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        沙堡最佳形狀持續(xù)時間研究

        2020-06-23 00:14:42呂佩玨王浩然王子淳北京理工大學(xué)
        數(shù)碼世界 2020年5期
        關(guān)鍵詞:曼寧沙堡沙堆

        呂佩玨 王浩然 王子淳 北京理工大學(xué)

        1 . 引言

        兒童和藝術(shù)家喜歡用沙子建造城堡。不可避免地,海浪的流入加上漲潮會侵蝕沙堡。因此,我們需要構(gòu)建一個數(shù)學(xué)模型,以確定用作沙堡基礎(chǔ)的最佳3 維幾何形狀,確定最佳的沙水混合比,在下雨時調(diào)整模型,使用其他策略來延長沙堡的使用壽命,撰寫一篇描述模型及其結(jié)果的文章。

        2 . 侵蝕模型

        2.1 基本模型

        (1)模型的基礎(chǔ)

        首先,我們分析了波浪對砂堆的沖蝕作用,使每單位時間在所有區(qū)域損失的砂的重量為M。根據(jù)水力知識,在礫石類型與坡度相同的條件下,水不可避免地會消耗一部分能量來去除沙子,也就是說,水確實在沙子上起作用,這意味著兩者是成正比的,下面的公式(1)(2)反映了這種聯(lián)系。

        其中y 是水的密度,h 是水的深度,U 是水的速度,J 是斜率降,q 是流量。

        坡度下降對沙子的侵蝕作用不能完全用水流的力量來表示。又經(jīng)過分析我們可以得到單位時間內(nèi)單位面積沖走的沙粒重量的公式(3):

        因為兩個參數(shù)的尺寸不完全相等,所以系數(shù)c 是尺寸常數(shù)。查閱信息后,得出c=0.218。經(jīng)過進(jìn)一步分析,不同的水沙比會改變沙堆的密度。如果引入y/y1-y 進(jìn)行調(diào)整,則可以更好地表達(dá)水沙比的特性。其中,y 是水的密度,y1 是沙堆的密度。沙堆的密度也將在1200到1600 之間變化。簡化值為每立方米1600 千克。使用曼寧公式,當(dāng)前斜率可以寫為:(4)

        其中n 是曼寧粗糙度,R 是水力半徑。如果流域是寬還是淺,則可用水深h 代替水力半徑R。經(jīng)過審查,曼寧粗糙度與表面光滑度有關(guān)。對于具有光滑表面的對象,n 可以取為0.025。

        由此,我們得到公式(5),該公式表示單位時間每單位面積流失的沙粒重量:

        所有物理量均以(kg-ms)單位制。

        基于水力學(xué)和土壤力學(xué)的知識,獲得了單位時間每單位面積沙的重量損失,發(fā)現(xiàn)在確定土壤力學(xué)性能參數(shù)的條件下,該函數(shù)與水深有著密切的函數(shù)關(guān)系。為了能夠計算出沙堆坍塌所需的時間,我們還需要計算每單位時間與水接觸的所有表面上的沙的重量損失。根據(jù)開始時的假設(shè),我們可以將沙堆分成N 個相同的三角形金字塔,其中a 是底部三角形的高度,b 是三角形的高度,c 是底部圖形的邊長。當(dāng)總砂體積V 固定并定義N 時,a,b 和c 的值將更改。它們之間的關(guān)系可以用以下等式表示:

        此方程組將在以后用作限定。如果對侵蝕區(qū)域進(jìn)行了積分,則每單位時間與水接觸的區(qū)域的沙子重量損失A 為A,其中A 是與c 相關(guān)的函數(shù)。用上面給出的值代替系數(shù)為0.838。

        其中x 是代表沿接觸面水深變化的變量。

        閱讀相關(guān)文獻(xiàn)后,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)沙堆的坡度降至0.2 時,波浪對沙堆的沖刷作用會明顯減弱,因此我們假設(shè)當(dāng)b 等于0.2a 時,沙堆的形狀就開始了。穩(wěn)定下來。以下公式可用于計算時間。

        獲得的時間將是評估沙堆形狀的最終依據(jù)。

        2.2 模型優(yōu)化

        得到模型后,我們需要解決相關(guān)參數(shù)以獲得最佳的沙堡形狀。我們需要優(yōu)化的問題是:在一定體積下獲得最佳的邊數(shù)n 和底部邊的長度c。在這里,我們采用總體積V=4,最大波高h(yuǎn)=0.1。

        蟻群算法:

        為了確定函數(shù)的參數(shù),我們使用蟻群算法搜索解空間。在自然界中,僅對每只螞蟻而言,其能力是非常有限的。但是,蟻群可以找到從洞穴到食物的最短路徑。

        結(jié)果:

        通過對獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以知道,一開始,所有螞蟻的位置都是完全隨機的。但是,當(dāng)達(dá)到迭代次數(shù)時,所有螞蟻都會聚集在極端點。

        隨著迭代次數(shù)的增加,在每次迭代中,最優(yōu)螞蟻的極值不斷增加,并最終趨于穩(wěn)定,這證明我們已經(jīng)找到了最佳參數(shù)。在我們的值范圍內(nèi),當(dāng)n=25 且c=4.1 時,沖刷時間f 取最大值,即5432。還可以得出當(dāng)n 接近無窮大時,函數(shù)值不斷增加。因此,n 的最佳值應(yīng)該是無限的,即底面形成一個圓。

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