浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶小學(xué) 李國(guó)良

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。這給數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了啟示，在教學(xué)中教師要尊重每一個(gè)學(xué)生的個(gè)性差異，讓他們?cè)谠姓J(rèn)知基礎(chǔ)上得到提升。

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)內(nèi)容，共安排了1個(gè)例題、10個(gè)練習(xí)題。教材從名著《孫子算經(jīng)》記載的題目引入：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？在考慮學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上把題目中的數(shù)量適當(dāng)?shù)刈冃?，改變成：上?個(gè)頭，下有26只腳，雞兔各有幾只？隨后，教材通過(guò)列表和假設(shè)法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，在閱讀資料板塊中還介紹了“抬腳法”。在實(shí)際的教學(xué)中筆者還發(fā)現(xiàn)：一是“雞兔同籠”問(wèn)題由教師分別在一至三年級(jí)作為拓展性內(nèi)容演繹，每一個(gè)年級(jí)所用的方法不盡相同；二是除上述方法外，教師在其他年級(jí)中還采用畫(huà)圖法、砍足法、方程法、數(shù)形幾何等方法來(lái)解決。筆者認(rèn)為，“雞兔同籠”問(wèn)題之所以經(jīng)典，其奧秘就在于此！

一、不同年級(jí)學(xué)生認(rèn)知調(diào)查

不同年級(jí)的教學(xué)，均應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。因此，我們認(rèn)為可以對(duì)一至四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“雞兔同籠”問(wèn)題的前認(rèn)知調(diào)查，了解學(xué)生能否在系統(tǒng)學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)全面構(gòu)建多種方法及溝通各種方法之間的聯(lián)系。

1．調(diào)查內(nèi)容的擬定與思考

筆者針對(duì)不同年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平和不同的解決問(wèn)題的方法擬定了三份調(diào)查卷，其中一、二年級(jí)的前3題為選擇題，三、四年級(jí)的前2題為選擇題。我們對(duì)這些問(wèn)題按思維層次的四級(jí)水平進(jìn)行了分類。

一級(jí)思維層次里三份調(diào)查卷均為同一個(gè)題目，主要是學(xué)生是否知道“雞兔同籠”這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題或生活現(xiàn)象，了解學(xué)生的課外閱讀及家庭教育情況。

二級(jí)思維層次中的兩個(gè)題目屬于常識(shí)性調(diào)查，一、二年級(jí)的學(xué)生只要知道1只兔與1只雞分別有幾只腳，然后進(jìn)行簡(jiǎn)單的加法；而三、四年級(jí)的學(xué)生考慮到學(xué)習(xí)水平，題目稍有變化，也就是雞與兔的只數(shù)的變化引起腳變化的規(guī)律。

三級(jí)思維層次的題目有所不同，一、二年級(jí)選用了三、四年級(jí)二級(jí)思維的題目，而三、四年級(jí)三級(jí)思維層次與四級(jí)思維層次進(jìn)行了整合，采取同一個(gè)題目，但三年級(jí)有提示性的解題方法，四年級(jí)僅出示題目，要求學(xué)生用多種方法進(jìn)行解答。這樣設(shè)計(jì)主要是為了了解不同層次的學(xué)生在思維上有怎樣的差異。

四級(jí)思維層次的一、二年級(jí)題目讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)的方法來(lái)解答雞兔同籠問(wèn)題，了解學(xué)生能否正確地畫(huà)出雞和兔的只數(shù)，這里的缺陷就是只呈現(xiàn)結(jié)果，沒(méi)有呈現(xiàn)畫(huà)的過(guò)程，一只腳畫(huà)與兩只腳一起畫(huà)所體現(xiàn)出的思維水平有著明顯的差異。

2.調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與思考

本次調(diào)查，我們采取無(wú)記名、無(wú)暗示、15分鐘內(nèi)獨(dú)立完成的形式進(jìn)行，調(diào)查對(duì)象選定了城區(qū)兩個(gè)學(xué)校的學(xué)生，其中一、二年級(jí)學(xué)生共計(jì)568人，三年級(jí)學(xué)生362人，四年級(jí)學(xué)生341人。對(duì)于調(diào)查結(jié)果，分別進(jìn)行了梳理與統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表1、表2）。

表1 一、二年級(jí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 三、四年級(jí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從上述統(tǒng)計(jì)中我們可以發(fā)現(xiàn)：

