吳海清

(上海申元巖土工程有限公司，上海 200002)

地震是人類(lèi)面臨的主要自然災(zāi)害之一。近年來(lái)，世界范圍內(nèi)地震活動(dòng)頻繁，如2008年中國(guó)“5·12”汶川大地震(里氏震級(jí)M=8.0)[1]，2010年智利“2·27”大地震(里氏震級(jí)M=8.8)以及2011年日本“3·11”本州島海域大地震(里氏震級(jí)M=9.0)[2]，2018年印尼“9·28”大地震(里氏震級(jí)M=7.4)等，這些大地震中均存在因飽和砂土液化而引起的震害，因此，地震液化問(wèn)題的研究仍然是土動(dòng)力學(xué)與巖土地震工程領(lǐng)域重要的課題之一。

Seed等[3]把不排水循環(huán)剪切試驗(yàn)中有效應(yīng)力第一次為0的狀態(tài)稱(chēng)為“初始液化”，從而將液化過(guò)程分為“液化前(初始液化前)”和“液化后(初始液化后)”兩個(gè)階段。已有的震害調(diào)查發(fā)現(xiàn)，砂土層“液化后”引起的地基大變形是導(dǎo)致強(qiáng)震區(qū)各種基礎(chǔ)設(shè)施和生命線工程遭到破壞的主要原因，因此，隨著液化研究的深入，學(xué)者們?cè)絹?lái)越關(guān)注“液化后”砂土層應(yīng)力應(yīng)變的響應(yīng)以及“液化后”地基大變形產(chǎn)生的機(jī)理。根據(jù)力學(xué)理論的不同,目前對(duì)砂土液化后大變形本構(gòu)模型的研究主要有兩類(lèi)：一類(lèi)基于固體力學(xué)理論，如Shamoto等[4]提出描述砂土液化后不排水剪單調(diào)剪切大變形的本構(gòu)模型；另一類(lèi)將“液化后”的砂土層視為一種流體，基于流體力學(xué)的理論研究大變形的問(wèn)題[5]。

將液化后砂土視為一種流體是一種較新的研究思路。Sasaki等[6]利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究砂土液化變形問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，液化砂土具有非常類(lèi)似于流體的性質(zhì)；Miyajima等[7]采用拖球及落球試驗(yàn)，根據(jù)流體力學(xué)中的公式獲得液化后砂土的表觀黏度。Tamate等[8]在拖管試驗(yàn)中，根據(jù)鋼管受到的拖拽力和相似性，研究液化后砂土的流動(dòng)特性。Hadush等[9]總結(jié)了幾組由不同測(cè)量方法獲得的表觀黏度與剪應(yīng)變率關(guān)系后，發(fā)現(xiàn)液化后砂土的表觀黏度隨剪應(yīng)變率的增大而減小的特性。Hwang等[10]等通過(guò)沉球試驗(yàn)及拖管試驗(yàn)研究液化后地表流對(duì)樁基的影響時(shí)，同樣發(fā)現(xiàn)液化砂土的這種特性。陳育民等[5, 11-12]通過(guò)動(dòng)扭剪試驗(yàn)和振動(dòng)臺(tái)拖球試驗(yàn)，王志華等[13]通過(guò)自由場(chǎng)地基振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，其他一些學(xué)者[14-20]通過(guò)空心扭剪實(shí)驗(yàn)、離心機(jī)振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)等方法，研究液化后砂土流動(dòng)特性時(shí)，也獲得了同樣的結(jié)果，即液化后砂土是一種“剪切稀化非牛頓流體”。由于對(duì)于液化后砂土流體動(dòng)力學(xué)特性的研究起步較晚，理論研究相對(duì)缺乏，在流動(dòng)本構(gòu)模型方面的研究尚處于初步探索階段[14]。

筆者采用流體力學(xué)理論進(jìn)一步解釋砂土液化后大變形的機(jī)理，通過(guò)對(duì)動(dòng)扭剪試驗(yàn)結(jié)果的分析，探討可以描述液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)的流動(dòng)本構(gòu)模型。

