古宇翔，楊勝發(fā)，黃 岱，胡 江

(1.重慶交通大學(xué)河海學(xué)院，重慶 400074；2.國(guó)家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心，重慶 400074；3.北海道大學(xué)大學(xué)院工學(xué)研究院，日本 北海道 060-8628)

非恒定流是指水流的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間過(guò)程而變化的流體運(yùn)動(dòng)。在現(xiàn)實(shí)情況中，河道水庫(kù)潰壩、洪水演進(jìn)、船閘充排水、水電站泄洪日調(diào)節(jié)等[1-7]均為典型的非恒定流問(wèn)題。而大多數(shù)明渠非恒定流以多波長(zhǎng)的形式進(jìn)行傳遞。

多波長(zhǎng)明渠非恒定流傳播的一維數(shù)值模擬是以圣維南方程組為基礎(chǔ)，通過(guò)有限差分法對(duì)方程組離散化處理。從20世紀(jì)90年代開(kāi)始，學(xué)者們主要采用顯式差分法和Preissmann隱式差分法對(duì)明渠非恒定流進(jìn)行數(shù)值模擬。吳至維等[8]用顯式擴(kuò)散差分格式對(duì)模擬情況進(jìn)行求解，并討論了權(quán)因子的取值。蔣艷等[9]用Preissmann四點(diǎn)偏心隱格式對(duì)長(zhǎng)江江蘇段內(nèi)水流進(jìn)行了計(jì)算。Freitag[10]討論了Preissmann四點(diǎn)偏心隱格式在計(jì)算跨臨界流中會(huì)不穩(wěn)定的情況，以改進(jìn)后的Thomas追趕法解Preissmann四點(diǎn)偏心隱格式。上述研究均取得了較好的成果，但傳統(tǒng)差分方法計(jì)算仍然存在一定的局限性。因此本文提出了一種新型的隱式迭代法，對(duì)多波長(zhǎng)明渠非恒定流進(jìn)行數(shù)值模擬及水槽試驗(yàn)驗(yàn)證，并以長(zhǎng)距離水槽模擬的方式對(duì)多波長(zhǎng)明渠非恒定流的傳播特性進(jìn)行深入研究。

1 一維非恒定流數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 傳統(tǒng)差分方法的比較

有限差分法分為顯式差分法和隱式差分法。顯式差分法計(jì)算方便，但對(duì)于明渠計(jì)算區(qū)域過(guò)長(zhǎng)的情況，其計(jì)算的穩(wěn)定性不高，計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大誤差。隱式差分法選定合適的權(quán)因子后，可達(dá)到無(wú)條件穩(wěn)定，但隱式差分法適用于水流變化較為緩慢的工況，且需要同時(shí)具備上下游邊界條件，否則無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。針對(duì)傳統(tǒng)有限差分方法的計(jì)算缺點(diǎn)，本文提出了一種優(yōu)化的隱式迭代計(jì)算方法。

1.2 隱式迭代法的計(jì)算步驟

將圣維南方程組轉(zhuǎn)化為以下形式：

(1)

(2)

其中 ?x為斷面間距;?t為時(shí)間步長(zhǎng);Q為流量;A為橫斷面面積;h為水深;g為重力加速度;z為水位;K為流量模數(shù)。

當(dāng)R=0時(shí)，滿足圣維南方程組的求解。采用Preissmann隱格式的四點(diǎn)網(wǎng)格布置，取權(quán)系數(shù)θ=1，可得到:

(3)

(4)

2 一維非恒定流數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證

在水槽一維非恒定流數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證中，參照胡江[11]的研究成果，對(duì)相應(yīng)工況進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)在 28 m×0.56 m×0.7 m的玻璃水槽中進(jìn)行，糙率取0.015。水槽配備水泵、變頻器與流量計(jì)組成的水循環(huán)系統(tǒng)，并沿程布置了8個(gè)超聲水位計(jì)探頭，實(shí)時(shí)測(cè)量沿程水位(水槽構(gòu)造見(jiàn)圖1所示)。

圖1 28 m玻璃水槽構(gòu)造示意

試驗(yàn)將對(duì)水槽典型斷面的水位、流量和波形特征進(jìn)行驗(yàn)證。取水流波形相對(duì)穩(wěn)定，距離水槽進(jìn)口19.05 m處的6#超聲水位計(jì)所在斷面為典型驗(yàn)證斷面。

2.1 水位、流量驗(yàn)證

采用進(jìn)口流量變化為15～40 L的工況，變化周期分別為10 s、20 s、50 s和100 s，波形為正弦波，以波谷出現(xiàn)時(shí)為0 s起點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的計(jì)算模型時(shí)間步長(zhǎng)Δt分別為0.2 s，0.4 s，1 s和2 s，斷面間距Δx分別為0.06 m，0.12 m，0.3 m和0.6 m。典型斷面的水位、流量計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證見(jiàn)圖2。

