隋微波，權(quán)子涵，侯亞南，程浩然

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京102249；3.深圳清華大學(xué)研究院，廣東深圳 518057；4.清能艾科（深圳）能源技術(shù)有限公司，廣東深圳 518057）

0 引言

巖石微觀結(jié)構(gòu)與其宏觀物理性質(zhì)密切相關(guān)。宏觀性質(zhì)或行為實(shí)質(zhì)上是微觀結(jié)構(gòu)的集中體現(xiàn)，或者說(shuō)微觀結(jié)構(gòu)控制宏觀性質(zhì)。Torquato[1]在研究非均質(zhì)材料物理性質(zhì)時(shí)表明，材料的宏觀性質(zhì)如彈性、滲透率等都會(huì)受到微觀結(jié)構(gòu)變化的影響。在細(xì)觀力學(xué)研究領(lǐng)域，計(jì)算巖石彈性力學(xué)參數(shù)的理論方法一般有解析法和數(shù)值法兩類。數(shù)值方法需要在利用場(chǎng)發(fā)射掃描電鏡或CT設(shè)備觀測(cè)巖石樣品獲得微觀結(jié)構(gòu)后，采用有限元等數(shù)值方法對(duì)巖石微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格剖分，并模擬加載過程、計(jì)算應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，再反推出彈性力學(xué)參數(shù)。比較具有代表性的工作是 Arns等[2]采用有限元方法計(jì)算Fountainebleau砂巖數(shù)字巖心的彈性參數(shù)，結(jié)果表明彈性參數(shù)的變化規(guī)律符合Gassmann理論。數(shù)值方法可以比較真實(shí)地重現(xiàn)巖石的微觀孔隙結(jié)構(gòu)，但是真正擬合孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)網(wǎng)格剖分難度很大，而且整體計(jì)算所需的時(shí)間成本非常高。解析方法一般基于Eshelby等效介質(zhì)理論，將巖石中的孔隙抽象為球形、橢球形、圓柱形、扁裂縫與硬空心球殼等，采用解析方法計(jì)算巖石彈性力學(xué)有效性質(zhì)。例如 Zimmerman[3]假設(shè)巖石中的孔隙為橢球形，根據(jù)不同的縱橫比具體可以劃分為球形孔、針狀孔和幣狀孔，根據(jù)線彈性胡克定律以及 Eshelby等效介質(zhì)理論等，推導(dǎo)出微觀尺度的巖石變形理論。解析方法與數(shù)值方法相比可節(jié)約大量計(jì)算成本，但是由于一般不對(duì)巖心的具體微觀孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行刻畫，大多用于理論方面的定性研究。

數(shù)字巖心技術(shù)是近年興起的研究?jī)?chǔ)集層微觀孔隙結(jié)構(gòu)、滲流特征參數(shù)和滲流機(jī)理的新手段[4-8]，因其對(duì)巖心樣品尺寸要求低，實(shí)驗(yàn)及模擬計(jì)算可重復(fù)性強(qiáng)，成為非常規(guī)油氣微納米尺度條件下儲(chǔ)集層性質(zhì)和滲流機(jī)理研究的新途徑[9-10]。雖然近年來(lái)數(shù)字巖心技術(shù)已形成了較為成熟的研究方法與理論體系，但是與真實(shí)的儲(chǔ)集層情況和宏觀油藏研究手段相比[11]，數(shù)字巖心技術(shù)在模擬微觀滲流時(shí)一般沒有考慮真實(shí)條件下儲(chǔ)集層應(yīng)力對(duì)微觀孔隙結(jié)構(gòu)和滲流情況的影響，忽略了應(yīng)力敏感問題，這使得數(shù)字巖心技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中還存在一定缺陷。本文研究數(shù)字巖心基本彈性參數(shù)（孔隙體積壓縮系數(shù)）與微觀孔隙結(jié)構(gòu)的關(guān)系，為數(shù)字巖心的微觀變形研究提供理論支持。在油藏工程中，孔隙體積壓縮系數(shù)不僅是物質(zhì)平衡方法計(jì)算中的重要輸入?yún)?shù)[12]，同時(shí)也是滲流力學(xué)與試井分析中壓力擴(kuò)散方程的重要參數(shù)[13]。

