陳 華,劉新宇,趙學(xué)峰

(1.馬鞍山學(xué)院 人工智能學(xué)院,安徽 馬鞍山 243100;2.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214000;3.中達(dá)電子(江蘇)有限公司,江蘇 蘇州 215000)

串聯(lián)機(jī)器人的性能衡量主要取決于重復(fù)性和精確性這兩個(gè)重要的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).其中可重復(fù)性被定義為機(jī)器人能夠精確地移動(dòng)到先前指定點(diǎn)的能力.精確度是由末端執(zhí)行器能夠移動(dòng)到指令點(diǎn)的精度來(lái)表示的.但目前,大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人通過(guò)應(yīng)用在線編程方法執(zhí)行任務(wù),工作精度和效率相對(duì)較低.

隨著離線編程技術(shù)引入到機(jī)器人行業(yè),離線編程技術(shù)的優(yōu)勢(shì)已經(jīng)逐步得到人們的認(rèn)可.由于在離線編程模式下工作,提高了機(jī)器人工作效率,比教學(xué)模式更適合復(fù)雜的操作.而且一般離線編程技術(shù)應(yīng)用現(xiàn)有CAD 數(shù)據(jù)及機(jī)器人理論結(jié)構(gòu)參數(shù)所構(gòu)建的機(jī)器人模型與實(shí)際模型之間存在誤差,因此位置精度變得至關(guān)重要[1].文獻(xiàn)[2]研究表明:工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)性比位置精度好得多,且位置精度受機(jī)器人重復(fù)性的限制.在保證良好的可重復(fù)性前提下,可以應(yīng)用標(biāo)定技術(shù)來(lái)提高機(jī)器人的精度.由于一些影響因素(如振動(dòng)、制造和裝配誤差)的存在使得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)存在誤差.目前大多研究只關(guān)注末端位姿誤差的分析,先分析單個(gè)類(lèi)型運(yùn)動(dòng)學(xué)變量對(duì)末端的影響,再把所有類(lèi)型運(yùn)動(dòng)學(xué)變量對(duì)末端位姿的影響進(jìn)行線性疊加.但在研究影響串聯(lián)機(jī)器人手腕位姿的誤差中,發(fā)現(xiàn)其主要誤差還包括非標(biāo)機(jī)械零部件的加工精度誤差、各部分裝配間隙誤差和標(biāo)準(zhǔn)件的精度誤差,以及溫度變化、動(dòng)負(fù)載等作用使得機(jī)器人桿件產(chǎn)生的柔性變形.此外,傳動(dòng)誤差和控制系統(tǒng)誤差(控制算法本身的缺陷)也使得誤差分析模型顯得非常復(fù)雜和缺少規(guī)律可循[3].顯然這類(lèi)分析方法忽視了運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何參數(shù)的綜合作用對(duì)末端執(zhí)行器位姿的影響.這些機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的誤差很小,但也會(huì)給機(jī)器人末端執(zhí)行器造成很大的偏差，因此機(jī)器人誤差敏感度分析顯得格外重要.

為了提高串聯(lián)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度,筆者提出一種基于微分法和矩陣法對(duì)串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行誤差源分析的方法.先分析單個(gè)連桿姿態(tài)矩陣的微小誤差,再采用積分法分析N個(gè)連桿末端的位姿誤差,采用微分法和修正Denavit-Hartenberg(MDH)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(增加了第5個(gè)參數(shù)的Denavit-Hartenber(DH)方法),將其先繞x軸旋轉(zhuǎn),再繞z軸旋轉(zhuǎn),對(duì)末端位姿誤差的敏感度進(jìn)行分析.

1 機(jī)械手的函數(shù)誤差模型的構(gòu)建

為簡(jiǎn)化幾何誤差的模型,目前研究都是將其誤差主要來(lái)源歸結(jié)于結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差和運(yùn)動(dòng)變量誤差[4-5].假設(shè)機(jī)械手的位姿誤差與各連桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差和運(yùn)動(dòng)變量誤差存在線性關(guān)系,即可采用傳遞矩陣法構(gòu)建機(jī)械手的函數(shù)誤差模型.

由MDH法可知相鄰坐標(biāo)系齊次變換矩陣為

transzi-1(di)rotzi-1(θi)transxi(ai)rotxi(αi)rotyi(βi)，

(1)

式中：cθi=cosθi;cβi=cosβi;sθi=sinθi;sαi=sinαi;sβi=sinβi;cαi=cosαi.

由式(1)可知:關(guān)節(jié)坐標(biāo)系從i-1變換到i,完全由連桿的4個(gè)參數(shù),即關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi、關(guān)節(jié)扭角αi、連桿偏距di和連桿長(zhǎng)度ai所決定.依據(jù)MDH模型,創(chuàng)建選擇順應(yīng)性裝配機(jī)器手臂(SCARA)連桿的坐標(biāo)系示意圖[6].圖1為各連桿的坐標(biāo)系示意圖.

