□ 喻文廣

上海電氣集團(tuán)股份有限公司 中央研究院 上海 200070

1 研究背景

在鏈傳動(dòng)過(guò)程中,由于鏈輪和鏈條嚙合過(guò)程中存在多邊形效應(yīng),加之周期性沖擊載荷的作用,導(dǎo)致鏈傳動(dòng)發(fā)生橫向、縱向振動(dòng)[1-13]。其中,鏈條縱向振動(dòng)將對(duì)鏈條運(yùn)動(dòng)的同步性與均勻性有較大影響,且對(duì)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的影響要大于橫向振動(dòng)。對(duì)于裝有縱向?qū)к壍逆渹鲃?dòng),如自動(dòng)扶梯梯級(jí)鏈、步進(jìn)鏈而言,橫向振動(dòng)可以忽略。

對(duì)于鏈條縱向振動(dòng)問(wèn)題,早在20世紀(jì)90年代,國(guó)內(nèi)學(xué)者就開始了相關(guān)研究,主要采用能量法對(duì)鏈傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化,建立少量自由度的模型,推導(dǎo)出相應(yīng)縱向振動(dòng)方程,給出縱向振動(dòng)頻率的解析解[8-11]。近十年,很多學(xué)者建立了更復(fù)雜的縱向振動(dòng)模型,并應(yīng)用有限單元法將鏈條離散化為若干彼此相連的縱向桿單元或者彈簧單元組合體,采用數(shù)值解法分析縱向動(dòng)力學(xué)特性[12-13]。最近幾年,隨著多體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,開始出現(xiàn)少量基于多體動(dòng)力學(xué)理論建立鏈傳動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)模型的相關(guān)研究[14]。目前,在這些鏈傳動(dòng)縱向振動(dòng)的研究中,關(guān)于松邊鏈條對(duì)振動(dòng)的影響及鏈條縱向振動(dòng)模型邊界問(wèn)題的研究都較少,而這些都是影響動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果的重要因素。

筆者以長(zhǎng)節(jié)距滾子鏈為對(duì)象,建立縱向振動(dòng)力學(xué)模型,研究鏈條邊界問(wèn)題的處理,并考慮松邊鏈條質(zhì)量對(duì)振動(dòng)的影響,計(jì)算鏈條縱向振動(dòng)頻率。對(duì)鏈條縱向振動(dòng)開展試驗(yàn)對(duì)比分析,根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)鏈條振動(dòng)模型進(jìn)行參數(shù)修正,并基于修正模型分析工作段鏈條長(zhǎng)度對(duì)振動(dòng)頻率的影響。

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 滾子鏈一般形式

為了使研究的問(wèn)題更具有一般性,建模時(shí)忽略鏈條導(dǎo)軌形狀、鏈條形狀和數(shù)量,以及主從動(dòng)鏈輪齒數(shù)差異等因素,以鏈條運(yùn)動(dòng)為主要特征,將滾子鏈描述為一般結(jié)構(gòu)形式,如圖1所示。圖1中,m為鏈條鏈節(jié)的等效質(zhì)量,J1、J2為主從鏈輪的慣量,R1、R2為主從鏈輪的半徑。

由于鏈條全程都受導(dǎo)軌支撐和約束,因此鏈輪在多邊形效應(yīng)作用下的縱向振動(dòng)問(wèn)題是影響系統(tǒng)性能的主要因素。

▲圖1 滾子鏈一般結(jié)構(gòu)形式

2.2 縱向動(dòng)力學(xué)建模

鏈條是由相同鏈節(jié)以鉸鏈形式連接起來(lái)的一種柔性體,在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模及分析過(guò)程中,引入如下四條假設(shè):

(1) 鏈條緊邊始終繃緊在一條直線上,附有縱向?qū)к壖s束,忽略橫向振動(dòng);

(2) 由于緊邊與松邊張力差別很大,因此僅考慮松邊質(zhì)量的影響,忽略松邊剛度的影響;