本文采用Bentheimer砂巖等10種數(shù)字巖心，以數(shù)字巖心真實(shí)微觀孔隙結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，根據(jù)數(shù)字巖心微觀孔隙結(jié)構(gòu)分析孔隙形狀參數(shù)分布特征，建立抽象孔隙模型，并采用解析方法結(jié)合等效介質(zhì)理論，考慮微觀結(jié)構(gòu)變形的本構(gòu)關(guān)系，求取數(shù)字巖心有效彈性模量和孔隙體積壓縮系數(shù)，分析孔隙結(jié)構(gòu)對(duì)孔隙體積壓縮系數(shù)的影響。

1 巖石抽象孔隙模型的理論基礎(chǔ)

1.1 單孔彈性變形

將孔隙抽象為橢球體最初是由 Sadowsky等[14-15]提出的，橢球體可以代表大部分孔隙形狀，例如球體、針狀圓柱體、薄片裂縫等。對(duì)于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度為A，短半軸長(zhǎng)度為B的橢圓（見圖1a），當(dāng)橢圓沿長(zhǎng)軸為中心進(jìn)行空間旋轉(zhuǎn)時(shí)得到長(zhǎng)橢球體（Prolate Ellipsoid），也稱為“針狀孔”（見圖 1b）；當(dāng)橢圓以短軸為中心進(jìn)行空間旋轉(zhuǎn)時(shí)得到扁橢球體（Oblate Ellipsoid），也稱為“幣狀孔”（見圖1c）。

圖1 長(zhǎng)橢球、扁橢球縱橫比定義示意圖

橢球體縱橫比（ρ）定義為不等長(zhǎng)半軸與等長(zhǎng)半軸之比，所以長(zhǎng)橢球形的縱橫比大于1（ρ＞1），扁橢球形的縱橫比小于1（ρ＜1）。因此，通過求解球坐標(biāo)系中的彈性問題，就能夠獲得其孔隙壓縮性參數(shù)[3]。

對(duì)于考慮微觀結(jié)構(gòu)的多孔介質(zhì)，Zimmerman認(rèn)為對(duì)于微觀尺度的孔隙來(lái)說(shuō)，在多孔介質(zhì)上所施加的外部應(yīng)力相當(dāng)于在無(wú)窮遠(yuǎn)處，因此可以只考慮正向應(yīng)力，則孔隙體積應(yīng)變可以表示為[3]：

若先不考慮孔隙空間中含有流體的情況，即孔隙壓力不變，則上式變?yōu)?/p>

孔隙體積壓縮系數(shù)是指應(yīng)力發(fā)生變化后，孔隙體積的變化量與應(yīng)力變化之前孔隙體積的比值，孔隙體積壓縮系數(shù)Cpp可用來(lái)表征儲(chǔ)集層巖石孔隙的變形尺度。下面首先分析單孔變形條件下孔隙體積壓縮系數(shù)的解，分別考慮長(zhǎng)、扁橢球孔變形和球形孔變形兩種情況，然后將其引申為多孔變形的情況。

1.1.1 長(zhǎng)、扁橢球孔變形

對(duì)于無(wú)限大、各向同性彈性介質(zhì)中獨(dú)立長(zhǎng)橢球孔的受壓變形問題，根據(jù)Zimmerman的單孔變形理論[3]，可以長(zhǎng)橢球孔中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，z軸為長(zhǎng)半軸，再將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)橢球坐標(biāo)（見圖2）：

其中l(wèi)為長(zhǎng)橢球長(zhǎng)軸（z軸）上的焦距半長(zhǎng)，下文推導(dǎo)中取l為單位長(zhǎng)度。α取值范圍為0到∞，β為0到π，γ為0到2π。當(dāng)α為常數(shù)時(shí)，方程表示長(zhǎng)橢球球體表面；β為常數(shù)時(shí)，方程表示雙曲面；γ為常數(shù)時(shí)，方程表示過z軸的平面。球孔的表面相當(dāng)于α=α0，兩條等長(zhǎng)的短軸為sinhα0，長(zhǎng)軸為coshα0，縱橫比ρ=cothα0。

