施 越 曾 憲 忠

（湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

1 引言

生物數(shù)學(xué)模型的研究最早可以追溯到20 世紀(jì)20 年代由Lotka 和Volterra 建立的經(jīng)典的捕食模型.Lotka和Volterra建立的模型只考慮物種數(shù)量（或密度）隨時(shí)間的變化，沒(méi)有考慮捕食者和食餌對(duì)空間變量的依賴，因而，建立的模型是常微分方程組動(dòng)力系統(tǒng).實(shí)際情況下物種的分布是依賴于空間的，它們有一種自擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，即物種由種群密度高的地方向種群密度低的運(yùn)動(dòng).此外該模型也沒(méi)有考慮捕食者消化食餌的時(shí)間，食餌和捕食者相互制約的問(wèn)題.如考慮上述問(wèn)題，則可以建立比率依賴的食餌捕食者模型.對(duì)于瀕危物種而言，由于其自然增長(zhǎng)率較低，如果捕食者對(duì)它的捕食量較大，那將會(huì)造成瀕危物種滅絕，因此，有必要建立一個(gè)保護(hù)區(qū)來(lái)保護(hù)瀕危物種.

本文研究下列捕食模型［1-3］相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的正穩(wěn)解的局部存在性

對(duì)于生物保護(hù)區(qū)，盡管已有部分研究，但是由于各類問(wèn)題的復(fù)雜性和對(duì)象的多樣性，因而仍有許多問(wèn)題需要解決，例如有些物種的增長(zhǎng)不是Logistic型［2］，捕食者容量與食餌密切相關(guān)的.上述問(wèn)題不僅有明確的實(shí)際意義和廣闊的應(yīng)用前景，而且具有一定的研究難度，因此對(duì)這類問(wèn)題研究是非常有必要的.

顯然，（1.1）有一個(gè)奇異的平凡解（0，0）和一個(gè)半平凡解（λ，0）.本文使用比較原理和極值原理得到解的基本估計(jì)，再利用局部分支定理得到（1.1）解的局部存在性.

2 預(yù)備知識(shí)

由文獻(xiàn)［2-6］可知有引理

相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題為

3 （1.1）解的估計(jì)

該部分首先利用極值原理［6］對(duì)（1.1）正解及參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后利用Crandall-Rabinowitz局部分支定理［7-9］對(duì)問(wèn)題（1.1）的局部正解進(jìn)行討論.

4 （1.1）解的局部存在性