由圖2(a)可知，典型斷面波峰水位的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的誤差很小，最大誤差在周期為100 s處的波谷處，為0.002 78 m，誤差百分比為4%。由圖2(b)可知，試驗(yàn)與計(jì)算波峰流量誤差值最大為0.769 L/s，最大誤差百分比為2.3%；試驗(yàn)與計(jì)算波谷流量誤差值最大為0.8 L/s，最大誤差百分比為4.6%。計(jì)算結(jié)果基本滿足誤差要求。

(a)水位驗(yàn)證

(b)流量驗(yàn)證

2.2 波形特征驗(yàn)證

采用進(jìn)口流量變化為15～40 L的工況，變化周期為10 s。計(jì)算模型時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.2 s，斷面間距Δx為0.06 m。典型斷面的波形特征驗(yàn)證結(jié)果見(jiàn)圖3。

由圖3可知，試驗(yàn)水位波峰出現(xiàn)時(shí)間為3.4 s，計(jì)算水位波峰出現(xiàn)時(shí)間為3.5 s，誤差為2.9%。波形吻合良好，計(jì)算結(jié)果基本滿足誤差要求。

圖3 典型斷面波形特征驗(yàn)證

3 多波長(zhǎng)非恒定流的水槽模擬

在第2節(jié)中，通過(guò)水槽試驗(yàn)對(duì)隱式迭代法的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，效果良好。為了更好地研究多波長(zhǎng)明渠非恒定流的傳播特性，本節(jié)模擬了矩形水槽中的非恒定流的傳播，并從非恒定流的傳播速度和衰減特性兩方面來(lái)討論非恒定流的傳播特征。

3.1 模擬工況的設(shè)定

計(jì)算模型的輸入條件為初始斷面(水槽進(jìn)口斷面)的流量—水位過(guò)程。在初始斷面，當(dāng)水位h和過(guò)水?dāng)嗝鎸挾菳滿足h

Q=1/n·Bh5/3J1/2

(5)

其中Q為流量，n為糙率，J為比降。由初始斷面流量過(guò)程，可得到初始斷面水位過(guò)程。計(jì)算開(kāi)始之前，默認(rèn)各斷面初始時(shí)刻的流量和水位相同，即為恒定流。

在模擬水槽中，水槽寬度B=1 m，糙率n=0.035。計(jì)算模型的時(shí)間間隔Δt始終滿足Δt=T/50(即為1個(gè)變化周期的1/50)，且與斷面間距Δx滿足數(shù)值關(guān)系Δx=0.3Δt。模擬水槽長(zhǎng)度為2 000Δx，程序運(yùn)行周期為13T。比降與進(jìn)口流量變化的數(shù)值將作為非恒定流傳播特性的影響因素。

3.2 不同條件下明渠非恒定流的傳播速度

本研究中模擬了不同比降和不同流量下明渠非恒定流的傳播速度，計(jì)算工況如下：

不同比降：流量過(guò)程為15～40 L/s，周期為50 s，比降J為0.5‰，1‰，2‰和3‰。共統(tǒng)計(jì)8個(gè)周期。

不同流量：考慮到在模擬條件中，水深h和過(guò)水?dāng)嗝鎸挾菳滿足h

對(duì)速度沿波長(zhǎng)數(shù)k的衰減進(jìn)行擬合。由圖4可知，非恒定流的傳播速度趨勢(shì)是和流速是一致的。比降越大，流速越大，則非恒定流的傳播速度越快。同理，流量越大，流速越大，非恒定流的傳播速度也會(huì)加快。

在波峰均值較大的第一個(gè)周期，傳播速度更快，隨著波峰沿程降低，傳播速度逐漸變慢平穩(wěn)，并趨近于一個(gè)定值。波速可視為由變幅波速和基礎(chǔ)波速組成。變幅波速受到本身的變幅影響，隨著非恒定流衰減而減小；基礎(chǔ)波速則取決于整體流動(dòng)，整體流速越快，基礎(chǔ)波速越大，其在非恒定流的傳播中起主導(dǎo)作用。

(a)不同比降

(b)不同流量過(guò)程

3.3 不同條件下明渠非恒定流的流量變幅衰減特性

非恒定流的流量變幅是指在一個(gè)計(jì)算周期內(nèi)最大流量與最小流量的差值。為了研究非恒定流流量的衰減特性，需要保持初始條件的流量變幅相同，即ΔQ相同。

采取了以下工況：

工況1：流量過(guò)程為15～40 L/s，周期為50 s，比降為0.5‰，1‰，2‰和3‰。

工況2：流量過(guò)程為5～30 L/s，15～40 L/s和25～50 L/s，周期為50 s，比降為1‰。

由圖5可以得到結(jié)論：比降越大，沿程流量變幅衰減越慢；比降越小，沿程流量變幅衰減越快。同理，平均流量越大，沿程流量變幅衰減越慢；平均流量越小，沿程流量變幅衰減越快。根據(jù)圖5還能推測(cè)得出：比降較小或者平均流量較小的情況下，流量沿程衰減較快是因?yàn)槠浞呛愣鞯膫鞑ニ俣容^慢，相應(yīng)的波長(zhǎng)較短，導(dǎo)致非恒定流傳播過(guò)相同距離時(shí)，傳播速度較慢的非恒定流需要更多的周期數(shù)。同時(shí)，由于在固定周期內(nèi)流量變幅基本相同，所以在相同距離內(nèi)，傳播速度較慢的非恒定流會(huì)較傳播速度較快的非恒定流衰減較多的次數(shù)，所以會(huì)造成非恒定流沿程衰減較快。