圖2 長(zhǎng)橢球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖

為了方便表示，引入以下變量：

則該正交系下弧長(zhǎng)表示為：

度量系數(shù)hi（i=α,β,γ）有以下關(guān)系：

由于所施加的壓力是垂直于孔洞表面的單位壓力，且孔洞無(wú)窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力為零，則邊界條件為：

上述邊界條件下的線彈性力學(xué)問題可以采用Sadowsky等[14]提出的 Bossinesq三函數(shù)法求解，從而獲得位移（U）的解。通過進(jìn)一步對(duì)位移正分量在整個(gè)孔洞表面的積分來(lái)計(jì)算孔隙體積的變化量，進(jìn)而獲得孔隙壓縮系數(shù)。

假設(shè)孔隙所受應(yīng)力變化為Δσ，則孔隙壓縮系數(shù)表示為：

將（8）、（10）式代入（9）式，可以求得長(zhǎng)橢球坐標(biāo)系下的孔隙壓縮系數(shù)為：

長(zhǎng)橢球坐標(biāo)系通過變換即可獲得扁橢球坐標(biāo)系，因此扁橢球的孔隙壓縮系數(shù)可以直接由（11）式轉(zhuǎn)換得到：

長(zhǎng)橢球孔、扁橢球孔的體積應(yīng)變可分別表示為：

1.1.2 球形孔變形

球形孔的體積應(yīng)變?yōu)椋?/p>

由（18）式可求得球形孔的孔隙體積壓縮系數(shù)為：

1.2 多孔彈性變形

前面討論了單個(gè)不同形狀孔隙的壓縮系數(shù)，表征為單個(gè)孔隙在單位壓差下的體積變化量。整個(gè)孔隙體系的孔隙體積變化量則為每個(gè)獨(dú)立孔隙體積變化量之和。但在真實(shí)巖石中，每個(gè)孔隙的應(yīng)力場(chǎng)會(huì)因周圍其他孔隙的存在而受到影響，周圍孔隙的存在會(huì)使每個(gè)單獨(dú)孔隙的孔隙壓縮系數(shù)增加。

在真實(shí)多孔介質(zhì)材料（如巖石）的彈性變形分析中，考慮到巖石的宏觀力學(xué)性質(zhì)（或傳輸性質(zhì)）與其微觀結(jié)構(gòu)有著密切關(guān)系，常采用Eshelby[17]提出的等效介質(zhì)理論，通過微觀結(jié)構(gòu)計(jì)算得到宏觀材料的有效性質(zhì)。本文將巖石等效為無(wú)限大基質(zhì)中帶有夾雜的混合物，即將孔隙看作其中的夾雜，骨架顆?？醋骰|(zhì)，則多孔介質(zhì)巖石的有效彈性性質(zhì)與骨架-孔隙的彈性模量、體積分?jǐn)?shù)、微觀幾何形狀、空間分布有關(guān)。求解多孔彈性變形條件下的孔隙體積壓縮系數(shù)前，需要首先求解多孔條件下的巖石有效模量。

1.2.1 有效模量求解

多孔彈性變形條件下的有效模量可采用自洽法求取，該方法最早由Hill[18]和Budiansky[19]提出，是最常用的等效介質(zhì)法。自洽法將復(fù)合材料中的夾雜（孔隙）視為球形，然后嵌入到未知有效模量的介質(zhì)中進(jìn)行有效性質(zhì)的計(jì)算。Wu[20]將夾雜視為橢球形并提出了不同于球形夾雜的自洽模型。

