石偉興 劉培志 趙小川 關(guān)永峰

（中國兵器工業(yè)計算機(jī)應(yīng)用技術(shù)研究所，北京 100089）

0 引言

蹺蹺板式旋翼結(jié)構(gòu)通常具有2 片槳葉，2 片槳葉共用1個槳轂，槳轂承擔(dān)揮舞運(yùn)動，即左右槳葉的揮舞運(yùn)動是關(guān)聯(lián)的，單側(cè)槳葉向上揮舞必然引起對側(cè)槳葉向下?lián)]舞，這也是蹺蹺板式旋翼與全鉸接式旋翼的區(qū)別所在，我們通常也稱蹺蹺板式旋翼為半剛性旋翼[1]。為提高操縱性，揮舞鉸附近一般設(shè)置揮舞橡膠阻尼，而擺振鉸與擺振橡膠阻尼一般在槳葉根部附近的槳夾位置處。一種典型的蹺蹺板式旋翼結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。

圖1 一種典型的蹺蹺板式槳轂結(jié)構(gòu)示意圖

將旋翼槳葉以及槳轂簡化成剛體模型，即旋翼旋轉(zhuǎn)時，槳葉以及槳轂繞分別繞揮舞鉸和擺振鉸進(jìn)行上下?lián)]舞運(yùn)動和水平周向擺振運(yùn)動，旋翼的運(yùn)動的變形量主要靠揮舞橡膠和擺振橡膠的變形來實(shí)現(xiàn)[2]。下文根據(jù)蹺蹺板式槳轂的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行合理的假設(shè)與簡化，建立蹺蹺板式旋翼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，并對其進(jìn)行計算和分析。

1 動力學(xué)模型

1.1 動力學(xué)簡化模型

對于蹺蹺板式旋翼，其揮舞鉸位于主軸軸線位置，即揮舞鉸外伸量為零，而周期性的揮舞運(yùn)動對主軸的彎矩主要靠揮舞橡膠的相對垂向位置h 來調(diào)節(jié)，2 片槳葉連同槳轂一起在擺振橡膠處產(chǎn)生揮舞運(yùn)動，對于單片槳葉其振幅為θ。該蹺蹺板式旋翼的擺振鉸外伸量較明顯，當(dāng)槳葉受到周期性的周向哥氏力作用時，槳葉繞擺振鉸在擺振橡膠處產(chǎn)生擺振運(yùn)動，振幅為α[2]。

根據(jù)剛體假設(shè)對蹺蹺板式旋翼進(jìn)行動力學(xué)簡化，其簡化模型如圖2、圖3 所示。

圖2 揮舞運(yùn)動簡化模型

圖3 擺振運(yùn)動簡化模型

圖中各參數(shù)的物理意義分別為ω—旋翼轉(zhuǎn)速，R—旋翼直徑，m—單片槳葉質(zhì)量，mhub—槳轂重量（1 個槳轂裝配2 片槳葉），l—槳轂揮舞受力點(diǎn)與揮舞橡膠的距離，h—揮舞橡膠相對垂向位置，k1、c1—揮舞橡膠剛度系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)，p—擺振鉸外伸量，q—擺振阻尼相對位置，k2、c2—擺振橡膠剛度系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。

周期變距時，左右槳葉受到不對稱氣動力的作用，對于單片槳葉來說這種不對稱力是周期變化的，且變化周期與旋翼的轉(zhuǎn)速周期有關(guān)系[3]。在該文的動力學(xué)分析中，對氣動力進(jìn)行了簡化，用F1、F2表示（下文用ΔF 表示該不均勻氣動力的合力的幅值），氣動諧波考慮前4 倍旋翼轉(zhuǎn)速的氣動諧波的影響，以方便對問題進(jìn)行闡述。

1.2 動力學(xué)分析

一般直升機(jī)旋翼的揮舞角一般在10°左右，符合小角度假設(shè)，此時tanθ ≈θ，當(dāng)槳轂繞揮舞鉸轉(zhuǎn)動θ 角度時，揮舞橡膠的壓縮變形Δx 可表示為：

氣動力和揮舞橡膠的合力在揮舞鉸處力矩平衡，結(jié)合旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，對于單側(cè)槳葉來說，其揮舞運(yùn)動平衡方程：