1 流體力學(xué)方法分析液化后砂土流動(dòng)特性的理論基礎(chǔ)

1687年，牛頓在其所著的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出牛頓內(nèi)摩擦定律

(1)

由于液化砂土的流速梯度很難獲得，因此，需要進(jìn)一步說(shuō)明該項(xiàng)的物理意義。如圖1所示，在厚度為dy的上、下兩流層間取矩形流體微團(tuán)。因上、下層的流速相差du，經(jīng)過(guò)時(shí)間dt后，微團(tuán)除位移外，還有剪切應(yīng)變dγ，即

(2)

式(2)可變形為

(3)

因此，式(1)又可寫(xiě)成

(4)

(5)

式(5)即為可描述液化后砂土流動(dòng)特性的流動(dòng)本構(gòu)模型。

可以推斷，砂土液化后處于零有效應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，顆粒間失去土骨架結(jié)構(gòu)，處于類(lèi)似“懸浮”的狀態(tài)，當(dāng)沒(méi)有受到剪應(yīng)力作用時(shí)，顆粒在溶液中處于靜止?fàn)顟B(tài)，由于顆粒本身在液化過(guò)程中受到動(dòng)荷載的作用，處于雜亂無(wú)章的分布狀態(tài)，一旦受到剪應(yīng)力的作用，隨著流動(dòng)的進(jìn)行，它們將沿著流動(dòng)方向開(kāi)始有序地排列起來(lái)，此時(shí)剪應(yīng)變率開(kāi)始增大，這種定向排列將隨著流動(dòng)的進(jìn)行，越來(lái)越整齊，流動(dòng)的阻力就越來(lái)越小，即其表觀黏度將越來(lái)越小，這就反映出一種剪切稀化的趨勢(shì)。當(dāng)剪應(yīng)變率較小時(shí)，不足以破壞原有的結(jié)構(gòu)，即不能夠使排列得雜亂無(wú)章的顆粒定向排列，此時(shí)表觀黏度為常數(shù)η0且與剪應(yīng)變率無(wú)關(guān)，而當(dāng)剪應(yīng)變率很大時(shí)，已經(jīng)最大限度地使顆粒定向排列，從而顆粒已經(jīng)處于有序整齊的狀態(tài)，此時(shí)再增大剪應(yīng)變率，表觀黏度也無(wú)法再小了，即趨向于一個(gè)常數(shù)η∞，且η∞<η0。

2 非牛頓流體的流動(dòng)本構(gòu)模型

由于目前還沒(méi)有一個(gè)普適的流動(dòng)本構(gòu)模型可以統(tǒng)一描述非牛頓流體的流動(dòng)特性。因此，在研究非牛頓流體剪應(yīng)變率-表觀黏度之間的關(guān)系時(shí)，存在著許多流動(dòng)本構(gòu)模型。歸納起來(lái)可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是純粘性流動(dòng)本構(gòu)模型，即在撤除剪切應(yīng)力后，它們?cè)谑芗羟袘?yīng)力作用期間的任何形變都不會(huì)恢復(fù)；另一類(lèi)是粘彈性流動(dòng)本構(gòu)模型，即在撤除剪切應(yīng)力后，它們?cè)谑芗羟袘?yīng)力作用期間所產(chǎn)生的形變會(huì)完全或部分得到恢復(fù)。

張建民等[23]在研究砂土不排水循環(huán)扭剪試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)：初始液化后零有效應(yīng)力狀態(tài)時(shí)產(chǎn)生的剪應(yīng)變分量γ0的變化特點(diǎn)為：γ0只在液化后有效應(yīng)力過(guò)零點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生；γ0的大小與當(dāng)前的剪應(yīng)力大小無(wú)關(guān)，只依賴(lài)于應(yīng)力應(yīng)變歷史。由于筆者研究的對(duì)象為液化后處于零有效應(yīng)力狀態(tài)的砂土，只需要考慮剪應(yīng)變分量γ0，即在此狀態(tài)下，砂土不存在土骨架的概念，因此，該研究對(duì)象屬于純粘性流體。

根據(jù)式(5)，可以得出廣義的非線性粘性流動(dòng)本構(gòu)模型，即

Sij=η(Π)Aij

(6)