圖1 連桿坐標(biāo)系示意圖

假設(shè)SCARA機(jī)械手末端法蘭坐標(biāo)系原點(diǎn)與標(biāo)定桿件坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,且末端法蘭坐標(biāo)系和標(biāo)定桿件坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸平行,可得到2個(gè)坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣:

(2)

式中:tx,ty和tz為標(biāo)定桿坐標(biāo)系相對(duì)于末端法蘭坐標(biāo)系的變化值.

機(jī)械手末端標(biāo)定桿的測(cè)量點(diǎn)位姿相對(duì)于基坐標(biāo)系中的位姿模型為

(3)

2 單個(gè)連桿誤差分析

由方程(1)可知,4個(gè)關(guān)節(jié)變量分別為θi,αi,di和ai.關(guān)節(jié)分為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和平移關(guān)節(jié).對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),θi為關(guān)節(jié)變量,其他參數(shù)值為已知變量.對(duì)于平移關(guān)節(jié),di為關(guān)節(jié)變量,其他參數(shù)值為已知變量.如果連桿參數(shù)存在微小誤差,就會(huì)產(chǎn)生關(guān)節(jié)變量誤差dAi.因此兩個(gè)坐標(biāo)系的精確位置變化為Ai+dAi,其中dAi與連桿參數(shù)的線性關(guān)系表示為

(4)

式中:Δθi為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差;Δdi為平移關(guān)節(jié)位移誤差.

3 N自由度串聯(lián)機(jī)器人的誤差分析

以SCARA串聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象,其末端執(zhí)行器的位姿誤差主要來(lái)源于3個(gè)部分:① 機(jī)器人連桿參數(shù)誤差造成末端法蘭位姿誤差,其連桿參數(shù)誤差主要包括θi,αi,di和ai的誤差;② 由于平行關(guān)節(jié)的齊次變換,引入關(guān)節(jié)角度βi的微小變化,導(dǎo)致機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿誤差;③ 機(jī)器人末端法蘭所連接的工具由于存在加工誤差,所以也需要誤差分析[7].

首先建立N個(gè)自由度串聯(lián)機(jī)器人末端位姿誤差分析數(shù)學(xué)模型.根據(jù)前面單個(gè)連桿的誤差分析,可以得到N個(gè)自由度串聯(lián)機(jī)器人末端位姿誤差相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿誤差模型.設(shè)末端法蘭坐標(biāo)系對(duì)于基坐標(biāo)系的變換矩陣為T(mén)N,其誤差矩陣為dTN,得到線性方程:

TN+dTN=(A1+dA1)(A2+dA2)…(AN+dAN)=

(5)

(6)

為了將式(6)描述得更為簡(jiǎn)單,將機(jī)器人末端坐標(biāo)系到第i個(gè)機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的變換矩陣定義如下:

ui=AiAi+1…AN.

(7)

dTN=TNδTN,

(8)

(9)

因此N個(gè)自由度關(guān)節(jié)末端執(zhí)行器的誤差矩陣可以描述為

(10)

第i個(gè)機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的連桿誤差矩陣可以描述如下：

(11)

定義如下表達(dá)式:

(12)

(13)

(14)

式(14)表明:各關(guān)節(jié)DH參數(shù)誤差引起的末端位姿誤差的線性疊加是造成機(jī)器人末端位姿誤差的根源.因此有

(15)

(16)

把式(15)和式(16)代入式(14)中,可得到下列表達(dá)式:

為有序推進(jìn)工程建設(shè)施工進(jìn)度，在保障工程質(zhì)量的前提下，要努力做到：一是及時(shí)檢查施工方案的執(zhí)行情況，督促施工隊(duì)落實(shí)方案的進(jìn)度，檢查原材料和半成品的進(jìn)場(chǎng)情況并及時(shí)糾正不切實(shí)際的施工方法。二是做好原材料的采購(gòu)和進(jìn)場(chǎng)準(zhǔn)備，為施工隊(duì)制定施工計(jì)劃提供保障。三是做好施工協(xié)調(diào)工作，如對(duì)影響施工的停水停電，要積極主動(dòng)排除故障，避免停工損失等。

(17)

(18)

(19)

由于機(jī)械手末端相對(duì)于其基坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)可以分解為機(jī)械手末端相對(duì)于其基坐標(biāo)系的微分平移和微分旋轉(zhuǎn),所以式(17)-(19)又可寫(xiě)成

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

依據(jù)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)及矩陣?yán)碚摰戎R(shí),可以推導(dǎo)出關(guān)于N自由度串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿誤差公式,將上述的理論成果應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)器人的位姿誤差分析.