(3) 將鏈條簡(jiǎn)化為張緊的彈簧振子系統(tǒng),鏈條及鏈節(jié)質(zhì)量縮聚在節(jié)點(diǎn)上;

(4) 鏈輪是理想的無(wú)偏心輪。

依據(jù)功能原理,將主從動(dòng)鏈輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1、J2的等效質(zhì)量分別記為m1、m2,等效到鏈條與主從動(dòng)鏈輪的切點(diǎn)上。由于松邊兩端分別連接在主從動(dòng)輪上,因此其質(zhì)量與主從動(dòng)輪一起參與鏈路的振動(dòng),影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。將松邊質(zhì)量分別等效到主從動(dòng)鏈輪上,隨同主從動(dòng)鏈輪質(zhì)量一起記為M1、M2,等效到鏈條與鏈輪的切點(diǎn)上。由于松邊鏈條由從動(dòng)輪嚙入,被主動(dòng)輪送出,因此將松邊質(zhì)量全部計(jì)入從動(dòng)輪邊。有如下關(guān)系式:

(1)

應(yīng)用有限元法將鏈條離散為若干個(gè)剛度為k的彈簧振子系統(tǒng)組合體,將鏈節(jié)和輸運(yùn)質(zhì)量等效附加在節(jié)點(diǎn)處。對(duì)于鏈條而言,鏈輪系統(tǒng)是鏈條兩端的邊界,因此將主從動(dòng)輪及張緊器分別沿縱向運(yùn)動(dòng)方向等效為兩個(gè)縱向彈簧,剛度分別記為K1,K2,作為鏈條兩端的彈性支撐邊界。

根據(jù)以上假設(shè)及等效,最終可建立鏈傳動(dòng)縱向動(dòng)力學(xué)模型,如圖2所示。

▲圖2 鏈傳動(dòng)縱向動(dòng)力學(xué)模型

2.3 多邊形效應(yīng)

多邊形效應(yīng)如圖3所示。由于多邊形效應(yīng)的作用,會(huì)使鏈條速度發(fā)生周期性波動(dòng),作用在鏈條上的力也會(huì)發(fā)生周期性變化。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,嚙合點(diǎn)沿縱向運(yùn)動(dòng)方向的速度v、加速度a及作用力F為:

v=Rωcosβ

(2)

=R(εcosβ-ω2sinβ)

(3)

F=ma

(4)

▲圖3 多邊形效應(yīng)

3 動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)緊邊鏈有n個(gè)鏈節(jié),鏈節(jié)距為l,鏈板截面積為A,鏈節(jié)質(zhì)量為m,鏈條剛度為k,取鏈節(jié)點(diǎn)各自微小的偏離平衡位置的縱向位移u1,u2,…,un為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),將單元質(zhì)量組集擴(kuò)展后,得到系統(tǒng)的(n+1)×(n+1)階總質(zhì)量矩陣M為:

(5)

同理,可以得到系統(tǒng)的(n+1)×(n+1)階總剛度矩陣K為:

(6)

鏈條剛度k為:

k=-EA/l

(7)

式中:E為材料的彈性模量。

系統(tǒng)廣義力n+1列列陣F為:

(8)

由此可得整個(gè)系統(tǒng)的最終總動(dòng)力學(xué)方程為:

(9)

式中:U為位移矩陣。

4 分析結(jié)果

工作段鏈條長(zhǎng)度為9 m,鏈條節(jié)距為100 mm,鏈條額定運(yùn)行速度為0.6 m/s,基于上述模型,對(duì)鏈條動(dòng)力學(xué)及鏈條的剛度進(jìn)行計(jì)算,均采用有限元法求解和分析。

4.1 鏈條剛度及邊界剛度

鏈條在運(yùn)行過(guò)程中主要承受拉伸作用,所以鏈條的剛度為拉伸剛度。對(duì)于主動(dòng)鏈輪而言,除質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量外,對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響最大的因素就是扭轉(zhuǎn)剛度。

