秦朝俊

（航空工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京100095）

0 引言

在雙離心機(jī)的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)中主要對(duì)被測(cè)加速度計(jì)的幅頻特性、相頻特性以及幅值線性度進(jìn)行計(jì)量。在幅頻特性和相頻特性的計(jì)量中，在被測(cè)加速度計(jì)工作頻率范圍內(nèi)選取n個(gè)點(diǎn)［1］，主離心機(jī)保持恒定加速度輸出，即輸入正弦加速度信號(hào)峰值保持不變［2］，從離心機(jī)同時(shí)進(jìn)行變速和轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)，改變加速度計(jì)敏感軸輸入角和頻率，達(dá)到產(chǎn)生正弦動(dòng)態(tài)加速度的目的［3］，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)［4］。通過(guò)采集處理加速度計(jì)的輸出值，計(jì)算出每個(gè)頻率點(diǎn)下的靈敏度和正弦分量的相位延遲。在幅值線性度計(jì)量中，輸入正弦加速度信號(hào)頻率保持不變，在被測(cè)加速度計(jì)量程范圍內(nèi)選取n個(gè)點(diǎn)，依次增大輸入正弦加速度信號(hào)幅值［1］（即從離心機(jī)保持恒定速度輸出不變，主離心機(jī)進(jìn)行變速運(yùn)動(dòng)），通過(guò)采集處理加速度計(jì)的輸出值，計(jì)算出幅值線性度。其中數(shù)據(jù)處理部分要對(duì)采集的加速度計(jì)的輸出值進(jìn)行三角曲線擬合，用到的擬合算法均為三參數(shù)的余弦擬合算法。本文對(duì)三參數(shù)余弦算法的原理進(jìn)行分析，并介紹其在雙離心機(jī)線加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的實(shí)際應(yīng)用和程序?qū)崿F(xiàn)。同時(shí)介紹了在幅頻特性和相頻特性中采集點(diǎn)的優(yōu)化選取方式。利用雙離心機(jī)進(jìn)行某型線加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合得到測(cè)試結(jié)果，驗(yàn)證編寫的三參數(shù)余弦算法程序的可行性。

1 三參數(shù)余弦算法

三參數(shù)余弦擬合，特指信號(hào)頻率已知時(shí)獲取幅度、相位和直流偏移的波形擬合方法，其宗旨是擬合函數(shù)和采樣序列各點(diǎn)的殘差平方和最小，從而獲得正弦波形序列最小二乘擬合結(jié)果。它是一種閉合算法，無(wú)需迭代即能獲得結(jié)果，沒(méi)有收斂問(wèn)題，具有良好的實(shí)用性［5］。

在雙離心機(jī)的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)中，由于所用的測(cè)量工具、環(huán)境條件、測(cè)量方法、重復(fù)次數(shù)以及操作者不變，即測(cè)量條件不變，所以是等精度測(cè)量，在這種情況下所進(jìn)行的各次測(cè)量結(jié)果具有同等可靠程度，具有同樣的精度。為了使得殘余誤差v的平方和最小，即=最小（p為各次測(cè)量結(jié)果的權(quán)重），在等精度測(cè)量中，p1=p2=… =pn，殘余誤差平方和最小可寫為：+… +v2n=最小。

設(shè)理想正弦信號(hào)為

式中：f為頻率；t為時(shí)間；C0，A0，B0，D0為參數(shù)。三參數(shù)余弦曲線擬合過(guò)程中，數(shù)據(jù)采樣序列為時(shí)刻t1，t2，t3，…，tn，輸入角頻率ω已知，尋找 A，B，D，使得式（2）的殘差平方和E最小。

式中：i為采樣點(diǎn)數(shù)；參數(shù)A，B，D為A0，B0，D0的最小二乘擬合值。為尋找出A，B，D，構(gòu)造以下矩陣

線性參數(shù)的誤差方程可表示為

在等精度測(cè)量時(shí)，殘余誤差平方和

為了求最佳估計(jì)值A(chǔ)，B，D使得式（5）的值最小，可利用求極值的方法來(lái)滿足上式的條件，因?yàn)闅堄嗾`差平方和大于等于0，所以一定存在極小值，即當(dāng)一階殘余誤差平方和最小，即

