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我們上期已經(jīng)知道了勾股數(shù)——符合勾股定理（a2+b2=c2）的一組數(shù)字，將它圖形化表達如圖1所示。

以勾股定理圖為基礎(chǔ)，以兩個較小的正方形（a和b）為基礎(chǔ)，繼續(xù)按勾股定理生長，又能畫出下一代的勾股定理圖，如此循環(huán)畫下去，最終得到一棵完全由勾股定理圖組成的樹狀圖形，稱之為“勾股樹”，再恰當不過（如圖2）。

由于圖中的一個部分和它的整體或者其他部分都十分相似，因而被稱為分形圖，分形圖內(nèi)任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現(xiàn)和縮影。這就是分形圖的自相似的特性。所以我們以前繪制過的謝爾賓斯基三角形也是一種分形圖（如圖3）。

用Scratch畫勾股樹

我們用Scratch來畫勾股樹。

1. 定義自制積木“勾股樹（邊長）”（圖4）。

2. 以正方形的左下角為起點開始畫出一個大正方形c，并多畫一條邊，循環(huán)次數(shù)從普通方形的4次變?yōu)?次，在方形的左上角終止，作為下一個正方形b的起點。

3. 左轉(zhuǎn)120°，并用勾股樹積木畫出正方形b，此處使用了遞歸——循環(huán)中引用了自身。根據(jù)勾股定理計算，b的邊長以大正方形邊長c作為三角形的斜邊（b=c×cos30°）（如圖5）。

4. 移動到正方形b的右下角，右轉(zhuǎn)90°。以此為起點用勾股樹積木繪制正方形a，根據(jù)勾股定理計算，a的邊長以大正方形邊長c作為三角形的斜邊，（a=c×cos60°）（如圖6）。

5. 移動到正方形b的左上角，以正方形b為大正方形開始繪制出下一代3個正方形。

6. 由于用到了遞歸，為了程序的正常運行，必須給循環(huán)一個出口。以最小正方形的邊長作為判斷條件，當邊長小于5時跳出循環(huán)。用“如果…那么”積木和“停止這個腳本”組合完成條件判斷和終止循環(huán)。

7. 自定義積木程序（如圖7）。

8. 引用自定義積木，設(shè)定開始位置和第一個正方形邊長（如圖8）。

9. 程序運行結(jié)果如圖9，點擊“編輯—打開加速模式”，可以快速畫完圖形（如圖9）。

10. 圖9繪制的圖形是30度60度角的直角三角形。想要繪制等腰直角三角形的勾股樹只要改變小正方形邊長為（b=c×cos45°），旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)?35°和45°（如圖10）。你也可以通過改變勾股定理圖中直角三角形兩個銳角大小構(gòu)建不同形狀的勾股樹（詳細代碼可掃碼下載）。

用Python畫勾股樹

Scratch的畫筆沒有填色功能，所以看起來比較簡陋，使用Python的turtle小海龜庫繪制圖形可以填色，繪制出來的勾股樹更好看（如圖2）。但是繪制速度遠不及使用加速模式的Scratch。

1. 本例用到了turtle的繪圖和填色功能;math的cos函數(shù)和 radians函數(shù)（角度轉(zhuǎn)弧度）;用random產(chǎn)生隨機數(shù)，用于方塊的隨機顏色。

2. 具體算法原理與Scratch方法一致。

3. 定義繪制勾股樹的函數(shù)“draw（a）：”。

4. 定義出口條件“if a > 5：”。

5. 設(shè)置隨機的rgb顏色。

6. 繪圖使用填充狀態(tài)“begin_fill（）”。

7. 和剛才繪制正方形一樣需要循環(huán)5次“for i in range（5）：”。

8. 由于Python的math庫的cos（X）函數(shù)是以弧度制求X的余弦。我們在Scratch中的（a×cos30°）需要用radians將30度轉(zhuǎn)化為30弧度代入計算才能獲得正確結(jié)果。

所以繪制方形語句為“draw（a * cos（radians（30）））”。

9. 小烏龜?shù)木唧w繪制路徑和Scratch相同。

10. mode（‘logo），表示初始方向是向上（北）。將logo改為standard則是向右（東）。

11. speed（0），設(shè)定移動速度，0-10。0已經(jīng)是最快了，但是還是挺慢的。

12. done（），寫在程序最后一行，避免畫完圖形就自動關(guān)閉（如圖11）。