趙仁和，王軍鋒

(西安理工大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

1 引言

圖像分割是根據(jù)圖像的特征信息將圖像分成若干特定區(qū)域的過程。作為預(yù)處理步驟，圖像分割在許多計(jì)算機(jī)視覺應(yīng)用中起著重要的作用，例如物體識(shí)別、視頻監(jiān)控和醫(yī)學(xué)圖像分析等。迄今為止，研究人員已經(jīng)提出了各種各樣的圖像分割方法。近年來(lái)，基于偏微分方程的圖像分割模型，特別是與水平集方法[1,2]相結(jié)合的圖像分割模型開始流行，該模型最初來(lái)源于Kass等人[3]提出的活動(dòng)輪廓模型或稱為蛇模型?；顒?dòng)輪廓模型的基本思想是將圖像分割問題歸結(jié)為極小化一個(gè)封閉曲線的能量泛函，然后通過變分法[4]使位于目標(biāo)附近的初始曲線不斷地朝著目標(biāo)的輪廓處移動(dòng)，最終停止在真正的目標(biāo)輪廓處。

現(xiàn)有活動(dòng)輪廓模型基本可以分為基于邊緣的模型和基于區(qū)域的模型2種。基于邊緣的模型[5]通常使用圖像的局部梯度信息來(lái)驅(qū)使零水平集輪廓朝對(duì)象的邊界移動(dòng)，這對(duì)于一些具有清晰邊界的圖像特別有效。然而，這類模型通常對(duì)噪聲和初始輪廓敏感，對(duì)于具有較小梯度值的弱邊界也容易發(fā)生邊緣泄漏?；趨^(qū)域的模型[5 - 8]利用圖像統(tǒng)計(jì)信息來(lái)推動(dòng)活動(dòng)輪廓覆蓋對(duì)象邊界，它們利用區(qū)域圖像信息來(lái)驅(qū)動(dòng)水平集演化，可以分割具有弱邊界甚至沒有邊界的圖像。例如，CV(Chan-Vese)模型[9]根據(jù)圖像的全局灰度均值信息推動(dòng)曲線演化，其對(duì)噪聲圖像和具有弱邊界的圖像具有良好的分割效果，但是CV模型無(wú)法分割強(qiáng)度不均勻圖像。為了解決該問題，Li等人[10]提出了基于圖像局部信息的LBF(Local Binary Fitting)模型，LBF模型可以有效分割強(qiáng)度不均勻圖像，但局部信息的引入也帶來(lái)了模型對(duì)初始輪廓敏感等問題。隨后Li等人[11]提出了一種新的基于區(qū)域的圖像分割模型——局部強(qiáng)度聚類LIC(Local Intensity Clustering)，LIC模型對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像進(jìn)行建模，利用圖像的局部強(qiáng)度聚類特性，可以在分割圖像的同時(shí)估計(jì)偏移場(chǎng)。然而LBF模型和LIC模型均對(duì)尺度參數(shù)和噪聲敏感。

為了更好地解決上述文獻(xiàn)中模型對(duì)初始輪廓和尺度參數(shù)敏感的問題，本文提出了一種自適應(yīng)尺度的活動(dòng)輪廓模型，用于分割圖像和估計(jì)偏移場(chǎng)。在迭代過程中，根據(jù)局部圖像熵計(jì)算合適的尺度參數(shù)，避免了因尺度參數(shù)固定而造成的分割誤差，提高了模型的精確性和穩(wěn)定性。

2 相關(guān)模型

2.1 LBF模型

為了解決由圖像強(qiáng)度不均勻?qū)е碌姆指钍栴}，Li等人提出了局部二元擬合LBF模型，該模型利用了圖像的局部信息，對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像具有良好的分割效果，其能量函數(shù)定義為：

(1)