式中：I 為單側(cè)槳葉和槳轂對揮舞鉸的質(zhì)量慣性矩，t 為單片槳葉從0 時刻開始旋轉(zhuǎn)所用時間，設(shè)x 表示槳轂或槳葉質(zhì)心距離主軸的距離，假設(shè)槳轂和槳葉的質(zhì)量均勻分布，則根據(jù)材料力學(xué)質(zhì)量矩計算公式

ΔF 表示的是對于同一片槳葉，每旋轉(zhuǎn)一周所受到的不均勻氣動力的合力的幅值，該氣動力合力是個正弦變化的交變力，周期正好是旋翼轉(zhuǎn)速ω[4]。

由揮舞運(yùn)動方程得其揮舞方向固有頻率為：

對于蹺蹺板式旋翼，其槳轂具有半剛性的特點(diǎn)，當(dāng)單側(cè)槳葉揮舞運(yùn)動時，同時會影響其對側(cè)槳葉的運(yùn)動，在剛體假設(shè)的情況下，旋翼進(jìn)行周期變距操縱時，兩側(cè)槳葉的揮舞運(yùn)動方向相反，揮舞角絕對值相同，單片槳葉旋轉(zhuǎn)一周，揮舞角從θmax變化到-θmax，然后再變化到θmax，中間經(jīng)過2 處揮舞角為零的情況。分析如圖4 所示。

單片槳葉從相位角0 開始旋轉(zhuǎn)，0～2π 過程中，θ 角的變化經(jīng)過一個完整的周期，即θ=θmaxcos（ωt）（t 為單片槳葉從0 時刻開始旋轉(zhuǎn)所用時間，0 ≤t ≤T，T=2π/ω）。而重心距離主軸的位置變化也遵循三角余弦變化：

重心的徑向速度即為重心位置函數(shù)對t 求導(dǎo)得：

哥氏力為哥氏加速度乘以槳葉質(zhì)量，即：

由上式易得，重心的位移和速度周期均為1/2ω，即哥氏力的頻率為旋轉(zhuǎn)頻率的2 倍，大小為2ω。具體可參考圖10的算例曲線。

因此擺振運(yùn)動平衡方程為：

式中：I 為槳葉對擺振鉸的質(zhì)量慣性矩，

其擺振固有角頻率為：

圖4 哥氏力周期計算示意圖

2 計算結(jié)果分析

根據(jù)以上分析，現(xiàn)有某起飛重量500 公斤級無人直升機(jī)，其旋翼為蹺蹺板結(jié)構(gòu)形式，其主要的物理參數(shù)包括旋翼轉(zhuǎn)速、直徑、槳葉質(zhì)量、槳轂質(zhì)量、擺振橡膠的物理參數(shù)以及位置參數(shù)、揮舞橡膠的物理參數(shù)和位置參數(shù)等，根據(jù)1.2節(jié)的動力學(xué)分析，下文將進(jìn)行具體的分析計算，并分析各參數(shù)對固有頻率的影響。

2.1 揮舞方向固有頻率計算與分析

將參數(shù)代入揮舞固有頻率計算公式，得到揮舞方向結(jié)構(gòu)固有頻率為2.4378 Hz。揮舞方向各參數(shù)對旋翼固有頻率的影響分析結(jié)果如圖5 ～圖9 所示。

根據(jù)同樣的思路，將參數(shù)代入擺振固有頻率計算公式，得到擺振方向結(jié)構(gòu)的固有頻率為2.9326 Hz。同樣也可以得到擺振方向各參數(shù)對旋翼固有頻率的影響結(jié)果。

圖5 揮舞橡膠剛度系數(shù)k1 影響

圖6 槳葉質(zhì)量m 的影響

圖7 槳轂質(zhì)量mhub 的影響

圖8 揮舞橡膠的垂向位置h 的影響

圖9 擺振鉸外伸量q 的影響

2.2 揮舞角大小對哥氏力的影響

設(shè)旋翼的揮舞角為10°，在以上參數(shù)情況下，計算一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的揮舞角、重心位置、重心徑向速度以及哥氏力等參數(shù)的變化情況，計算結(jié)果如圖10 所示。

由計算結(jié)果可得得，在揮舞角為10°的情況下，槳葉受到交變哥氏力的作用，其峰值為745 N（76.07 kg），周期為0.047 s，即頻率為21.28 Hz，為旋翼轉(zhuǎn)速的2 倍。