(a)不同比降

(b)不同流量過(guò)程

由圖6(a)可知，相同波長(zhǎng)內(nèi)的變幅差值百分比最大不超過(guò)1%，差異一般在0.5%之內(nèi)。圖6(b)中，對(duì)于主要體現(xiàn)非恒定流波動(dòng)性質(zhì)的前端(第一波長(zhǎng)到第四波長(zhǎng))，誤差百分比最大值為3.3%?？梢缘贸鼋Y(jié)論：非恒定流隨周期衰減的特性和比降以及平均流量關(guān)系不大。

(a)不同比降

(b)不同流量過(guò)程

此外本文對(duì)圖6中的計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行了擬合，得到了水深變幅的指數(shù)型擬合曲線：

ΔQn=ΔQ0·e-0.45k

(6)

綜上所述，在初始斷面流量變幅相同的情況下，流速越快則流量變幅沿程衰減越慢，但在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，流量變幅的衰減是幾乎相同的。

3.4 不同條件下明渠非恒定流的水深變幅衰減特性

在3.3節(jié)的工況下，由于比降和平均流量的差異，會(huì)導(dǎo)致水深整體抬高或降低，這樣并不利于水深變幅的比較，故統(tǒng)計(jì)了各斷面相對(duì)初始斷面的水深變幅衰減百分比，即Δhj/Δh1×100%。采用與3.3節(jié)相似的方法統(tǒng)計(jì)水深變幅的衰減特性。

由圖7～8可以得出，水深變幅與流量變幅有著較好的一致性，即：比降越大，沿程水深變幅衰減越小，比降越小的情況下水深變幅會(huì)越快趨近于平穩(wěn)；平均流量越大，沿程水深變幅衰減越小，平均流量越小的情況下水深變幅會(huì)越快趨近于平穩(wěn)。

(a)不同比降

(b)不同流量過(guò)程

(a)不同比降

(b)不同流量過(guò)程

同樣，以非恒定流傳播周期為參照單位時(shí)，各種工況下水深變幅基本相等。在不同比降下，相同波長(zhǎng)內(nèi)的水深變幅百分比差異一般在1%之內(nèi)，最大差異出現(xiàn)在尾部第九周期，為1.2%。在不同平均流量下，對(duì)于主要體現(xiàn)非恒定流波動(dòng)性質(zhì)的前端(第一波長(zhǎng)到第四波長(zhǎng))，誤差百分比最大值為6.1%。擬合曲線為：

Δhn=Δh0·e-0.45k

(7)

其中hn為第k個(gè)波長(zhǎng)處的水深變幅的衰減百分比；h0=1。

綜上所述，在初始斷面流量變幅相同的情況下，水深變幅的衰減和流量變幅的衰減具有一致性，流速越快則水深變幅沿程衰減越慢，在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，水深變幅的衰減幾乎相同。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)有限差分法的局限性，提出了適用于多波長(zhǎng)明渠非恒定流數(shù)值模擬的新型隱式迭代法。通過(guò)水槽試驗(yàn)驗(yàn)證：新型的隱式迭代法計(jì)算結(jié)果精度高，與實(shí)測(cè)結(jié)果相比誤差小，能夠很好地適應(yīng)多波長(zhǎng)明渠非恒定流的數(shù)值模擬。

通過(guò)對(duì)多波長(zhǎng)明渠非恒定流過(guò)程的水槽模擬以及對(duì)不同比降和平均流量的工況對(duì)比，得出了多波長(zhǎng)明渠非恒定流有以下傳播特性：

1)明渠非恒定流的傳播速度和流量、水深變幅，會(huì)隨著傳播而沿程衰減，且衰減幅度會(huì)逐漸減小，最終趨于穩(wěn)定。

2)對(duì)于進(jìn)口流量變幅相同的工況，流量和水深變幅的衰減百分比在相同波長(zhǎng)內(nèi)幾乎完全一樣。

3)非恒定流的傳播速度主要取決于流速大小，流速越大傳播越快，流速越小傳播越慢，且其傳播速度會(huì)在第一個(gè)波長(zhǎng)到第二個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)迅速衰減。

4)不同比降和不同平均流量對(duì)非恒定流沿程衰減的主要影響是通過(guò)影響其傳播速度從而改變其沿程衰減的情況。在高比降、大平均流量的情況下，非恒定流沿程傳播速度較快，通過(guò)相同的距離時(shí)所需的周期數(shù)較少，導(dǎo)致衰減較慢；在低比降、小平均流量的情況下，非恒定流沿程傳播速度較慢，通過(guò)相同的距離時(shí)所需的周期數(shù)較多，導(dǎo)致衰減較快。