一是學(xué)生了解雞兔同籠問(wèn)題到三年級(jí)已有近70%，雞與兔腿的只數(shù)及其變化在一、二年級(jí)也不存在較大的問(wèn)題。因此，這給雞兔同籠問(wèn)題的教學(xué)提供了依據(jù)，在用畫(huà)圖、列表及計(jì)算方法解決問(wèn)題的過(guò)程中均需要雞與兔只數(shù)的變化引起腳只數(shù)的變化的規(guī)律。

二是從一、二年級(jí)畫(huà)圖解答（正確率68.8%）到三、四年級(jí)多種方法解答，我們認(rèn)為學(xué)生到了四年級(jí)已經(jīng)具備用不同的方法解決雞兔同籠問(wèn)題的能力。在統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)三年級(jí)解答的方法要多于四年級(jí)，其中三年級(jí)用一種方法解答的有183人，用兩種方法的有95人，用三種方法的有14人；而四年級(jí)用一種方法解答的有230人，用兩種方法的只有45人，用三種方法的僅2人。究其原因，筆者認(rèn)為三年級(jí)的解答時(shí)給予了提示：用畫(huà)圖、列表、計(jì)算等方法；而四年級(jí)的題目相對(duì)開(kāi)放，在統(tǒng)計(jì)表可以清晰地看出，四年級(jí)大部分集中在用計(jì)算的方法解決，三年級(jí)三種方法相對(duì)均勻。因此，對(duì)于不同的學(xué)生提供一定的“腳手架”是需要的，讓學(xué)生在自己的最近發(fā)展區(qū)里得到進(jìn)步，這也為實(shí)施差異教學(xué)提供了現(xiàn)實(shí)的依據(jù)。

二、運(yùn)用差異教學(xué)的實(shí)踐研究

1.對(duì)差異教學(xué)的認(rèn)識(shí)

我們認(rèn)為，差異教學(xué)是在班集體教學(xué)中立足學(xué)生差異，滿足學(xué)生個(gè)別化需要，促進(jìn)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到充分發(fā)展的教學(xué)。它分別關(guān)注著某類學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，既看到學(xué)生的學(xué)習(xí)共性也看到學(xué)生的學(xué)習(xí)差異并且尊重學(xué)生的認(rèn)知、心理等差異情況。

在大班級(jí)授課制的情況下，教師也較為重視對(duì)學(xué)生的因材施教，但往往比較強(qiáng)化在鞏固練習(xí)的環(huán)節(jié)中進(jìn)行有分層化的教學(xué)，設(shè)置一些闖關(guān)題、層次性思維題，而忽視在新知識(shí)的研究過(guò)程中實(shí)施有差異的教學(xué)，這樣使部分在學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中存在著欠缺，造成思維的斷層。因此，在新知識(shí)的探究過(guò)程中需采用差異教學(xué)的方法與手段使人人學(xué)到不同的數(shù)學(xué)，最終達(dá)到共同發(fā)展。

2.設(shè)計(jì)有差異教學(xué)的內(nèi)容

按常規(guī)的分法，班級(jí)中學(xué)生的思維水平一般有3個(gè)層次，即好、中、差，對(duì)應(yīng)的學(xué)生就是優(yōu)等生、中等生、學(xué)困生。因此，我們針對(duì)這三類學(xué)生運(yùn)用智慧卡的形式設(shè)計(jì)三個(gè)層次的題目（見(jiàn)表3），每個(gè)智慧卡均由兩個(gè)小問(wèn)題組成。

智慧卡A，它面向全體學(xué)生但主要針對(duì)學(xué)困生，第一題讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)畫(huà)出雞兔各有幾只；而第二個(gè)問(wèn)題主要在畫(huà)的過(guò)程中想一想如何可以比較優(yōu)化快速地得到雞兔各幾只，也滲透著假設(shè)的思想。智慧卡B，它面向前的學(xué)生，主要針對(duì)中等生，讓學(xué)生通過(guò)湊的方法（列表的雛形）來(lái)得出雞兔各幾只，同時(shí)在湊的過(guò)程中思考如何能有效地湊出雞兔各幾只，如全部假設(shè)成兔或雞，也可以“中間開(kāi)花”，逐步體驗(yàn)到雞兔只數(shù)的變化引起腳只數(shù)的變化的規(guī)律。智慧卡C，是思維層次最高的題目，直接讓學(xué)生通過(guò)算的方法得出雞兔各幾只，并讓學(xué)生思考如何向其他的同學(xué)解釋清楚。這里不僅要會(huì)算還要會(huì)說(shuō)，而且表達(dá)得讓全班同學(xué)明白其中的意思。

