徐娟

一類帶有階段結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

徐娟

（揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇 揚(yáng)州 225000）

構(gòu)造一類具有階段結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，討論了該模型無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性，分析了2類平衡點(diǎn)的局部和全局的穩(wěn)定性態(tài)．利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論研究的結(jié)論．建議對(duì)晚期患者采取隔離以減小閾值，控制疾病的流行和發(fā)展．

傳染??；動(dòng)力學(xué)模型；穩(wěn)定性

在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，用動(dòng)力學(xué)的方法研究傳染病模型是當(dāng)今學(xué)術(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題[1-2]．傳染病的發(fā)病機(jī)制較為復(fù)雜，疾病的特征和傳播途徑亦有所不同，為了更好地描述疾病的流行規(guī)律，研究者常常把具有常數(shù)輸入率[3-5]、垂直傳染率[6]、指數(shù)出生和死亡[7-8]、一般的種群增長(zhǎng)方程[9]、媒體影響[10-14]和接種疫苗[15-17]等因素引入模型，使得模型更加符合疾病流行的特點(diǎn)，這類文獻(xiàn)大都有了較明確的結(jié)論．另外，一些傳染病的發(fā)生和傳播具有階段性特征，如白喉和梅毒等疾病只在成年群體中發(fā)生[18-20]，手足口病和水痘等病毒只在幼年群體間傳播[21-22]，而乙型肝炎這類疾病在不同時(shí)期會(huì)表現(xiàn)出不同程度的傳染性[23-24]．文獻(xiàn)[25]假設(shè)易感者感染病毒后以一定比例成為輕癥患者和重癥患者，未經(jīng)有效治療的部分輕癥患者會(huì)發(fā)展成為重癥患者，治愈后的患者將再次成為易感者，且該傳染病不會(huì)致命，建立了模型

1 模型的建立

具體的模型為

同時(shí)系統(tǒng)（2）有極限系統(tǒng)

2　模型的定性分析

2.1　基本再生數(shù)

2.2　平衡點(diǎn)的存在性

2.3　平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

2.4　平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

2.5　施加控制

3 數(shù)值模擬

圖1 時(shí)的數(shù)值模擬

圖2 時(shí)的數(shù)值模擬

4　結(jié)語(yǔ)

[1] 木村資生．群體遺傳學(xué)的數(shù)學(xué)理論[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1962

[2] 孫蘭蓀，孟新柱，焦建軍．生物動(dòng)力學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2009

[3] 楊亞莉，李健全．一類病毒自身發(fā)生變異的傳染病模型的全局分析[J]．生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（2）：101-106

[4] 王娟，楊金根，李文生．具有治療的急慢性傳染病模型的穩(wěn)定性與分支[J]．信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，21（4）：491-493

[5] 楊亞莉，李健全，張吉廣．一類帶有接種的傳染病模型的全局分析[J]．西北大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，39（5）：729-731

[6] 鄒琴，高淑京．一類具有垂直傳染的SIS傳染病模型的全局分析[J]．贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（3）：14-16

[8] 申素慧，原三領(lǐng)．一類總?cè)藬?shù)變化的SEIR和SEIS組合的傳染病模型[J]．上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31（3）：223-228

[9] 李益群，任謹(jǐn)慎，李健全．一類帶有一般出生率的SIS傳染病模型的全局分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（23）：176-181

[10] 郭樹(shù)敏，李學(xué)志．考慮心理因素和飽和治療的H7N9禽流感動(dòng)力學(xué)模型分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（6）：170-175

[11] 張培鈺，劉茂省．隨機(jī)噪音和媒體報(bào)道影響的傳染病模型分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（6）：186-194

[12] 常玉婷，劉茂?。畮в忻襟w影響上限的傳染病模型研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2016，46（11）：218-224

[13] 邢偉，高晉芳．一類受媒體報(bào)道影響的SEIS傳染病模型的定性分析[J]．西北大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，48（5）：639-643

[14] 劉俊利，劉璐菊．具有媒體報(bào)道的傳染病模型穩(wěn)定性[J]．河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（2）：88-91

[15] 李一鳴，劉紅．一類具有兩次接種的時(shí)滯SVIR傳染病模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2020，50（2）：307-312

[16] 劉娜，方潔．一類帶有脈沖疫苗接種的分?jǐn)?shù)階SIS傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2019，49（3）：254-259

[17] 王來(lái)全，魏成花．一類對(duì)易感人群實(shí)施脈沖接種的傳染病模型的穩(wěn)定性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（2）：125-131

[18] JIA J W，LI Q Y．Qualitative analysis of an SIR epidemic model with stage structure[J]．Applied Mathematics& Computation，2007，193（1）：106-115

[19] WU C F，WENG P X．Stability analysis of a SIS model with stage structured and distributed maturation delay[J]．Nonlinear Analysis：Theory Methods & Application，2009，71（12）：892-901

[20] TENG Z D，NIE L F，XU J B．Dynamical behaviors of a discrete SIS epidemic model with standard incidence and stage structure[J]．Advances in Difference Equations，2013（1）：1-23

[21] LIU L，LI X，ZHUANG K．Bifurcation analysis on a delayed SIS epidemic model with stage structure[J]．Electronic Journal of Differential Equations，2007（77）：249-266

[22] XIAO Y N， CHEN L S．An SIS epidemic model with stage structure and a delay[J]．Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2002，18（4）：607-618

[23] 原存德，胡寶安．具有階段結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，25（2）：192-203

[24] 辛京奇，王文娟．一類具有階段結(jié)構(gòu)和接種的SIR傳染病模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（12）：103-108

[25] 王偉，李健全，楊亞莉，等．一類帶有階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型的定性分析[J]．空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，9（1）：86-88

Stability analysis of a dynamic model with stage structure

XU Juan

（Department of Basic Science，Yangzhou Vocational and Technical College，Yangzhou 225000，China）

A dynamic model with stage structure is constructed，the existence of disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point of the model is discussed，the local and global stability state of the two kinds of equilibrium points is analyzed．The conclusion of theoretical study is verified by numerical simulation with Matlab software．It is suggested that the isolation measures should be adopted to reduce the threshold value for patients with advanced stage and control the epidemic and development of the disease．

infectious disease；dynamic model；stability

O175.13∶Q-332

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.003

1007-9831（2020）04-0011-05

2019-12-19

徐娟（1982-），女，江蘇揚(yáng)州人，講師，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究．E-mail：76027094@qq.com