其中,λ1,λ2,μ和ν為固定的正常數(shù)，x,y是圖像中的點(diǎn),I(y)是輸入圖像，f1,f2是曲線C內(nèi)部和外部的局部強(qiáng)度均值的最佳近似。Kσ是一個(gè)截?cái)喔咚购撕瘮?shù)，σ是高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱為尺度參數(shù)。H(·)為Heaviside函數(shù)的正則化形式，定義為：

(2)

其中ε是一個(gè)常數(shù)，用于控制Heaviside函數(shù)從0上升到1的快慢。Hε(x)的導(dǎo)數(shù)形式定義為：

2.2 LIC模型

為了處理強(qiáng)度不均勻圖像，Li等人在文獻(xiàn)[11]中提出了基于區(qū)域的局部強(qiáng)度聚類(LIC)模型。LIC模型基于偏移場(chǎng)b緩慢且平滑地變化的假設(shè)，將真實(shí)圖像在不相交區(qū)域Ω1和Ω2的強(qiáng)度值近似為常數(shù)c1和c2。其局部強(qiáng)度聚類函數(shù)定義為：

(3)

其中，Kσ(x-y)和Hε的定義與式(1)的相同，c是由ci組成的向量。LIC模型可以有效分割強(qiáng)度不均勻圖像并估計(jì)偏移場(chǎng)。

3 自適應(yīng)尺度的局部強(qiáng)度聚類模型

在圖像分割中，LBF和LIC模型中的尺度參數(shù)均對(duì)分割結(jié)果起著至關(guān)重要的作用。本文提出了一種尺度參數(shù)自適應(yīng)的局部強(qiáng)度聚類模型，用于分割強(qiáng)度不均勻圖像并同時(shí)估計(jì)偏移場(chǎng)。

3.1 自適應(yīng)尺度參數(shù)

ELoc(x,Oy)=

(4)

圖像在小鄰域Oy內(nèi)的灰度分布越均勻，對(duì)應(yīng)的圖像局部熵就越大；反之，其圖像局部熵就越小。因此，我們可以根據(jù)這一規(guī)律來(lái)構(gòu)造一個(gè)自適應(yīng)尺度算子，用來(lái)自適應(yīng)地更新核函數(shù)的尺度參數(shù)。尺度參數(shù)定義為：

(5)

其中,Ein為零水平集輪廓C內(nèi)部各點(diǎn)的圖像局部熵集合，mean(·)是取均值操作，T是正規(guī)化因子。局部鄰域半徑ρ通常設(shè)置為ρ=4σ+1。

隨著灰度不均勻程度的增大，尺度參數(shù)σ減小，局部鄰域半徑ρ越來(lái)越小，這樣可以使模型的分割更加精細(xì)；反之，隨著灰度不均勻程度的減小，尺度參數(shù)σ增加，局部鄰域半徑ρ越來(lái)越大，可以加快分割速度。

3.2 能量函數(shù)

通常對(duì)于強(qiáng)度不均勻圖像采用如下建模方式：

I(x)=b(x)J(x)+n(x)

(6)

其中,I是輸入圖像，J是真實(shí)圖像，n是加性噪聲，b是在整個(gè)圖像區(qū)域上具有緩慢且平滑變化特性的偏移場(chǎng)。

在圖像Ω上任意給定一個(gè)點(diǎn)y∈Ω，以y為中心，考慮一個(gè)相對(duì)較小的圓形鄰域Oy，定義為Oy{x:|x-y|≤ρ}，其半徑為ρ。假設(shè)偏移場(chǎng)具有緩慢變化的特性，圓形鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)的偏移場(chǎng)的值都可以近似為中心點(diǎn)的值b(y)。對(duì)于真實(shí)圖像的每一個(gè)區(qū)域Ωi，其強(qiáng)度值都被近似為一個(gè)常數(shù)ci，因此在每一個(gè)子區(qū)域Ωi中，若x∈Oy∩Ωi,則b(x)J(x)的強(qiáng)度都可以近似為b(y)ci，即:

b(x)J(x)≈b(y)ci，x∈Oy∩Ωi

(7)