式中：yT為常數(shù)矩陣；MT為系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。則式（7）可以寫為

擬合函數(shù)的幅值C和相位θ表達(dá)形式為［6］

2 三參數(shù)余弦算法的程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)三參數(shù)余弦算法的計(jì)算過(guò)程，采用軟件Visual Studio 2013進(jìn)行編程，程序?qū)崿F(xiàn)分為以下步驟：建立M矩陣、求M轉(zhuǎn)置矩陣、MTM矩陣、（MTM）-1矩陣、MTy矩陣、（MTM）-1MTy矩陣。其中MT為3行n列矩陣，M為n行3列矩陣，y為n行1列矩陣，nAcq-Time為采樣點(diǎn)數(shù)，F(xiàn)req為輸入頻率，acqData為采集到的實(shí)際值。圖1為計(jì)算流程圖。

從流程圖中可以看出構(gòu)建正確的M矩陣和y矩陣，對(duì)正確處理數(shù)據(jù)起到關(guān)鍵作用，以下是構(gòu)建的過(guò)程。

1）M矩陣

for（i=0；i＜nAcqTime；i++） //存放 M矩陣的值，0.01表示采樣間隔為10 ms

｛

M［i］［2］ =1；

M［i］［1］=sin（2*PII*Freq*（i+1）*0.01）；//Freq為輸入頻率

圖1 計(jì)算流程圖

M［i］［0］=cos（2*PII*Freq*（i+1）*0.01）；

｝

2）y矩陣

for（i=0；i＜nAcqTime；i++）

｛

yout［i］［0］ =g_AcqData-＞acqData［i］； //acqData為采集到的加計(jì)輸出值。

｝

根據(jù)流程圖計(jì)算順序計(jì)算出（MTM）-1MTy，計(jì)算結(jié)果存放在result矩陣中，result矩陣為3行1列矩陣，其中的數(shù)據(jù)即為要求的最佳擬合值A(chǔ)，B，D。

3 幅、相頻測(cè)試中采集點(diǎn)的獲取

根據(jù)被測(cè)加速度計(jì)的幅頻特性和相頻特性測(cè)試的測(cè)試過(guò)程和計(jì)算結(jié)果分析，被測(cè)加速度計(jì)的幅頻特性和相頻特性完全可以測(cè)試一次得出結(jié)論。確定被測(cè)加速度計(jì)質(zhì)心精確位置是困難的，根據(jù)被測(cè)加速度計(jì)的輸出多次調(diào)整工裝安裝位置，盡量減少質(zhì)心與從離心機(jī)旋轉(zhuǎn)軸安裝偏差［7-10］?？紤]到初始相位角的計(jì)算條件一致性問(wèn)題，在確定被校加速度計(jì)初始相位后，將從離心機(jī)光柵編碼器進(jìn)行光學(xué)尋零位后，再轉(zhuǎn)過(guò)初始相位角，數(shù)顯表角度歸零。

為了保證每個(gè)頻率點(diǎn)的采集數(shù)據(jù)有效，需要保證開(kāi)始采集數(shù)據(jù)時(shí)，從離心機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的角度剛好是360°的整數(shù)倍。當(dāng)接收到采集的信號(hào)時(shí)，判斷上一次采集的角度/360，并向下取整，當(dāng)前采集的角度/360，并向下取整，兩者相減，剛好等于1。這樣就保證了當(dāng)前開(kāi)始采集的角度剛好是過(guò)360°的整數(shù)倍的角度，減少相位延遲的計(jì)算不會(huì)產(chǎn)生因?yàn)椴杉瘮?shù)據(jù)造成的影響。數(shù)據(jù)采集流程如圖2所示。