由于鏈輪為鏈條的支撐邊界,且所建立的鏈傳動(dòng)模型僅考慮縱向運(yùn)動(dòng),因此將鏈輪扭轉(zhuǎn)剛度的效應(yīng)等效至鏈輪鏈條嚙合點(diǎn)處的縱向剛度,即邊界支撐剛度k1。對(duì)于從動(dòng)輪等效剛度k2,由于從動(dòng)輪連接彈簧張緊器,因此計(jì)算時(shí)需要串聯(lián)張緊彈簧的剛度。

4.2 系統(tǒng)縱向振動(dòng)頻率及響應(yīng)

計(jì)算表明,鏈傳動(dòng)系統(tǒng)的縱向振動(dòng)一階頻率為6.3 Hz,二階頻率為20.7 Hz,頻率響應(yīng)曲線如圖4所示。在現(xiàn)有鏈條運(yùn)行速度下,鏈輪嚙合頻率為6 Hz,系統(tǒng)縱向頻率與嚙合頻率過(guò)于接近,可能導(dǎo)致鏈條發(fā)生縱向共振問(wèn)題。

▲圖4 鏈傳動(dòng)頻率響應(yīng)曲線

同時(shí)對(duì)鏈傳動(dòng)從啟動(dòng)到平穩(wěn)運(yùn)行的過(guò)程進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析,結(jié)果如圖5所示。隨著鏈輪運(yùn)行速度的加快,多邊形效應(yīng)的激勵(lì)增大,鏈節(jié)振動(dòng)響應(yīng)幅值也隨之增大。當(dāng)運(yùn)行到2 s后,振動(dòng)響應(yīng)幅值達(dá)到最大,此時(shí)鏈條運(yùn)行速度接近額定速度0.6 m/s,對(duì)應(yīng)多邊形效應(yīng)的激勵(lì)頻率約為6 Hz。

▲圖5 鏈傳動(dòng)啟動(dòng)過(guò)程瞬態(tài)響應(yīng)曲線

5 試驗(yàn)

鏈傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)時(shí),將信號(hào)采集裝置固定于鏈節(jié)處,采集鏈節(jié)的振動(dòng)加速度信號(hào)。為了獲取鏈條準(zhǔn)確的縱向振動(dòng)頻率,在一定范圍內(nèi)對(duì)不同運(yùn)行速度下的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。不同運(yùn)行速度和激勵(lì)頻率下縱向振動(dòng)加速度如圖6所示,可以看出隨著激勵(lì)頻率提高、運(yùn)行速度加快,鏈節(jié)處縱向振動(dòng)加速度幅值增大。當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到約6 Hz,運(yùn)行速度達(dá)到約0.6 m/s,縱向振動(dòng)加速度達(dá)到最大值。激勵(lì)頻率繼續(xù)提高,相對(duì)振動(dòng)加速度幅值減小。所以6 Hz為鏈縱向共振頻率點(diǎn),即運(yùn)行速度為0.6 m/s時(shí)鏈條發(fā)生縱向共振。

畫卷內(nèi)容深刻，絕不是一個(gè)方面可以涵括，一首題畫詩(shī)會(huì)有多方面的品評(píng)。 以上六類常常交錯(cuò)融合，不同程度地表現(xiàn)在題詠上。

▲圖6 不同運(yùn)行速度和激勵(lì)頻率下振動(dòng)加速度

為了進(jìn)一步研究鏈傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性,選取鏈條運(yùn)行速度為6 m/s時(shí)的工況進(jìn)行分析,對(duì)加速時(shí)域信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換后,獲取振動(dòng)加速度響應(yīng)頻域曲線。一階和二階頻率試驗(yàn)與分析結(jié)果對(duì)比見表1,可見試驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果基本一致。

