寧利中 張珂 寧碧波 劉爽 田偉利

1) (西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院， 西安 710048)

2) (嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院， 嘉興 314001)

3) (上海大學(xué)建筑系， 上海 200444)

(2019 年12 月21日收到; 2020 年3 月25日收到修改稿)

利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)Pr = 6.99的流體的對流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 結(jié)果表明， 對于相對瑞利數(shù)r = 9， 在通過流動(dòng)雷諾數(shù)Re = 1.5時(shí)， 隨著腔體傾斜角θ的增加， 系統(tǒng)出現(xiàn)均勻行波對流、非均勻行波對流以及單對流圈斑圖; 在通過流動(dòng)雷諾數(shù)Re = 12.5時(shí)， 隨著腔體傾斜角θ的增加， 系統(tǒng)出現(xiàn)局部行波對流、平行流及局部單對流圈斑圖; 進(jìn)一步， 對通過流動(dòng)雷諾數(shù)Re和腔體傾斜角θ的不同組合情況的數(shù)值模擬， 發(fā)現(xiàn)在通過流動(dòng)雷諾數(shù)Re和腔體傾斜角θ構(gòu)成的平面上，具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中的對流可以分成前述六種斑圖區(qū)域， 即均勻行波對流區(qū)、非均勻行波對流區(qū)、單對流圈區(qū)、局部行波對流區(qū)、平行流區(qū)及局部單對流圈區(qū). 研究了不同對流區(qū)域?qū)α髯畲蟠怪绷魉賥max和努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化特性. 探討了不同對流區(qū)域?qū)α髡穹鵄和努塞爾數(shù)Nu隨著腔體傾斜角θ變化的動(dòng)力學(xué)特性.

1 引 言

自從20世紀(jì)初Henri Bénard首先對底部加熱流體層對流進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， Lord Rayleigh首先進(jìn)行小擾動(dòng)理論分析以來， Rayleigh-Bénard對流問題一直受到許多研究者的廣泛關(guān)注[1，2]. 文獻(xiàn)[1， 2]就Rayleigh-Bénard對流問題的研究進(jìn)展進(jìn)行過綜述. 關(guān)于Rayleigh-Bénard對流問題的研究方法分為實(shí)驗(yàn)研究、理論分析以及數(shù)值模擬. 最初， 人們通過實(shí)驗(yàn)及理論分析的方法進(jìn)行研究. 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展， 數(shù)值模擬分析研究獲得了很大進(jìn)展. 基于對流振幅方程組的模擬具有計(jì)算時(shí)間少又能定性揭示對流特性的特點(diǎn)[3，4]. 由于Rayleigh-Bénard對流現(xiàn)象可以精確地由流體力學(xué)的連續(xù)方程、動(dòng)量方程及能量方程來描述， 因此， 基于流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬引起了廣泛的研究興趣[5-16]. 已經(jīng)揭示了行波[5-7]、局部行波[8-12]、振動(dòng)對流[9]、行波中的缺陷結(jié)構(gòu)[6，7，12，13]、擺動(dòng)行波[14，15]及對傳波[16]等對流結(jié)構(gòu)或者現(xiàn)象， 取得了豐富的成果. 在對經(jīng)典Rayleigh-Bénard對流問題研究的基礎(chǔ)上， 對水平腔體的一側(cè)施加水平流動(dòng)[17-19]， 研究水平流動(dòng)對Rayleigh-Bénard對流問題的影響. 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了對流發(fā)生的附近的線性特性[17]， 局部行波的周期性[18]，對流斑圖的分區(qū)特性及斑圖成長特性[19]等一些新的對流結(jié)構(gòu). 如果對于經(jīng)典Rayleigh-Bénard對流問題， 考慮腔體傾斜時(shí)[20-25]， 研究獲得了一些新的對流特性， 如缺陷湍流， 對流層的雙穩(wěn)定性與競爭，不同普朗特?cái)?shù)情況下的對流斑圖、分區(qū)及臨界條件等. 本文進(jìn)一步在考慮腔體傾斜的同時(shí)， 也考慮通過流動(dòng)對Rayleigh-Bénard對流問題的影響， 試圖獲得一些新的對流結(jié)構(gòu)或者對流現(xiàn)象.

本文利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)Pr=6.99的流體的對流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 對不同通過流動(dòng)雷諾數(shù)和腔體傾斜角的組合情況的數(shù)值模擬， 發(fā)現(xiàn)在通過流動(dòng)雷諾數(shù)和腔體傾斜角構(gòu)成的平面上， 具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中的對流可以分成六種斑圖區(qū)域， 即均勻行波對流區(qū)、非均勻行波對流區(qū)、單對流圈區(qū)、局部行波對流區(qū)、平行流區(qū)及局部單對流圈區(qū). 這是本文模型不同于以前模型的最大特點(diǎn). 不同對流區(qū)域?qū)α髯畲蟠怪绷魉俸团麪枖?shù)隨著時(shí)間的變化具有不同特性. 不同對流區(qū)域?qū)α髡穹鵄和努塞爾數(shù)隨著腔體傾斜角的變化也具有不同動(dòng)力學(xué)規(guī)律.