式中：Sij為偏應(yīng)力張量；Aij為一階Rivlin-Ericksen張量;Π為Aij的第二不變量。

為了獲得流動(dòng)本構(gòu)模型方程式(6)，需要知道

η=η(Π)

(7)

表1中列出了7種常用的純粘性流動(dòng)本構(gòu)模型。

表1 純粘性流動(dòng)本構(gòu)模型Table 1 Viscous flow constitutive model

注：表格中τ0為初始屈服應(yīng)力；K為時(shí)間量綱下的常數(shù)；λ1、λ2、m為無(wú)量綱常數(shù)。

3 基于動(dòng)扭剪試驗(yàn)結(jié)果分析液化后砂土的流動(dòng)本構(gòu)模型

3.1 試驗(yàn)方法

試驗(yàn)采用河海大學(xué)巖土所和日本圓井株式會(huì)社共同研制的靜動(dòng)多功能三軸試驗(yàn)儀。采用的砂樣為重塑試樣(顆粒比重G1為2.56，有效粒徑d10=0.16 mm，限制粒徑d60為0.42 mm，最大孔隙比emax為0.974，最小孔隙比emin為0.568，不均勻系數(shù)Cu為2.63，曲率系數(shù)Cc為1.17，粘粒含量為0%)，試樣采用空中砂雨法制備。試驗(yàn)中，采用先通CO2氣體排除試樣中空氣，再通脫氣水，然后再施加反壓的方法進(jìn)行飽和，確保飽和度B≥0.97。試樣完成固結(jié)操作后，在不排水條件下以一定的動(dòng)剪應(yīng)力比給試樣施加動(dòng)扭剪應(yīng)力，當(dāng)試樣發(fā)生初始液化后，繼續(xù)施加動(dòng)扭剪應(yīng)力，以此來(lái)模擬液化后砂土的流動(dòng)特性。試驗(yàn)中考慮了不同初始相對(duì)密實(shí)度和前期固結(jié)應(yīng)力對(duì)流動(dòng)特性的影響，具體方案如表2所示。

表2 動(dòng)扭剪試驗(yàn)方案Table 2 Experimental plan of dynamic torsional teat

3.2 分析方法

根據(jù)流體力學(xué)中常用的建立流動(dòng)本構(gòu)模型的方法，即采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立流變曲線進(jìn)行參數(shù)擬合。為了確定描述液化后砂土非零有效應(yīng)力狀態(tài)的流動(dòng)本構(gòu)模型，將根據(jù)動(dòng)扭剪試驗(yàn)結(jié)果繪制成的流變曲線作為研究對(duì)象。根據(jù)所采用流動(dòng)本構(gòu)模型的形式，流變曲線采用剪應(yīng)變率-表觀黏度之間的關(guān)系曲線。剪應(yīng)變率和表觀黏度均由試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算獲得，公式為[11]

(15)

(16)

式(15)中γi-1、γi和γi+1分別對(duì)應(yīng)時(shí)間ti-1、ti和ti-1時(shí)的剪應(yīng)變，表觀黏度η的國(guó)際單位是Pa·s，由于在處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)液化后砂土的表觀黏度較大，所以，在數(shù)據(jù)分析中采用的單位為kPa·s。

表3 動(dòng)扭剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理Table 3 Experimental data reduction of dynamic torsional teat

注：加載周期中24#表示循環(huán)荷載第24周的第一半周加載；23.5#表示循環(huán)荷載第23周的第二半周加載。

3.3 剪應(yīng)變率-表觀黏度曲線擬合

將試驗(yàn)結(jié)果中超孔壓比接近1.0的液化后砂土剪應(yīng)變率-表觀黏度的關(guān)系采用不同的流動(dòng)本構(gòu)模型進(jìn)行曲線擬合，繪出流變曲線。采用的數(shù)據(jù)組為No.9、No.10、No.13、No.14、No.25和No.26。