本文考慮將任意形狀和性質(zhì)的夾雜（孔隙）都放入一個(gè)無(wú)限大的基質(zhì)中，這個(gè)含有夾雜的基質(zhì)其性質(zhì)等于整個(gè)非均質(zhì)材料的未知有效性質(zhì)。假設(shè)夾雜和基質(zhì)兩相均為各向同性，同時(shí)考慮球形夾雜為任意分布，則有效體積模量和有效剪切模量計(jì)算公式為[21]：

該式為隱式方程，計(jì)算過程需要使用數(shù)值迭代法。對(duì)于非球形夾雜的情況，采用Wu[20]提出的自洽模型，將夾雜視為橢球形處理，則兩相混合物模量的計(jì)算公式為：

1.2.2 孔隙體積壓縮系數(shù)求解

考慮到真實(shí)儲(chǔ)集層巖石均含有多種孔隙形狀，可以根據(jù)不同縱橫比分布的孔隙體積占比計(jì)算最終的孔隙體積壓縮系數(shù)。設(shè)巖心樣品孔隙縱橫比分布區(qū)間為［ρ1,ρN］，其中縱橫比為ρk的孔隙體積為Vk，孔隙體積占比為xk，則有：

混合孔隙壓縮系數(shù)為：

2 數(shù)字巖心抽象孔隙模型建立

本文中選取的數(shù)字巖心樣品涵蓋了高、中、低滲透砂巖與碳酸鹽巖，具體包括 Bentheimer砂巖、Doddington砂巖、Berea砂巖、Fountainebleau砂巖、Wilcox致密砂巖、Estaillades碳酸鹽巖、大慶砂巖、塔里木砂巖、南海東部砂巖和新疆砂巖等 10種數(shù)字巖心樣品。其中前 6種數(shù)字巖心樣品來(lái)源于公開的數(shù)字巖心標(biāo)準(zhǔn)比對(duì)巖樣數(shù)據(jù)體[22]，其他 4種分別是井下巖心（大慶和塔里木）和井下鉆屑（南海東部和新疆）制樣后CT掃描獲得的數(shù)字巖心數(shù)據(jù)體。下面介紹利用Berea砂巖數(shù)字巖心建立抽象孔隙模型的方法，其他巖心的抽象孔隙模型建立方法與之相同。

本次研究中使用的 Berea砂巖數(shù)字巖心來(lái)源于英國(guó)帝國(guó)理工大學(xué)PERM研究課題組公布的網(wǎng)上數(shù)據(jù)[23]。該數(shù)據(jù)是將 Berea砂巖樣品通過 CT掃描實(shí)驗(yàn)獲得的1 024張1 024像素×1 024像素的二維灰度圖像（分辨率為2.77 μm），使用三維成像軟件將二維切片疊加得到巖樣的三維灰度圖像，同時(shí)采用分水嶺算法進(jìn)行閾值分割提取孔喉結(jié)構(gòu)，獲得二值化巖心圖像。

基于數(shù)字巖心孔隙結(jié)構(gòu)特征分析，應(yīng)用 Avizo圖像處理軟件對(duì)孔隙整體區(qū)域進(jìn)行分離，并對(duì)單個(gè)孔隙進(jìn)行標(biāo)注（見圖 3，圖中顏色用于區(qū)分孔隙個(gè)體）。應(yīng)用慣性矩原理對(duì)所有標(biāo)注孔隙進(jìn)行參數(shù)分析，計(jì)算每個(gè)孔隙對(duì)應(yīng)的具有相同標(biāo)準(zhǔn)的二階中心矩橢圓的主軸長(zhǎng)度、重心位置和歐拉角，通過Matlab編程將真實(shí)孔隙轉(zhuǎn)換為具有相同特征參數(shù)的橢球體，則真實(shí)孔隙空間可轉(zhuǎn)換為抽象孔隙模型（見圖4，圖中顏色用于區(qū)分孔隙個(gè)體）。