2 數(shù)學(xué)物理模型

圖 1 傾斜腔體的流動(dòng)示意圖Fig. 1. Flow diagram in inclined cavity.

在數(shù)值計(jì)算中， 利用有限容積法離散了控制力學(xué)方程組， Simple算法用于求解速度-壓力耦合方程. 擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分格式， 對流項(xiàng)采用迎風(fēng)格式， 時(shí)間項(xiàng)采用一階隱式格式離散. 采用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng). 數(shù)值模擬的可靠性和正確性可以由文獻(xiàn)[26]的實(shí)例證明. 由于文獻(xiàn)[27]對與的網(wǎng)格進(jìn)行了計(jì)算， 發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果幾乎相同， 誤差很小. 所以采用的網(wǎng)格進(jìn)行模擬， 時(shí)間步長采用s.

討論中采用量綱歸一化參數(shù)描述腔體體形， 坐標(biāo)為X=x/d，Y=y/d， 長高比為Γ=Lx/d. 對流系統(tǒng)可以由瑞利數(shù)(為了方便， 使用相對瑞利數(shù)r=Ra/Rac， 其中Rac=1708 )， 普朗特?cái)?shù)Pr=， 表征進(jìn)口流動(dòng)的雷諾數(shù)及傾斜腔體的傾角來控制.

本 文 采 用T0=293.15 K ，Pr=6.99 的 流 體 .長高比Γ=20 .

3 對流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性

3.1 不同的對流斑圖結(jié)構(gòu)

對于具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中Pr=6.99 的對流， 當(dāng)給定相對瑞利數(shù)r=9 時(shí)， 不同的通過流動(dòng)雷諾數(shù)和不同的傾斜角度組合時(shí)， 系統(tǒng)出現(xiàn)六種不同的對流斑圖.

3.1.1 均勻行波對流

當(dāng)Re=1.5 并且時(shí)， 出現(xiàn)均勻行波對流結(jié)構(gòu)， 如圖2所示. 圖2(a)為腔體中的溫度場，可以看出， 溫度場上升羽流和下降羽流間隔出現(xiàn)，羽流以垂直線為對稱; 在腔體長度方向上均勻分布. 圖2(b)為腔體中的流線分布， 在向上彎曲的通過流線的下部或者向下彎曲的通過流線的上部出現(xiàn)封閉的流線圈， 流線圈均勻分布. 溫度場下降羽流的位置和兩個(gè)流線圈之間的下降流位置相對應(yīng);溫度場上升羽流的位置和兩個(gè)流線圈之間的上升流位置相對應(yīng). 腔體中共有23個(gè)流線圈， 它的波數(shù)為k=23π/20=3.61 . 圖2(c)為腔體中011范圍內(nèi)的速度矢量場. 在向上彎曲的通過流線的下部的矢量場即下壁面附近的矢量場是順時(shí)針方向; 在向下彎曲的通過流線的上部的矢量場即上壁面附近的矢量場是逆時(shí)針方向. 這一對具有不同旋轉(zhuǎn)方向的對流圈沿腔體長度方向上交替出現(xiàn). 在對流圈的左側(cè)如果是箭頭向下的下降流， 在對流圈的右側(cè)必然是箭頭向上的上升流. 沿腔體長度方向上， 可以清楚地看出， 上升流和下降流交替地出現(xiàn).在上升流和下降流處垂直速度較大， 對流圈的上下部水平速度較大. 對流圈的中心部位速度較小. 由圖2可以看出， 溫度場、流線及速度矢量場都是均勻分布并整體上向一個(gè)方向流動(dòng)， 類似于Rayleigh-Bénard-Poiseuille 流動(dòng)中出現(xiàn)的行波， 因此稱其為均勻行波.

圖 3 和 時(shí)的非均勻行波對流 (a) 溫度; (b)流線; (c)速度矢量Fig. 3. Non-uniform traveling wave convection atand : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

圖 2 且 時(shí)的均勻行波對流 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 2. Uniform traveling wave convection at and: (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.2 非均勻行波對流

3.1.3 單對流圈斑圖

圖 4 和 時(shí) 的 單 對 流 圈 (a) 溫 度 ;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 4. Single roll convection at and :(a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.4 局部行波對流斑圖

圖 5 R e=12.5 和 時(shí)的局部行波對流 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 5. Localized traveling wave convection atRe=12.5 and : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.5 平行流斑圖

保持雷諾數(shù)為Re=12.5 ， 增加傾斜角到θ=10°時(shí)， 系統(tǒng)出現(xiàn)平行流斑圖， 如圖 6所示. 可以看出， 0 ≤X≤20 范圍內(nèi)的溫度等值線和流線與10≤X≤15范圍內(nèi)的速度矢量圖都是一些平行于上下壁面的直線， 故稱其為平行流.