在LIC模型中，偏移場(chǎng)b的平滑性是假設(shè)的，為了進(jìn)一步確保偏移場(chǎng)b的緩慢和平滑變化的性質(zhì)，Li等人[13]將偏移場(chǎng)b表示為給定的一組平滑基函數(shù)G(x)與加權(quán)系數(shù)矩陣W的線性組合，即:

b(x)=WTG(x)

(8)

對(duì)于G(x)的選取，本文采用勒讓德正交多項(xiàng)式，并將其引入到活動(dòng)輪廓模型中：

b(y)ci=WTG(y)ci,x∈Oy∩Ωi

(9)

根據(jù)圖像的局部強(qiáng)度聚類特性，可以使用聚類算法將小鄰域Oy中的強(qiáng)度分為N類，為了計(jì)算方便，本文使用標(biāo)準(zhǔn)K-means聚類，聚類中心為WTG(y)ci,i=1,…,N，圖像局部強(qiáng)度聚類函數(shù)定義如下：

(10)

將局部強(qiáng)度聚類擴(kuò)展到整個(gè)圖像域Ω上可以得到最終的能量泛函：

(11)

4 模型求解

式(11)中的這種表達(dá)式很難得出能量最小化問題的解決方案，因此我們引入水平集函數(shù)，通過使用變分法來(lái)解決能量最小化問題。本文數(shù)值實(shí)現(xiàn)以兩相水平集(N=2)為例，多相水平集的情況可同理擴(kuò)展。

區(qū)域Ω1和Ω2可以由如下隸屬函數(shù)表示：

(12)

根據(jù)式(12)重寫式(11)中的能量函數(shù)為：

(13)

交換積分順序可得：

(14)

(15)

其中,μ和ν是正常數(shù)，長(zhǎng)度項(xiàng)和懲罰項(xiàng)的定義如下所示：

(16)

(17)

(18)

V是一個(gè)M維向量：

(19)

然后可以通過式(8)來(lái)更新b。

(20)

本文模型實(shí)現(xiàn)步驟具體如下所示：

步驟2初始化正交基函數(shù)G，計(jì)算圖像局部熵。

步驟3開始循環(huán)。根據(jù)式(5)計(jì)算尺度參數(shù)。

步驟5若水平集函數(shù)收斂或達(dá)到最大迭代次數(shù)，停止迭代。否則，返回步驟3。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文首先對(duì)醫(yī)學(xué)圖像和自然圖像分別進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，通過與CV模型、LBF模型、局部CV模型LCV(Local CV)[15]以及LIC模型進(jìn)行比較，驗(yàn)證本文模型具有較高的分割精度。然后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文模型對(duì)初始化輪廓和噪聲的魯棒性。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel Core i5-3470 CPU @ 3.20 GHz，RAM 4.00 GB，64位操作系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)軟件為Matlab R2012b。實(shí)驗(yàn)中的常用默認(rèn)參數(shù)設(shè)置為ν=0.001×2552,μ=1,λ1=λ2=1,ε=1,T=3，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.1。

本文首先對(duì)2幅醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文模型對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像的分割精度和對(duì)偏移場(chǎng)估計(jì)的能力，結(jié)果如圖1所示。

Figure 1 Segmentation results and bias field estimation of intensity inhomogeneity images圖1 強(qiáng)度不均勻圖像的分割結(jié)果和偏移場(chǎng)估計(jì)

從圖1可以看出，本文模型對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像具有良好的視覺分割效果。對(duì)于分割精度的度量，本文采用Jaccard相似度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。Jaccard相似度的定義如下所示：

(21)

其中，S1表示模型的分割結(jié)果，S2表示該圖像的GroundTruth。Jaccard相似度越接近于1，代表圖像分割算法精度越高。

Figure 2 Segmentation results comparison of 5 images by different models圖2 不同模型對(duì)5幅圖像的分割結(jié)果比較