表3 三類智慧卡

在教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程中，我們讓學(xué)生根據(jù)自身的能力與水平選擇一張智慧卡進(jìn)行解答，當(dāng)然學(xué)生選擇了其中一張智慧卡解答后，還可以選擇其他的智慧卡進(jìn)行探究。這樣不僅讓學(xué)生有多元選擇的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)到不同方法之間的聯(lián)系，同時(shí)對(duì)自己也有一個(gè)充分的評(píng)價(jià)與激勵(lì)，逐漸幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

3.實(shí)施有差異的教學(xué)

基于對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查，我們認(rèn)為本節(jié)課可以讓學(xué)生充分體驗(yàn)用不同的方法來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題，在不同的方法中尋找相同點(diǎn)，實(shí)行方法之間的溝通和不同思想（數(shù)形結(jié)合思想、枚舉思想、假設(shè)思想、方程思想）的有機(jī)整合。

環(huán)節(jié)一：結(jié)合認(rèn)知基礎(chǔ)，尋找差異方法來(lái)解決問(wèn)題

課始，課件出示雞兔同籠問(wèn)題的古典題目（如圖1），組織學(xué)生理解題意并進(jìn)行解讀：雞和兔在同一個(gè)籠子里，上面數(shù)頭有35個(gè)，下面數(shù)腳有94只，問(wèn)雞和兔各有多少只？根據(jù)解決復(fù)雜問(wèn)題需要從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手這一原則，筆者出示本節(jié)課重點(diǎn)要研究的核心題目：籠子里有若干只雞和兔，上面數(shù)頭有6個(gè)，下面數(shù)腳有20只，雞和兔各有多少只？隨即出示研究建議和智慧卡A、B、C（如表3），組織學(xué)生選擇其中一張智慧卡進(jìn)行解決，解答后可以再選擇其他智慧卡進(jìn)行研究，比較解答的方法有什么區(qū)別和聯(lián)系。

筆者認(rèn)為，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)潔，又指向課堂的核心問(wèn)題，旨在讓學(xué)生從有趣、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中運(yùn)用簡(jiǎn)單的方法來(lái)尋求解決問(wèn)題的路徑，根據(jù)自己對(duì)題目的解讀能力選擇其中一種或者兩種方法嘗試解決，尊重了學(xué)生的認(rèn)知差異與學(xué)習(xí)能力。

環(huán)節(jié)二：運(yùn)用不同方法，尋求差異理念下的共同提升

利用不同的智慧卡解決問(wèn)題后，需進(jìn)行集體反饋，以便讓每一個(gè)學(xué)生知道其他同學(xué)運(yùn)用了怎樣的方法來(lái)解決，讓差異學(xué)習(xí)的思想進(jìn)行無(wú)痕的滲透。

組織學(xué)生匯報(bào)智慧卡A，出示學(xué)生畫(huà)的圖（如圖2），讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)是怎么畫(huà)的。

生1：先把所有的雞畫(huà)出來(lái)，雞有2條腿，發(fā)現(xiàn)腿少了，所以我又補(bǔ)了8條腿，就是雞有2只，兔有4只，剛好是20條腿。

生2：先把所有的兔畫(huà)出來(lái)，因?yàn)橥糜?條腿，多了4條，也就是每只兔要擦去2條腿，兔有4只，雞有2只。

師：請(qǐng)大家想一想，用畫(huà)圖方法的這些同學(xué)怎樣向我們解釋清楚是怎么畫(huà)的？有沒(méi)有什么好的方法？

生3：先畫(huà)雞，每只雞2條腿，就是12條腿，發(fā)現(xiàn)少了8條腿，而1只兔是4條腿，比雞多2條腿，所以在每只雞上添上2條腿，就是兔的只數(shù)4只。

生4：如果先畫(huà)兔，每只兔4條腿，這樣是24條腿，發(fā)現(xiàn)多了4條腿，而1只雞比兔少2條腿，所以每只兔擦去2條腿，就是雞的只數(shù)2只，剩下的兔就是4只。

師：這兩種方法有什么共同點(diǎn)？

……

接著，集體交流智慧卡B的解答情況。先讓學(xué)生們想一想采用湊的方法來(lái)解答的同學(xué)們是怎么來(lái)湊的。隨后，選擇智慧卡B的學(xué)生上臺(tái)講解自己是如何快速地解答出雞和兔的只數(shù)。