圖3 Berea砂巖數(shù)字巖心抽象孔隙分離示意圖

圖4 Berea砂巖數(shù)字巖心孔隙抽象示意圖

通過計(jì)算得到 Berea砂巖數(shù)字巖心樣品抽象孔隙體積占比與橢球體縱橫比之間的關(guān)系（見圖 5），從該圖中可以看出 Berea砂巖中各類孔隙縱橫比分布范圍為0.2～4.9。根據(jù)（27）式計(jì)算，可以由圖中每個(gè)縱橫比區(qū)間的孔隙體積占比計(jì)算最終的Berea砂巖孔隙體積壓縮系數(shù)。其他9種數(shù)字巖心的孔隙體積壓縮系數(shù)計(jì)算中也均需輸入孔隙縱橫比和孔隙體積占比的分布關(guān)系。

圖5 Berea砂巖抽象孔隙體積占比與縱橫比之間的關(guān)系

本文提出的數(shù)字巖心抽象孔隙模型方法適用于絕大部分砂巖和除鮞粒灰?guī)r之外的大部分碳酸鹽巖。主要原因是該方法的前提是假設(shè)巖心中的絕大部分孔隙為空間凸體，并在此基礎(chǔ)上對(duì)橢球體進(jìn)行抽象形成孔隙模型；而從Ketton灰?guī)r的電鏡掃描圖片（見圖6a）和 CT掃描獲取的三維孔隙結(jié)構(gòu)（見圖 6b）可明顯看出，鮞?；?guī)r由于其成巖顆粒為圓形或橢圓形，顆粒間孔隙空間則呈明顯凹體，因此該方法不適用。

圖6 Ketton灰?guī)r電鏡掃描與CT成像獲取的孔隙結(jié)構(gòu)

3 孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙結(jié)構(gòu)

基于前文的巖石抽象孔隙模型理論基礎(chǔ)和建立的數(shù)字巖心抽象孔隙模型，分別從單一類型孔隙和混合類型孔隙兩方面研究孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

3.1 單一類型孔隙

假設(shè)巖心中只存在單一類型孔隙，考慮到巖石中發(fā)育多孔且孔隙縱橫比不同，此處假設(shè)長(zhǎng)橢球孔、扁橢球孔的縱橫比符合高斯分布，且?guī)r石骨架顆粒（石英）體積模量為37 GPa，剪切模量為44 GPa，巖石孔隙度為20%。在此基礎(chǔ)上研究孔隙縱橫比對(duì)孔隙壓縮系數(shù)的影響。

首先考慮巖心中發(fā)育長(zhǎng)橢球孔的情況，假設(shè)孔隙縱橫比均值為 6.00～20.00，方差為 0.50～3.00，巖石孔隙度為 20%，則可得孔隙壓縮系數(shù)Cpp,pro與縱橫比均值、縱橫比方差的關(guān)系（見圖 7）?？梢钥闯觯孩匍L(zhǎng)橢球形孔的縱橫比符合高斯分布時(shí)，孔隙壓縮系數(shù)隨縱橫比均值的增大而增大，且縱橫比小于10.00時(shí)增大速度較快；②方差越小孔隙壓縮系數(shù)越大，說(shuō)明在相同縱橫比均值條件下，長(zhǎng)橢球縱橫比分布越集中孔隙壓縮系數(shù)越大，在相同應(yīng)力下的變形量也就會(huì)越大。

圖7 長(zhǎng)橢球形孔孔隙壓縮系數(shù)與縱橫比均值、方差的關(guān)系

同理，假設(shè)扁橢球的縱橫比分布符合高斯分布，均值為0.10～0.80，方差為0.04～0.20，巖石孔隙度為20%，則可得孔隙壓縮系數(shù)Cpp,ob與縱橫比均值、縱橫比方差的關(guān)系（見圖8）?？梢钥闯觯孩俦鈾E球形孔的縱橫比按高斯分布時(shí)，孔隙壓縮系數(shù)隨縱橫比均值的增大而減小，且方差越小減小速度越快；②與長(zhǎng)橢球孔的結(jié)果相同，扁橢球孔的縱橫比方差越小孔隙壓縮系數(shù)越大，即扁橢球形孔縱橫比分布越集中，孔隙壓縮系數(shù)越大，在相同應(yīng)力下的變形量就會(huì)越大；③當(dāng)縱橫比均值大于0.30時(shí)，孔隙壓縮系數(shù)基本不隨方差的變化而變化。