為此,HAYATI等專(zhuān)家學(xué)者提出了MDH模型,同時(shí)還提出圍繞y軸旋轉(zhuǎn)的參數(shù)影響,由于考慮參數(shù)影響的復(fù)雜性,通過(guò)具體問(wèn)題具體分析,就可得到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置誤差模型和姿態(tài)誤差模型[8].

位置誤差模型見(jiàn)公式(26)-(28).姿態(tài)誤差模型見(jiàn)公式(29)-(31).

dx=-Δθ1{cα1[a2cθ2s(θ4-θ2)+

a2sθ2c(θ2-θ4)]+a1cα1s(θ4-θ2)+

d3sα1c(θ2-θ4)}-Δθ2(a2cα2sθ4+

d3sα2cθ4)+cθ4Δa2+cθ4Δa3+Δa4-

d3s(θ4-θ2)Δα1-d3sθ4Δα2-d3sθ4Δα3-

sα1s(θ4-θ2)Δd1-sα2sθ4Δd2+sα3sθ4Δd3，

(26)

dy=Δθ4a4cα4+Δθ3(a3cα3cθ4-d3sα3sθ4)-

Δθ2(a2cα2cθ4-d3sα2sθ4)-Δθ1{cα1[a2cθ2×

c(θ2-θ4)-a2sθ2s(θ4-θ2)]+a1cα1c(θ2-θ4)-

d3sα1s(θ4-θ2)}-s(θ4-θ2)Δa1-sθ4Δa2-

sθ4Δa3-d3c(θ2-θ4)Δα1-d3cθ4Δα2-

d3cθ4Δα3-sα1c(θ2-θ4)Δd1-

sα2cθ4Δd2+cθ4sα3Δd3+sα4Δd4，

(27)

dz=Δθ1(a1sα1+a2sα1cθ2)+Δθ2a2sα2-Δθ4a4sα4-

a2sθ2Δα1-cα1Δd1-cα2Δd2+cα3Δd3+cα4Δd4.

(28)

δx=Δθ1sα1s(θ2-θ4)-Δθ2sα2sθ4+c(θ2-θ4)Δα1+

cθ4Δα2+cθ4Δα3+Δα4，

(29)

δy=-Δθ1sα1c(θ2-θ4)-Δθ2sα2cθ4+Δθ4sα4+s(θ2-

θ4)Δα1-sθ4Δα2+cθ4Δα3,

(30)

δz=-Δθ1cα1-Δθ2cα2+Δθ4cα4.

(31)

式中：s(θi-θj)=sin(θi-θj);c(θi-θj)=cos(θi-θj).

4 MDH模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差分析

DH運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為使用一個(gè)4×4的齊次變換矩陣描述相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的空間關(guān)系,推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對(duì)于參考系的等價(jià)齊次變換矩陣.根據(jù)DH模型，機(jī)器人末端位姿方程函數(shù)包含ai,di,αi和θi等4個(gè)參數(shù),它們都存在實(shí)際偏差.假設(shè)存在誤差Δai,Δdi,Δαi和Δθi,參數(shù)可以修正為

(32)

將上式帶入DH模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,便可求出其對(duì)應(yīng)的MDH模型.由單一變量控制法可知,設(shè)置某個(gè)關(guān)節(jié)的一個(gè)參數(shù)誤差,其他未知參變量值為0,依次改變關(guān)節(jié)變量值,即可得到相應(yīng)關(guān)節(jié)的誤差分布曲線.

4.1 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位偏差的敏感性分析

影響末端位姿精度的重要因素之一是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位偏差.以q=[π/3 π/4 3π/4 π/2]為基本位姿,分析關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差對(duì)于末端位姿敏感性的影響.

圖2 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差與末端位姿誤差的關(guān)系曲線

由圖2可知:關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化所產(chǎn)生的誤差對(duì)末端位姿的影響程度由大到小分別為Δθ4，Δθ2，Δθ3和Δθ1;Δθ4對(duì)末端位姿精度的影響最為顯著,Δθ1對(duì)末端位姿精度的影響較小.因此,在機(jī)器人的工業(yè)生產(chǎn)中,需要合理規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的路徑,應(yīng)當(dāng)避開(kāi)對(duì)末端位姿精度影響程度較大的奇異點(diǎn).當(dāng)所有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角零位均存在0.01°誤差,以及第3移動(dòng)關(guān)節(jié)存在0.01 mm的末端位姿誤差時(shí),取各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差對(duì)末端位姿影響誤差的平均值,可以得出關(guān)節(jié)1,2,3和4轉(zhuǎn)角零位誤差對(duì)應(yīng)的平均值分別為0.721 9,0.645 6,0.500 2和0.427 1 mm.

