐變應(yīng)變曲線基本平行。對于連續(xù)波動應(yīng)力歷史，700 d疊加法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變比修正疊加法分別小42%，

38%。

由圖6（b）可知：①在初始齡期加載后，總應(yīng)變短暫上升，后面一直呈遞減趨勢；②2種方法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變在應(yīng)力加載后便有差異，且隨著時間的增加差異進一步增大；③疊加法計算的徐變應(yīng)變先增加，再逐漸減小后趨于穩(wěn)定；修正疊加法計算的徐變應(yīng)變先增加后趨于穩(wěn)定。對于連續(xù)遞減應(yīng)力歷史，在700 d 徐變計算時刻，疊加法計算的徐變應(yīng)變、總應(yīng)變比修正疊加法分別小47%，39%。

綜上所述，修正疊加法在計算復(fù)雜應(yīng)力的徐變時與疊加法存在一定的差異。在應(yīng)力減小的情況下，修正疊加法準確考慮了混凝土徐變恢復(fù)，其計算值更接近實際值。

5 結(jié)論

1）對于遞增應(yīng)力歷史，疊加法與修正疊加法計算的徐變是一致的。對于遞減應(yīng)力歷史，2 種方法計算徐變應(yīng)變的差異隨時間逐漸增大，700 d徐變相對誤差最大為47%。

2）不同的應(yīng)力歷史2種方法徐變計算值的差異不同。遞減應(yīng)力歷史差異最大，波動應(yīng)力歷史次之，遞增應(yīng)力歷史無差異。

3）修正疊加法考慮了真實混凝土徐變恢復(fù)，適用于不同徐變模型、不同應(yīng)力歷史，為實際工程提供了一種精確的徐變計算方法。