圖8 扁橢球形孔孔隙壓縮系數(shù)與縱橫比均值、方差的關(guān)系

3.2 混合類型孔隙

真實(shí)巖心中極少存在單一類型孔隙，多以混合類型孔隙出現(xiàn)，其孔隙壓縮系數(shù)可由（27）式計(jì)算。這里主要討論不同類型孔隙體積占比、孔隙度對(duì)整體孔隙壓縮系數(shù)的影響。

3.2.1 孔隙體積占比的影響

假設(shè)巖石孔隙度為 20%，長(zhǎng)橢球形孔的縱橫比為2.00，扁橢球形孔的縱橫比為0.10，計(jì)算得混合孔隙壓縮系數(shù)與不同類型孔隙（長(zhǎng)橢球形、扁橢球形、球形）體積占比的關(guān)系（見圖 9）。可以看出：①3種孔隙混合時(shí)，混合孔隙壓縮系數(shù)與扁橢球孔隙體積占比呈正相關(guān)，與球形孔或長(zhǎng)橢球形孔的孔隙體積占比呈負(fù)相關(guān)；②只有球形、長(zhǎng)橢球形 2種孔隙混合時(shí)，孔隙壓縮系數(shù)隨球形孔的增多而增大。上述結(jié)論表明，在一定的縱橫比前提下，長(zhǎng)橢球形孔越多巖石越不容易變形，扁橢球形孔和球形孔越多巖石越容易發(fā)生變形，且扁橢球形孔的影響比球形孔更明顯。

圖9 不同混合模式下孔隙壓縮系數(shù)與孔隙體積占比的關(guān)系

3.2.2 孔隙度的影響

假設(shè)長(zhǎng)橢球形孔的縱橫比為 2.00，扁橢球形孔的縱橫比為 0.50，按 4種模式進(jìn)行混合：①長(zhǎng)橢球孔與扁橢球孔的混合比為1∶1；②扁橢球孔與球形孔的混合比為1∶1；③長(zhǎng)橢球孔與球形孔的混合比為1∶1；④長(zhǎng)橢球孔、扁橢球孔、球形孔的混合比為1∶1∶1。根據(jù)（27）式可以獲得孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關(guān)系（見圖10）?？梢钥闯?，孔隙壓縮系數(shù)隨孔隙度的增加而增大，但不同的混合模式下壓縮系數(shù)及其增長(zhǎng)速度有較大差異：①混有扁橢球孔的 3種模式，相同孔隙度條件下，孔隙壓縮系數(shù)遠(yuǎn)大于長(zhǎng)橢球孔與球形孔的混合模式，且孔隙度越大相差幅度越明顯，說(shuō)明具有扁橢球孔的巖石更易發(fā)生變形，混合孔隙壓縮系數(shù)更大；②長(zhǎng)橢球孔、扁橢球孔、球形孔同時(shí)存在時(shí)孔隙壓縮系數(shù)小于長(zhǎng)橢球與扁橢球孔混合、球形孔與扁橢球孔混合的情況，說(shuō)明 3種孔隙同時(shí)存在會(huì)增加巖石的抗壓能力；③扁橢球孔與球形孔混合，其孔隙壓縮系數(shù)比扁橢球孔、長(zhǎng)橢球孔混合的孔隙壓縮系數(shù)略大，說(shuō)明球形孔比長(zhǎng)橢球孔更容易發(fā)生變形。