圖2 數(shù)據(jù)采集流程圖

數(shù)據(jù)采集程序?yàn)椋?/p>

pos=PCodeFuncPort（Axis_Func_Get_CurPos）-＞getCurPos（）；

if（g_CmdData-＞bAcqFlag［id］）

｛

if（abs（floor（lastPos/360）-floor（pos/360））==1）

｛

RtSetEvent（hACQEvent［id-1］）；

g_RptData-＞bAcqReceived［id］=TRUE；

g_RptData-＞startacqpos［id］=pos；

g_CmdData-＞bAcqFlag［id］=0；

g_AcqData-＞count=0；

g_AcqData-＞bAcqfinish=FALSE；

｝

｝

lastPos=pos；

4 曲線擬合以及校準(zhǔn)結(jié)果

選用某型線加速度計(jì)進(jìn)行幅頻、相頻特性試驗(yàn)，基于雙離心機(jī)的技術(shù)指標(biāo)［8］，選定主離心機(jī)復(fù)現(xiàn)正弦加速度幅值100 m/s2，從離心機(jī)給定頻率0.1，1，5，10 Hz四個(gè)頻率點(diǎn)，進(jìn)行此型線加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)試驗(yàn)。圖3至圖6中給出的是采集板卡采集加速度計(jì)電壓后的實(shí)測(cè)曲線。

通過(guò)式（14），根據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)、選定的采集頻率及采集到的加速度計(jì)輸出值構(gòu)建M矩陣和y矩陣，依據(jù)圖1的流程圖，計(jì)算出（MTM）-1MTy，可求出X0矩陣中A，B，D的值，進(jìn)而求得擬合幅值和相位。

圖3 0.1 Hz實(shí)測(cè)曲線

圖4 1 Hz實(shí)測(cè)曲線

圖5 5 Hz實(shí)測(cè)曲線

圖6 10 Hz實(shí)測(cè)曲線

通過(guò)擬合運(yùn)算可以得到回歸值曲線，如圖7至圖10所示。

圖7 0.1 Hz擬合曲線

圖8 1 Hz擬合曲線

圖9 5 Hz擬合曲線

根據(jù)計(jì)算得到對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)下加速度計(jì)的靈敏度Si，以加速度計(jì)在重力場(chǎng)下的標(biāo)度因數(shù)S0為參照，依據(jù)式（15）進(jìn)行歸一化處理，求出加速度計(jì)在相應(yīng)頻率點(diǎn)的比值，計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示。

式中：i為頻率點(diǎn)數(shù)，i=1，2，3，…，n。

圖10 10 Hz擬合曲線

表1 幅頻特性校準(zhǔn)（輸入峰值為100 m/s2）

表2 歸一化處理后的靈敏度

通過(guò)起始試驗(yàn)確定加速度計(jì)初始相位角φ-0，并通過(guò)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)擬合計(jì)算出各頻率點(diǎn)下的相位角φ-ι，根據(jù)式（16）得到對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)下的相位延遲角Δφi，計(jì)算結(jié)果如表3和表4所示。

表3 相頻特性校準(zhǔn)（輸入峰值為100 m/s2）

表4 各個(gè)頻率點(diǎn)的相位延遲

最終通過(guò)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)測(cè)試計(jì)算結(jié)果即可獲到某型加速度計(jì)的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖11和圖12所示。通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)，證明本文編寫的三參數(shù)余弦算法程序在雙離心機(jī)法線加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)中具有運(yùn)行高效、準(zhǔn)確、智能化程度高等各項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)，具有很好的可行性與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖11 幅頻特性曲線

圖12 相頻特性曲線

5 結(jié)論

選用加速度計(jì)進(jìn)行動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)并對(duì)獲取的試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，按照最小二乘法的條件計(jì)算，能夠充分利用誤差的抵償作用，有效降低隨機(jī)誤差的影響，所得到的結(jié)果具有最可依賴性。三參數(shù)余弦算法的推導(dǎo)就是建立在以上條件下進(jìn)行的，由于實(shí)際測(cè)量問(wèn)題多屬線性，而且非線性參數(shù)借助于級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法可在某一區(qū)域近似地轉(zhuǎn)化成線性的形式，所以整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程用的是線性參數(shù)的測(cè)量方程。

在雙離心機(jī)的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)中，加速度計(jì)的幅頻特性、相頻特性、幅值線性度參數(shù)的準(zhǔn)確獲取，關(guān)鍵在于數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的三角曲線擬合，因此三參數(shù)余弦算法貫穿在整個(gè)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)過(guò)程中，具有關(guān)鍵作用，數(shù)據(jù)處理的結(jié)果直接體現(xiàn)出被測(cè)加速度計(jì)的本身特性。雙離心機(jī)線加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)中數(shù)據(jù)采集處理的程序化，極大地提高了測(cè)試效率和測(cè)試精度，為加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性的測(cè)試工作提供重要支撐。