圖2選取了5幅圖像進(jìn)行不同模型的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中3幅為強(qiáng)度不均勻的醫(yī)學(xué)圖像，2幅為強(qiáng)度均勻的自然圖像，自然圖像的選取來(lái)自于BSDS500數(shù)據(jù)集，初始輪廓位置均取圖像中心方形區(qū)域。

由于CV模型和LCV模型引入了全局圖像信息，因此對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像的分割效果較差，而LBF模型因?qū)λ郊跏蓟恢妹舾?，也無(wú)法完成分割。LIC模型雖然對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像有著一定的分割效果，但在圖2中的圖像2和圖像3中還是存在一些微小誤分區(qū)域，與其他4種模型相比，本文模型對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像和自然圖像均擁有最好的分割效果。表1列出了各模型對(duì)圖2中5幅圖像分割結(jié)果的Jaccard相似度，可以看出本文模型的Jaccard相似度最接近于1，這進(jìn)一步證明了本文模型擁有更高的分割精度。

Table 1 Jaccard similarity obtained by different models表1 不同模型分割得到的Jaccard相似度

圖2中5種不同圖像分割模型的運(yùn)行時(shí)間如表2所示。

由表2可以看出，本文模型利用圖像局部熵自適應(yīng)地更新尺度參數(shù)，極大地加快了曲線的演化速度，使得曲線快速收斂至目標(biāo)邊緣，與其他4種模型相比，能在保證精度的前提下?lián)碛休^快的速度。

Table 2 Runtime of different models表2 不同模型的運(yùn)行時(shí)間 s

以下實(shí)驗(yàn)用于驗(yàn)證本文模型對(duì)水平集函數(shù)初始位置和形狀的魯棒性。由圖3可以看出，無(wú)論初始化輪廓位置形狀如何，是否包含目標(biāo)物體，本文模型都能得到相似的分割結(jié)果，初始輪廓位置和形狀的不同并不會(huì)影響本文模型的分割結(jié)果。以Jaccard相似度為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行定量分析，圖3中4種不同水平集初始化的分割結(jié)果的Jaccard相似度分別為0.988 7, 0.991 6, 0.992 1, 0.987 2，說明本文模型對(duì)水平集初始輪廓位置和形狀具有較強(qiáng)的魯棒性。

Figure 3 Robustness verification of initialization position圖3 初始化位置的魯棒性驗(yàn)證

圖4給出了在原始圖像上加入均值為0、方差為0.01的高斯噪聲圖像，并給出了同等信噪比下各個(gè)模型的分割結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型可以有效抑制噪聲點(diǎn)的影響，對(duì)噪聲圖像具有很強(qiáng)的魯棒性，與其他模型相比，本文模型的分割效果最好。

Figure 4 Robustness verification for noise圖4 對(duì)噪聲的魯棒性驗(yàn)證

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)圖像分割模型對(duì)尺度參數(shù)敏感的問題，本文提出了一種自適應(yīng)尺度參數(shù)的局部非均勻強(qiáng)度聚類的圖像分割模型，該模型可以在分割強(qiáng)度不均勻圖像的同時(shí)估計(jì)偏移場(chǎng)。本文模型充分利用區(qū)域活動(dòng)輪廓模型的特性，根據(jù)圖像的局部熵構(gòu)建自適應(yīng)尺度算子，在每次迭代過程中自適應(yīng)更新尺度參數(shù)，大大增加了模型的精確性。除此之外，本文還使用給定的一組平滑正交基函數(shù)的線性組合來(lái)表示偏移場(chǎng)，提高了模型的穩(wěn)定性。通過實(shí)驗(yàn)表明，本文模型對(duì)醫(yī)學(xué)圖像、人工合成圖像和自然圖像均具有較高精度的分割結(jié)果，具有較好的分割效率，且對(duì)水平集函數(shù)的初始化位置、輪廓和噪聲圖像具有一定魯棒性。