圖10 不同混合模式下孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關(guān)系

3.3 真實(shí)數(shù)字巖心孔隙

圖11 9種真實(shí)數(shù)字巖心樣品孔隙分布圖

表1 10種數(shù)字巖心抽象孔隙模型中不同類型孔隙縱橫比與體積占比情況

除Berea砂巖外的 9種真實(shí)數(shù)字巖心樣品孔隙分布如圖 11所示（圖中顏色用于區(qū)分孔隙個(gè)體）。在前述理論方法的基礎(chǔ)上，對(duì)這10種真實(shí)數(shù)字巖心建立了抽象孔隙模型并計(jì)算了不同類型孔隙體積占比和縱橫比分布范圍（見表1）。可以看出，10種典型數(shù)字巖心中長(zhǎng)橢球孔、扁橢球孔縱橫比分布范圍分別為 1.11～12.75和0.11～0.90。由于巖心最終的孔隙體積壓縮系數(shù)由不同類型孔隙的體積占比計(jì)算，因此不同類型孔隙的體積占比與數(shù)量占比相比更具有比較意義。根據(jù)前文理論分析結(jié)果，對(duì)于巖心孔隙壓縮系數(shù)影響較大的幾個(gè)因素包括各類孔隙體積占比、縱橫比分布范圍、均值和方差。

根據(jù)前述理論模型、表 1中孔隙結(jié)構(gòu)特征參數(shù)計(jì)算10種數(shù)字巖心樣品的孔隙體積壓縮系數(shù)（見圖12），由圖中可看出，孔隙體積壓縮系數(shù)總的變化趨勢(shì)是隨孔隙度增高而增大。其中孔隙度較大的3個(gè)樣品中（表中序號(hào)第1—3）Bentheimer和Doddington砂巖樣品孔隙特征參數(shù)整體很接近，孔隙體積壓縮系數(shù)受宏觀孔隙度差異影響有所不同，Doddington砂巖孔隙度稍大因此孔隙體積壓縮系數(shù)較大；Estaillades樣品與Doddington樣品孔隙度相同，但是 Estaillades樣品具有更多的球形孔和長(zhǎng)橢球孔，因此壓縮系數(shù)相對(duì)較小。孔隙度中等的5個(gè)樣品（表中序號(hào)第4、7—10）中，Berea砂巖樣品比其他4個(gè)具有更多的球形孔，長(zhǎng)橢球孔隙縱橫比均值較小且分布范圍非常小，扁橢球孔隙縱橫比均值較大，因此壓縮系數(shù)相對(duì)較低?？紫抖茸畹偷?2個(gè)樣品雖然孔隙壓縮系數(shù)相差不大，但是其變化規(guī)律與其他樣品略有不同，Wicox砂巖中長(zhǎng)橢球孔體積占比高于Fountainbleau砂巖，扁橢球孔體積占比低于Fountainbleau砂巖，如果只從不同孔隙占比的角度分析，F(xiàn)ountainbleau砂巖應(yīng)該具有更大的孔隙壓縮系數(shù)，但是這與模型的計(jì)算結(jié)果不同。通過對(duì)數(shù)據(jù)的深入分析發(fā)現(xiàn)，這一結(jié)果與兩種特低孔隙度樣品中扁橢球孔縱橫比的最小值有關(guān)，Wicox砂巖雖然扁橢球孔含量相對(duì)較低，但是樣品中縱橫比在 0.1～0.2的扁橢球孔更多，F(xiàn)ountainbleau砂巖中扁橢球孔縱橫比最小值是0.22，這一區(qū)別最終造成了與Fountainbleau砂巖相比稍高的孔隙壓縮系數(shù)。這一影響因素在以后的研究中將進(jìn)行更加系統(tǒng)的分析。

圖12 10種真實(shí)數(shù)字巖心孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關(guān)系

4 結(jié)論

數(shù)字巖心的孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙度、孔隙縱橫比以及不同類型孔隙體積占比有關(guān)：①長(zhǎng)橢球孔孔隙壓縮系數(shù)與孔隙縱橫比正相關(guān)，扁橢球孔孔隙壓縮系數(shù)與孔隙縱橫比負(fù)相關(guān)。②孔隙縱橫比滿足高斯分布且縱橫比均值相同，長(zhǎng)橢球孔與扁橢球孔縱橫比分布越集中孔隙壓縮系數(shù)越大，相同應(yīng)力條件下變形量越大。③孔隙壓縮系數(shù)隨孔隙度增大而增大。④當(dāng)巖心中發(fā)育多種孔隙類型時(shí)，孔隙壓縮系數(shù)與不同類型孔隙體積占比相關(guān)，孔隙度一定時(shí)，扁橢球孔、球形孔越多巖石越容易發(fā)生變形，孔隙壓縮系數(shù)越大；長(zhǎng)橢球孔越多巖石越不容易變形，孔隙壓縮系數(shù)越小。