圖2為采用不同流動(dòng)本構(gòu)模型進(jìn)行曲線擬合的結(jié)果，從圖2可以發(fā)現(xiàn)，Carreau方程和Gross方程能較好地?cái)M合出試驗(yàn)結(jié)果。盡管兩個(gè)方程均為4參數(shù)方程，但Carreau方程在形式上比Gross方程更加復(fù)雜，因此，考慮在工程上本構(gòu)模型越簡(jiǎn)單越方便應(yīng)用的原則，選擇Gross方程作為液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)的流動(dòng)本構(gòu)模型。

圖2 不同試驗(yàn)參數(shù)下液化后砂土的剪應(yīng)變率-表 觀黏度關(guān)系及不同本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.2 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results of different constitutive equations

3.4 Gross方程曲線擬合的結(jié)果分析

采用Gross方程進(jìn)行曲線擬合，擬合的方式為最小二乘法。調(diào)整相關(guān)度后，擬合度均達(dá)到了0.99，說(shuō)明擬合出來(lái)的曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間具有良好的相關(guān)度。

圖3為不同相對(duì)密實(shí)度下Gross方程的擬合結(jié)果，從圖中可知，在同一個(gè)周期的兩次加載過(guò)程中，“第一半周加載”和“第二半周加載”為兩個(gè)獨(dú)立的加載過(guò)程，剪應(yīng)變率-表觀黏度關(guān)系不一致。主要原因是，兩個(gè)加載過(guò)程的方向相反，應(yīng)力-應(yīng)變歷史不一致，因此，有必要把兩個(gè)加載過(guò)程分開(kāi)分析。

圖3 不同相對(duì)密實(shí)度下液化后砂土的剪應(yīng)變率-表 觀黏度關(guān)系及Gross方程擬合結(jié)果Fig.3 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results

從圖3(a)中擬合曲線可知，當(dāng)剪應(yīng)變率相同時(shí)，相對(duì)密實(shí)度不同的液化后砂土，其表觀黏度不同，其中，相對(duì)密實(shí)度為40%的液化后砂土表觀黏度大于相對(duì)密實(shí)度為30%的液化后砂土，反映了松砂的表觀黏度隨相對(duì)密實(shí)度的提高而增加，即提高相對(duì)密實(shí)度可以增強(qiáng)疏松砂層液化后抵抗變形的能力。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是：松砂在振動(dòng)受剪時(shí)，顆粒可以滾落到平衡位置，使得排列更加緊密，表現(xiàn)出剪縮性，當(dāng)液化后砂土流動(dòng)時(shí)，砂顆粒會(huì)重新排列，趨于整齊，砂顆粒越緊密，趨于整齊的過(guò)程中受到的流動(dòng)阻力就越大。相對(duì)密實(shí)度為50%的液化后砂土，其表觀黏度與相對(duì)密實(shí)度的關(guān)系沒(méi)有反映出松砂的特性，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是：緊砂在液化后大變形的過(guò)程中，主要體現(xiàn)了剪脹性，即緊砂在振動(dòng)受剪時(shí)，顆粒只能通過(guò)抬高或者錯(cuò)位來(lái)離開(kāi)原有位置，表現(xiàn)為剪脹性，當(dāng)液化后砂土流動(dòng)時(shí)，砂顆粒同樣會(huì)重新排列，趨于整齊，趨于整齊的過(guò)程中受到的流動(dòng)阻力隨著砂顆粒的齊整程度而減小。圖3(b)中也存在類(lèi)似的情況。

由圖3(c)中擬合曲線的走勢(shì)可知，在相對(duì)密實(shí)度和固結(jié)應(yīng)力相同時(shí)，同一剪應(yīng)變率對(duì)應(yīng)的表觀黏度隨著循環(huán)周期的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，圖3(d)中也存在類(lèi)似的情況。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是：液化后零有效應(yīng)力狀態(tài)下砂土的流動(dòng)過(guò)程即是砂顆粒重新排列整齊的過(guò)程，進(jìn)行這一過(guò)程前，就已經(jīng)存在過(guò)一次砂顆粒排列整齊后再被打亂的循環(huán)，本次重新排列過(guò)程勢(shì)必受到上一次的影響，并且這樣的影響是一種累加的過(guò)程，即建立在前一次循環(huán)基礎(chǔ)上的后一次重新排列過(guò)程要更困難，張建民等[17]的研究也發(fā)現(xiàn)，液化后零有效應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，砂土經(jīng)歷的前期最大剪應(yīng)變?cè)酱?，此后發(fā)生的剪應(yīng)變也越大。此外，從圖中相同條件下不同循環(huán)周期的擬合曲線分布較密可知，這種應(yīng)力-應(yīng)變歷史導(dǎo)致表觀黏度的增長(zhǎng)幅度不大。