改變揮舞角的大小，分析哥氏力幅值與揮舞角的關(guān)系，如圖11 所示。

圖11 所示，單片槳葉哥氏力的大小隨揮舞角的增大而迅速增大。而蹺蹺板式旋翼左右槳葉的揮舞運(yùn)動始終是同步的，即對于整副旋翼，其受到的哥氏力在頻率不變的情況下，幅值為單片槳葉的2 倍。算例中哥氏力的幅值量級已經(jīng)和直升機(jī)的起飛重量相當(dāng)，如果不經(jīng)過減振，將引起直升機(jī)各部件劇烈的振動。

2.3 簡諧激勵下的揮舞運(yùn)動

圖10 取槳葉旋轉(zhuǎn)一周（1 個揮舞運(yùn)動周期）的計算結(jié)果

圖11 揮舞角與單片槳葉哥氏力的關(guān)系

設(shè)存在四階揮舞激振力[3]，大小分別為F1=500 N，F(xiàn)2=200 N，F(xiàn)3=100 N，F(xiàn)4=50 N，對應(yīng)頻率分別為ω、2ω、3ω、4ω，其他參數(shù)的初始值與上文所述保持一致。計算結(jié)果如圖12 所示。

圖12 揮舞運(yùn)動時域響應(yīng)計算結(jié)果

由以上結(jié)果可得，旋翼在激振力的作用下，最后達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)，揮舞橡膠的振動幅值約為0.53 mm，對應(yīng)的加速度幅值約0.3 g。下面將進(jìn)行頻譜分析。

設(shè)我們關(guān)注的最高頻率為10.8Hz×4=44Hz，根據(jù)采樣定理，設(shè)采樣頻率為100 Hz。我們希望得到的頻率之間的間隔≤0.25 Hz，則取最小采樣長度為N=00/0.2=500。對時域結(jié)果進(jìn)行傅里葉分析。結(jié)果如圖13 所示。

圖13 揮舞運(yùn)動頻譜分析結(jié)果

計算結(jié)果共得到5 個頻率值，分別是2.4 Hz（結(jié)構(gòu)揮舞固有頻率）、10.8 Hz（1 階激振頻率）、21.6 Hz（2 階激振頻率）、32.4 Hz（3 階激振頻率）、43.4 Hz（4 階激振頻率），縱坐標(biāo)表示各階頻率振動的幅值大小情況。

保持k1=50 000 N/m，c1=1 000 N·s/m 不變，分析h 對振動幅值的影響，計算結(jié)果如圖14，圖15 所示。

圖14 橡膠垂向位置h 對10.8 Hz 的振幅影響

圖15 橡膠垂向位置h 對21.6 Hz 的振幅影響

由以上計算結(jié)果可知，揮舞振動幅值與揮舞橡膠的位置基本是線性關(guān)系，橡膠距離揮舞角越遠(yuǎn)，振動幅值越大。在實(shí)際的旋翼設(shè)計中，直升機(jī)的操縱靈活性與槳轂力矩有很大關(guān)系，如果揮舞方向完全自由，無揮舞橡膠的約束，則旋翼操縱時，機(jī)身完全依靠旋翼氣動力的改變來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動狀態(tài)的改變，而揮舞橡膠的存在使得槳轂對機(jī)身產(chǎn)生了揮舞方向上額外的槳轂力矩，從而使直升機(jī)的操縱靈活性得到提高[5]，然而揮舞力矩過強(qiáng)時，槳轂以及槳葉所受的揮舞力矩會非常大，同時揮舞振動也更多的傳遞到主軸上，這樣就對槳轂、槳葉以及主軸的強(qiáng)度和疲勞壽命提出了更高的要求。在實(shí)際的設(shè)計中，應(yīng)綜合考慮h 的取值。