生1：先假設(shè)全部是雞，就是6只雞0只兔，雞有12條腿，兔的腿是0條，共有腿12條，少了，再假設(shè)雞4只，兔2只，雞的腿是8條，兔的腿是8條，合起來(lái)16條，發(fā)現(xiàn)還少4條；因?yàn)樯?只雞多1只兔，腿的只數(shù)會(huì)增加2條，還相差4條腿，最后再假設(shè)雞有2只，兔有4只，腿剛好是4+16=20條。

生2：先假設(shè)全部是兔，6只兔0只雞，兔有24條腿，共有腿24條，多了4條；因?yàn)殡u與兔相差2條，再假設(shè)兔少2只，就是4只兔，雞有2只，腿剛好是4+16=20條。

生3：先假設(shè)3只兔和3只雞，兔有12條腿，雞有6條腿，發(fā)現(xiàn)腿少了2條，那就兔變成4只，雞變成2只，剛好是20條腿。

師：這三種方法有什么共同點(diǎn)？

……

教師在此基礎(chǔ)上，歸納出“湊”的方法其實(shí)是用列表的方法來(lái)解答雞兔同籠問(wèn)題。

最后，交流智慧卡C的解題方式。交流前讓選用智慧卡A、B來(lái)解決問(wèn)題的學(xué)生說(shuō)說(shuō)可以怎樣列式計(jì)算，讓他們從畫(huà)圖和列表兩種解題的路徑中尋找如何假設(shè)雞或兔來(lái)尋求答案，在列出算式（20-6×2）÷（4-2）或（6×4-20）÷（4-2）進(jìn)行解答的基礎(chǔ)上，說(shuō)說(shuō)每一個(gè)算式中的每一步所表示的意思，并研究?jī)煞N方法之間的異同點(diǎn)。

我們認(rèn)為，選擇智慧卡A、B、C來(lái)解答問(wèn)題只是一種形式，是為不同的學(xué)生搭建一個(gè)支架來(lái)尋求解決問(wèn)題的方法，而采用滾動(dòng)式的方法進(jìn)行匯報(bào)與交流，可以讓每一個(gè)學(xué)生在同伴的幫助下理解每一種方法，實(shí)現(xiàn)在差異教學(xué)的理念下的共同發(fā)展。

環(huán)節(jié)三：基于相同思想，探索知識(shí)的延伸

筆者認(rèn)為，上述三種是解決雞兔同籠問(wèn)題的常見(jiàn)方法，看似路徑不同，其本質(zhì)思想是相同的。通過(guò)思考畫(huà)圖、列表、計(jì)算這三種方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而揭示它們之間均滲透了假設(shè)的思想。

要充分感悟假設(shè)這一思想可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹R(shí)延伸，對(duì)五年級(jí)用方程和七年級(jí)用二元一次方程來(lái)解決進(jìn)行適度的研究。在教師的引導(dǎo)與討論下，出示五年級(jí)和七年級(jí)的解題方法：假如兔有□只，那么雞有（6-□）只，腿的條數(shù)就是4×□+（6-□）×2=20只；如果兔有□只，雞有○只，那么□+○=6,4×□+2×○=20只。隨后，揭示這兩種方法與前三種方法的聯(lián)系，進(jìn)一步滲透假設(shè)思想。

在“互聯(lián)網(wǎng)+”的教育大背景下，讓學(xué)有余力的學(xué)生接觸深層次的知識(shí)是必要的，也是可行的，能使他們?cè)谠兄R(shí)建構(gòu)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解知識(shí)的來(lái)龍去脈及知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想與方法。

多元智能理論指出：人的智能有八個(gè)方面，每個(gè)人在每個(gè)智能領(lǐng)域有著一定的差異。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分尊重這種差異，根據(jù)智能的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)選擇最適合學(xué)生個(gè)體的方法。因此，筆者依據(jù)這一教學(xué)理念，充分關(guān)注學(xué)生個(gè)性差異，借用于智慧卡A、B、C給學(xué)生搭建學(xué)習(xí)的平臺(tái)，讓不同的學(xué)生在解決雞兔同籠問(wèn)題的過(guò)程中能主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋找解決問(wèn)題的策略，使每一個(gè)學(xué)生不僅在知識(shí)上得到生長(zhǎng)，而且在學(xué)習(xí)的方式、方法與策略上得到充分的發(fā)展。