表1 頻率試驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果對(duì)比

系統(tǒng)前兩階頻率試驗(yàn)結(jié)果比分析結(jié)果低,一階頻率低5%,二階頻率低10%,原因可能有兩方面。第一是在輪齒嚙合過(guò)程中,由于接觸效應(yīng)存在接觸剛度,導(dǎo)致實(shí)際邊界剛度要比計(jì)算的剛度值低。第二是目前關(guān)于鏈輪系統(tǒng)等效剛度的計(jì)算及松邊質(zhì)量分配并無(wú)準(zhǔn)確分析方法,所以在等效計(jì)算過(guò)程中存在一定誤差。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,分別對(duì)鏈輪等效邊界剛度及松邊質(zhì)量等參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修正,將修正后的模型應(yīng)用于其它長(zhǎng)度鏈條的動(dòng)力學(xué)分析。

6 鏈條長(zhǎng)度對(duì)振動(dòng)的影響

基于修正后的模型,對(duì)工作段鏈條長(zhǎng)度對(duì)鏈傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的影響進(jìn)行分析,分別分析長(zhǎng)度為7 m、9 m、11 m、13 m、15 m的鏈條的縱向振動(dòng)頻率,結(jié)果如圖7所示。

▲圖7 工作段鏈條長(zhǎng)度與縱向振動(dòng)頻率關(guān)系

由圖7可見,鏈條頻率隨著鏈條長(zhǎng)度的增大而降低,但是降低幅度并非與長(zhǎng)度增大成線性關(guān)系。隨著長(zhǎng)度的增大,單位長(zhǎng)度下頻率的降幅減小。

筆者分析的鏈傳動(dòng)系統(tǒng),其工作轉(zhuǎn)速一般為0.6 m/s左右,此鏈條節(jié)距下對(duì)應(yīng)多邊形效應(yīng)激勵(lì)頻率為6 Hz,而工作段鏈條設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為10 m時(shí)鏈條的結(jié)構(gòu)縱向頻率為5 Hz左右,恰處于共振區(qū)間。按照結(jié)構(gòu)頻率避開激勵(lì)頻率±10%的原則,當(dāng)工作鏈條長(zhǎng)度為9.25～11.75 m時(shí),需要考慮縱向共振問(wèn)題,并采取一些避振措施,如調(diào)整鏈條節(jié)距從而改變多邊形激勵(lì)頻率,或者調(diào)整鏈條剛度、質(zhì)量以調(diào)整縱向頻率。

7 結(jié)束語(yǔ)

筆者建立了滾子鏈傳動(dòng)縱向動(dòng)力學(xué)分析模型,討論了鏈條邊界問(wèn)題的處理,并考慮了松邊質(zhì)量的影響,采用有限元方法分析了鏈傳動(dòng)縱向動(dòng)力學(xué)特性,進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比分析。

分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好,結(jié)果表明鏈條長(zhǎng)度在10 m左右時(shí)會(huì)引發(fā)結(jié)構(gòu)共振問(wèn)題。在后續(xù)設(shè)計(jì)過(guò)程中,需要調(diào)整相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)以避免共振。

鏈條模型的邊界問(wèn)題是影響分析結(jié)果的重要因素,建模分析時(shí)需要考慮邊界問(wèn)題的處理。

筆者建立的滾子鏈縱向動(dòng)力學(xué)分析模型,對(duì)于鏈傳動(dòng)問(wèn)題具有一般性,可應(yīng)用于其它型號(hào)滾子鏈的振動(dòng)問(wèn)題分析中。

鏈傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)較為復(fù)雜的系統(tǒng),筆者在建模過(guò)程中忽略了鏈輪嚙合接觸剛度等因素,對(duì)于某些問(wèn)題的分析處理,如松邊質(zhì)量分配、鏈輪等效剛度分析等,需要在后續(xù)研究中進(jìn)一步深入完善。