如果k1調(diào)整到50 000 N/m 保持不變，分析c1的影響，其主要影響固有頻率幅值的變化，對激振力的幅值影響不大，結(jié)果如圖16 所示。

圖16 阻尼c1 對振動幅值的影響

2.4 哥氏力作用下的擺振運(yùn)動

設(shè)哥氏力幅值為1 000 N（約102 kg，對應(yīng)約12°的揮舞角），根據(jù)上文擺振運(yùn)動方程，將哥氏力作為激振力進(jìn)行響應(yīng)計算。由計算結(jié)果可得，在哥氏力的作用下，擺振運(yùn)動最終趨向穩(wěn)定振動，揮舞橡膠的振動幅值約為0.75 mm，對應(yīng)的加速度幅值約0.7 g。下面將對擺振運(yùn)動進(jìn)行頻譜分析。

已知我們關(guān)注的最高頻率為10.8 Hz×2=21.6 Hz，所以設(shè)采樣頻率為60 Hz。我們希望得到的頻率之間的間隔≤0.25 Hz，取采樣長度為N=250。將時域信號進(jìn)行傅里葉計算，結(jié)果如圖17 所示。

圖17 擺振運(yùn)動頻譜分析計算結(jié)果

計算得到2 個頻率值，分別是2.88 Hz（結(jié)構(gòu)擺振固有頻率）和21.6 Hz（哥氏力激振頻率），且觀察縱坐標(biāo)能了解他們的幅值大小情況。

保持阻尼c2=1 000 N·s/m 不變，改變k2的大小，看頻譜響應(yīng)的變化，如圖18 所示。

隨著k2的增加，旋翼固有頻率逐漸提高，到k2=2 500 000 N/m左右時，哥氏力激振頻率接近旋翼固有頻率，發(fā)生共振，位移和加速度都達(dá)到最大值，為保證結(jié)構(gòu)安全，實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，k2應(yīng)在50 000 N/m 以下。

如果k2調(diào)整到50 000 N/m 保持不變，分析c2的影響，可得到c2的大小主要會影響固有頻率峰值的改變，而對哥氏力21.6 Hz 的峰值影響不大。如圖19 所示。

當(dāng)阻尼值很小時，頻譜分析得到2 個峰值，包括固有頻率和激振力的幅值，且兩者的位移幅值基本相當(dāng)，固有頻率的加速度幅值較小。當(dāng)阻尼逐漸增加時，固有頻率逐漸消失。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計中如果要避免固有頻率的影響，除了直接改變固有頻率的頻率值使其遠(yuǎn)離激振頻率以外，還可以增加阻尼值，從而使固有頻率不容易被激振出來，使其影響降到最小，該例中，當(dāng)c2的值大于500 N·s/m 以上時，固有頻率的影響就不再明顯。

3 結(jié)論

通過以上的計算和分析，主要得到以下結(jié)論。

首先，揮舞運(yùn)動的影響系數(shù)中，其對固有頻率的影響從大到小分別為剛度系數(shù)k1、揮舞橡膠的相對垂向位置h、槳葉的重量m、擺振鉸外伸量p、槳轂重量mhub。擺振運(yùn)動的影響系數(shù)中，其對固有頻率的影響從大到小分別為剛度系數(shù)k2、擺振橡膠相對位置q、槳葉質(zhì)量m 以及擺振鉸外伸量p。

其次，為降低旋翼揮舞和擺振固有頻率，可適當(dāng)采用重量較大的槳葉，能夠達(dá)到適當(dāng)降低固有頻率的目的。

再次，對于蹺蹺板式旋翼，整副旋翼受到的哥氏力在頻率不變的情況下，幅值為單片槳葉的2 倍，擺振橡膠剛度在不影響結(jié)構(gòu)裝配性的情況下，應(yīng)盡量選擇剛度系數(shù)較小和阻尼系數(shù)較大的擺振橡膠。

另外，減震橡膠的剛度變化影響旋翼的固有頻率，如果固有頻率距離激振頻率太近，則容易發(fā)生共振。較小的橡膠剛度系數(shù)，可使旋翼的固有頻率遠(yuǎn)離哥氏力、揮舞氣動激振力以及其各階諧波的影響。減震橡膠的阻尼參數(shù)主要影響旋翼固有頻率的響應(yīng)幅值。

最后，揮舞橡膠剛度系數(shù)和相對垂向位置與激振力的響應(yīng)幅值成正相關(guān)的關(guān)系，同時也與直升機(jī)的操縱靈敏性有關(guān)系，在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，應(yīng)靈活確定其參數(shù)。

圖18 k2 對振動幅值的影響

圖19 阻尼c2 對振動幅值的影響