采用孔隙體積壓縮系數(shù)解析計(jì)算方法計(jì)算10種典型數(shù)字巖心樣品孔隙體積壓縮系數(shù)，所得結(jié)果與理論模型所述規(guī)律相符，該方法可用于數(shù)字巖心樣品的孔隙體積壓縮系數(shù)計(jì)算。

符號(hào)注釋：

A——橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，m；Ai——求解位移積分時(shí)的常數(shù)項(xiàng)，無(wú)因次；B——橢圓短半軸長(zhǎng)度，m；Cpp——單孔孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——混合孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；Cpp,ob——扁橢球孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；Cpp,pro——長(zhǎng)橢球孔隙體積壓縮系數(shù), Pa?1；Cpp,s——球形孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——縱橫比為kρ的孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——含扁橢球孔隙的多孔介質(zhì)孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——含長(zhǎng)橢球孔隙的多孔介質(zhì)孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；G——剪切模量，Pa；G0——骨架相剪切模量，Pa；G1——孔隙相剪切模量，Pa；——有效剪切模量，Pa；h，hα，hβ，hγ——度量系數(shù)，m?1；i，j——橢球坐標(biāo)系坐標(biāo)軸編號(hào)；K0——骨架相體積模量，Pa；K1——孔隙相體積模量，Pa；K*SC——有效體積模量，Pa；l——長(zhǎng)橢球長(zhǎng)軸（z軸）上的焦距半長(zhǎng)，m；N——孔隙縱橫比分布的區(qū)間數(shù)目；p——壓力，Pa；P，——橢球坐標(biāo)系中間變量，m；Q，——橢球坐標(biāo)系中間變量，m；Q0——橢球坐標(biāo)系長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，m；——橢球坐標(biāo)系短半軸長(zhǎng)度，m；r——球形孔半徑，m；Rpro，Rob——中間變量，無(wú)因次；s——橢球坐標(biāo)系弧長(zhǎng)，m；SG——計(jì)算有效剪切模量的孔隙幾何因子，無(wú)因次；SK——計(jì)算有效體積模量的孔隙幾何因子，無(wú)因次；U——位移，m；Vk——縱橫比為kρ的孔隙體積，m3；Vp——孔隙體積，m3；xk——縱橫比為kρ的孔隙體積占比，無(wú)因次；x，y，z——直角坐標(biāo)系坐標(biāo)，m；α，β，γ——橢球坐標(biāo)系坐標(biāo)，（°）；0α——橢球坐標(biāo)系中橢球孔表面處的α坐標(biāo)值，（°）；Bα——Biot系數(shù)，無(wú)因次；δm,n——克羅內(nèi)克函數(shù)，m=n時(shí)為1，m≠n時(shí)為0，無(wú)因次；εp——孔隙體積應(yīng)變，無(wú)因次；εp,pro，εp,ob，εp,s——長(zhǎng)橢球、扁橢球、球形孔孔隙體積應(yīng)變，無(wú)因次；ξ——孔隙表面積，m2；ρ——縱橫比，無(wú)因次；1ρ——縱橫比最小值，無(wú)因次；kρ——縱橫比分布區(qū)間內(nèi)特定值，無(wú)因次；Nρ——縱橫比最大值，無(wú)因次；ρob——扁橢球孔縱橫比，無(wú)因次；ρpro——長(zhǎng)橢球孔縱橫比，無(wú)因次；σ——正向應(yīng)力，Pa；Δσ——應(yīng)力變化，Pa；υ——泊松比，無(wú)因次；φ——孔隙度，%。