呂佩玨 王浩然 王子淳 北京理工大學(xué)

1 . 引言

兒童和藝術(shù)家喜歡用沙子建造城堡。不可避免地，海浪的流入加上漲潮會侵蝕沙堡。因此，我們需要構(gòu)建一個數(shù)學(xué)模型，以確定用作沙堡基礎(chǔ)的最佳3 維幾何形狀，確定最佳的沙水混合比，在下雨時調(diào)整模型，使用其他策略來延長沙堡的使用壽命，撰寫一篇描述模型及其結(jié)果的文章。

2 . 侵蝕模型

2.1 基本模型

(1）模型的基礎(chǔ)

首先，我們分析了波浪對砂堆的沖蝕作用，使每單位時間在所有區(qū)域損失的砂的重量為M。根據(jù)水力知識，在礫石類型與坡度相同的條件下，水不可避免地會消耗一部分能量來去除沙子，也就是說，水確實在沙子上起作用，這意味著兩者是成正比的，下面的公式（1）（2）反映了這種聯(lián)系。

其中y 是水的密度，h 是水的深度，U 是水的速度，J 是斜率降，q 是流量。

坡度下降對沙子的侵蝕作用不能完全用水流的力量來表示。又經(jīng)過分析我們可以得到單位時間內(nèi)單位面積沖走的沙粒重量的公式（3）：

因為兩個參數(shù)的尺寸不完全相等，所以系數(shù)c 是尺寸常數(shù)。查閱信息后，得出c=0.218。經(jīng)過進(jìn)一步分析，不同的水沙比會改變沙堆的密度。如果引入y/y1-y 進(jìn)行調(diào)整，則可以更好地表達(dá)水沙比的特性。其中，y 是水的密度，y1 是沙堆的密度。沙堆的密度也將在1200到1600 之間變化。簡化值為每立方米1600 千克。使用曼寧公式，當(dāng)前斜率可以寫為：（4）

其中n 是曼寧粗糙度，R 是水力半徑。如果流域是寬還是淺，則可用水深h 代替水力半徑R。經(jīng)過審查，曼寧粗糙度與表面光滑度有關(guān)。對于具有光滑表面的對象，n 可以取為0.025。

由此，我們得到公式（5），該公式表示單位時間每單位面積流失的沙粒重量：

所有物理量均以（kg-ms）單位制。

基于水力學(xué)和土壤力學(xué)的知識，獲得了單位時間每單位面積沙的重量損失，發(fā)現(xiàn)在確定土壤力學(xué)性能參數(shù)的條件下，該函數(shù)與水深有著密切的函數(shù)關(guān)系。為了能夠計算出沙堆坍塌所需的時間，我們還需要計算每單位時間與水接觸的所有表面上的沙的重量損失。根據(jù)開始時的假設(shè)，我們可以將沙堆分成N 個相同的三角形金字塔，其中a 是底部三角形的高度，b 是三角形的高度，c 是底部圖形的邊長。當(dāng)總砂體積V 固定并定義N 時，a，b 和c 的值將更改。它們之間的關(guān)系可以用以下等式表示：

此方程組將在以后用作限定。如果對侵蝕區(qū)域進(jìn)行了積分，則每單位時間與水接觸的區(qū)域的沙子重量損失A 為A，其中A 是與c 相關(guān)的函數(shù)。用上面給出的值代替系數(shù)為0.838。

其中x 是代表沿接觸面水深變化的變量。

閱讀相關(guān)文獻(xiàn)后，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)沙堆的坡度降至0.2 時，波浪對沙堆的沖刷作用會明顯減弱，因此我們假設(shè)當(dāng)b 等于0.2a 時，沙堆的形狀就開始了。穩(wěn)定下來。以下公式可用于計算時間。

獲得的時間將是評估沙堆形狀的最終依據(jù)。

2.2 模型優(yōu)化

得到模型后，我們需要解決相關(guān)參數(shù)以獲得最佳的沙堡形狀。我們需要優(yōu)化的問題是：在一定體積下獲得最佳的邊數(shù)n 和底部邊的長度c。在這里，我們采用總體積V=4，最大波高h(yuǎn)=0.1。

蟻群算法：

為了確定函數(shù)的參數(shù)，我們使用蟻群算法搜索解空間。在自然界中，僅對每只螞蟻而言，其能力是非常有限的。但是，蟻群可以找到從洞穴到食物的最短路徑。

結(jié)果：

通過對獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以知道，一開始，所有螞蟻的位置都是完全隨機的。但是，當(dāng)達(dá)到迭代次數(shù)時，所有螞蟻都會聚集在極端點。

隨著迭代次數(shù)的增加，在每次迭代中，最優(yōu)螞蟻的極值不斷增加，并最終趨于穩(wěn)定，這證明我們已經(jīng)找到了最佳參數(shù)。在我們的值范圍內(nèi)，當(dāng)n=25 且c=4.1 時，沖刷時間f 取最大值，即5432。還可以得出當(dāng)n 接近無窮大時，函數(shù)值不斷增加。因此，n 的最佳值應(yīng)該是無限的，即底面形成一個圓。