圖 6 和 時(shí)的平行流動(dòng) (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 6. Parallel flows at and : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.6 局部單對流圈斑圖

圖 7 R e=12.5 和 θ =45° 時(shí)的局部單對流圈 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 7. Localized single roll convection at and: (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.7 對流垂直最大流速隨著時(shí)間的變化特性

圖 8 不同對流結(jié)構(gòu)的最大垂直流速的時(shí)間演化 (a) Re =1.5; (b) Re = 12.5Fig. 8. Time evolution of maximum vertical velocity in different convection structures: (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

3.1.8 努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化特性

圖 9 不同對流結(jié)構(gòu)的努塞爾數(shù)的時(shí)間演化 (a) Re =1.5; (b) Re = 12.5Fig. 9. Time evolution of Nusselt number in different convection structures: (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

圖9(b)是相對瑞利數(shù)r=9 ， 雷諾數(shù)Re=12.5及傾斜角分別為θ=1°， 1 0°， 4 5°時(shí)對應(yīng)的局部行波對流、平行流及局部單對流圈斑圖的努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化. 三種情況下， 努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間增加而減小， 在t=10 s左右達(dá)到穩(wěn)定. 與小雷諾數(shù)情況下相反， 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而減小.

3.2 對流斑圖的分區(qū)

對前述的六種對流斑圖進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬后， 發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=9 時(shí)在傾斜角與雷諾數(shù)平面上可以劃分為6個(gè)不同的區(qū)域， 如圖10所示. 對于較小的雷諾數(shù)， 當(dāng)傾斜角較小時(shí)， 由于傾斜角對對流的影響微乎其微， 在腔體長度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力都很小， 可以忽略， 系統(tǒng)出現(xiàn)的是類似水平腔體情況下的均勻行波對流;隨著傾斜角的增加， 在腔體長度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力都已經(jīng)發(fā)揮作用， 隨著兩個(gè)方向浮力作用的競爭， 系統(tǒng)中的均勻行波對流轉(zhuǎn)變成非均勻行波對流; 隨著傾斜角的進(jìn)一步增加， 在腔體長度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力明顯加強(qiáng)， 起到控制作用， 系統(tǒng)過渡到單對流圈斑圖.對于雷諾數(shù)Re=10 附近的情況， 當(dāng)傾斜角較小時(shí)， 由于傾斜角對對流的影響微不足道， 在腔體長度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力很小， 其影響可以忽略， 系統(tǒng)出現(xiàn)的是類似水平腔體情況下的局部行波對流; 隨著傾斜角的增加， 在腔體長度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力變得明顯，與雷諾數(shù)的綜合作用結(jié)果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成局部單對流圈斑圖. 對于雷諾數(shù)的情況， 雷諾數(shù)的影響明顯， 起了控制作用， 對于傾斜角θ約小于的情況， 系統(tǒng)出現(xiàn)的都是平行流斑圖. 在傾斜角θ約大于時(shí)， 形成平行流動(dòng)的臨界雷諾數(shù)幾乎線性變大.

圖 10 不同對流斑圖在傾斜角度 -雷諾數(shù) 平面上的分區(qū)Fig. 10. Partition of different convective patterns in the plane - .

3.3 對流斑圖的動(dòng)力學(xué)特性

3.3.1 對流振幅的特性

圖 11 不同對流結(jié)構(gòu)時(shí)A隨著 的變化 (a) Re = 1.5;(b) Re = 12.5Fig. 11. Variation of A in different convection structures with : (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

圖 12 不同對流結(jié)構(gòu)時(shí) 隨著 的變化 (a) Re = 1.5;(b) Re = 12.5Fig. 12. Variation of in different convection structures with : (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

3.3.2 努塞爾數(shù)的特性

4 結(jié) 論

利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)的流體的對流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 可以得出以下結(jié)論.

3)最大振幅A隨著傾斜角的增加而增加， 不同對流斑圖區(qū)變化規(guī)律不同. 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的變化特性說明， 均勻行波對流與非均勻行波對流時(shí)努塞爾數(shù)隨著傾斜角的變化幾乎不發(fā)生變化. 單對流圈斑圖， 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而增加. 局部行波對流、平行流及局部單對流圈斑圖的努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而減小.