可見(jiàn)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差對(duì)于機(jī)器人末端位姿的影響程度由大至小分別為Δθ1,Δθ2,Δθ3和Δθ4.在機(jī)器人末端位姿的連桿傳遞過(guò)程中,一個(gè)較小的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差將導(dǎo)致末端位姿產(chǎn)生一個(gè)較大的誤差[9].由此還可以看出產(chǎn)生轉(zhuǎn)角誤差的關(guān)節(jié)離機(jī)器人基座的距離越靠近,對(duì)機(jī)器人末端位姿的影響也會(huì)越大,而且4個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角零位誤差對(duì)機(jī)器人末端位姿的影響各不相同,其中對(duì)末端位姿影響最大的第1個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差約為第4個(gè)關(guān)節(jié)的1.69倍.

4.2 關(guān)節(jié)扭角零位偏差的敏感性分析

首先取q=[π/3 π/4 3π/4 π/2]為初始基本位姿,同時(shí)假設(shè)存在關(guān)節(jié)扭角誤差Δαi=0.01°,其他的結(jié)構(gòu)參數(shù)沒(méi)有誤差,從而分析關(guān)節(jié)扭角零位誤差對(duì)末端位姿敏感性的影響情況,得到關(guān)節(jié)扭角誤差對(duì)機(jī)器人末端位姿影響的分布曲線，如圖3所示.

圖3 關(guān)節(jié)扭角誤差與末端位姿誤差的關(guān)系曲線

當(dāng)機(jī)器人所有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的扭角零位存在0.01°誤差,以及第3移動(dòng)關(guān)節(jié)存在0.01 mm末端位姿誤差時(shí),取各關(guān)節(jié)扭角零位誤差對(duì)末端位姿誤差的平均值,可以得出關(guān)節(jié)1,2,3和4的扭角零位誤差對(duì)應(yīng)的平均值分別為0.039 3,0.018 3,0.012 7和0 mm.

可見(jiàn),關(guān)節(jié)扭角零位誤差對(duì)于機(jī)器人末端位姿的影響程度由大至小分別為Δα1,Δα2,Δα3和Δα4.在機(jī)器人末端位姿的連桿傳遞中,一個(gè)較小的關(guān)節(jié)扭角誤差也會(huì)導(dǎo)致末端位姿產(chǎn)生一個(gè)較大的誤差,同時(shí)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生扭角誤差的關(guān)節(jié)位置離機(jī)器人基座的距離越近,對(duì)末端位姿的影響越大.且4個(gè)關(guān)節(jié)扭角零位誤差對(duì)末端位姿的影響也各不相同,其中對(duì)末端位姿影響最大的Δα1約為Δα3的3.09倍.

4.3 連桿的長(zhǎng)度誤差和偏移誤差敏感性分析

由于機(jī)器人的零件加工制造、裝配和軸承軸向定位等影響,會(huì)產(chǎn)生連桿的長(zhǎng)度誤差和偏移誤差[10].假設(shè)分別存在連桿長(zhǎng)度誤差和偏移誤差均為0.1 mm,其仿真方法與前述相同,得到連桿的長(zhǎng)度誤差和偏移誤差對(duì)機(jī)器人末端位姿影響的分布曲線，如圖4所示，其中φ為關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)角度.

圖4 長(zhǎng)度誤差和偏移誤差對(duì)末端位姿影響分布曲線

由圖4可知:連桿長(zhǎng)度誤差和偏移誤差對(duì)末端位姿都產(chǎn)生了0.1 mm的誤差,但是該誤差值在串聯(lián)機(jī)器人移動(dòng)中基本上不影響機(jī)器人位姿,其等效傳遞不存在放大和縮小誤差,且機(jī)器人的4個(gè)關(guān)節(jié)角度的變化均不改變末端位姿誤差值.

5 結(jié) 論

1) 根據(jù)誤差的仿真分析結(jié)果可知:關(guān)節(jié)角度誤差分析中,關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差產(chǎn)生的影響較關(guān)節(jié)扭角誤差產(chǎn)生的影響更大;在連桿的誤差敏感性分析中,連桿長(zhǎng)度誤差較連桿的偏移誤差產(chǎn)生的影響更大.

2) 由串聯(lián)機(jī)器人末端位姿誤差分析可知:關(guān)節(jié)角度誤差比連桿長(zhǎng)度誤差產(chǎn)生的影響更大;角度類(lèi)參數(shù)產(chǎn)生誤差的關(guān)節(jié)位置與串聯(lián)機(jī)器人基座間距離越近,對(duì)末端位姿的影響也越大,具有明顯的放大誤差功效;長(zhǎng)度類(lèi)參數(shù)對(duì)串聯(lián)機(jī)器人末端位姿的影響僅有等效作用,不具任何放大和縮小誤差作用.