圖4為不同固結(jié)應(yīng)力下Gross方程的擬合結(jié)果，從擬合曲線的走勢(shì)可知，在剪應(yīng)變率相同時(shí)，同一相對(duì)密實(shí)度的液化后砂土表觀黏度在固結(jié)應(yīng)力為100 kPa時(shí)比在固結(jié)應(yīng)力為50 kPa時(shí)大，即相同條件下，固結(jié)應(yīng)力越大，液化后砂土流動(dòng)時(shí)受到的阻力越大，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是：前期固結(jié)應(yīng)力越大，砂顆粒之間越密實(shí)，當(dāng)液化后砂土開(kāi)始流動(dòng)，砂顆粒開(kāi)始重新排列整齊時(shí)，如果砂顆粒之間接觸得越緊密，則這種重新排列的過(guò)程越困難，從而流動(dòng)阻力增大。

圖4 不同固結(jié)應(yīng)力下液化后砂土的剪應(yīng)變率-表 觀黏度關(guān)系及Gross方程擬合結(jié)果Fig.4 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results

3.5 液化后砂土基于Gross方程的本構(gòu)模型探討

由式(12)可知，Gross方程中包含4個(gè)參數(shù)：零剪切表觀黏度η0，極限剪切表觀黏度η∞，時(shí)間量綱下的參數(shù)K和無(wú)量綱參數(shù)m。這些參數(shù)在描述液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)下的流動(dòng)特性時(shí)，具體表現(xiàn)為：

1)無(wú)量綱參數(shù)m不受初始相對(duì)密實(shí)度、前期固結(jié)應(yīng)力、同一荷載周期內(nèi)加載方向以及循環(huán)荷載周期的影響。

2)時(shí)間量綱下的參數(shù)K，單位為s，受初始相對(duì)密實(shí)度、前期固結(jié)應(yīng)力以及同一荷載周期內(nèi)加載方向的影響，但與循環(huán)荷載周期無(wú)關(guān)。在試驗(yàn)結(jié)果中，當(dāng)處于“第一半周加載”時(shí)，參數(shù)K隨前期固結(jié)應(yīng)力單調(diào)遞減，初始相對(duì)密實(shí)度越高，參數(shù)K越??；當(dāng)處于“第二半周加載”時(shí)，參數(shù)K隨前期固結(jié)應(yīng)力單調(diào)遞減，初始相對(duì)密實(shí)度越高，參數(shù)K越大。參數(shù)K的表達(dá)式可以寫(xiě)為

(17)

式中：σ3為前期固結(jié)應(yīng)力；Dr為初始相對(duì)密實(shí)度；T=0時(shí)，處于“第一半周加載”，T=1時(shí)，處于“第二半周加載”。

3)零剪切表觀黏度η0和極限剪切表觀黏度η∞，單位為kPa·s，受初始相對(duì)密實(shí)度、前期固結(jié)應(yīng)力、同一荷載周期內(nèi)加載方向以及循環(huán)荷載周期的影響，在試驗(yàn)結(jié)果中，當(dāng)處于“第一半周加載”時(shí)，η0和η∞隨循環(huán)荷載周期單調(diào)遞增；η0和η∞隨固結(jié)應(yīng)力單調(diào)遞增；η0和η∞隨相對(duì)密實(shí)度單調(diào)遞增。當(dāng)處于“第二半周加載”，η0和η∞隨循環(huán)荷載周期的增加在低固結(jié)應(yīng)力時(shí)單調(diào)遞增，在高固結(jié)應(yīng)力時(shí)單調(diào)遞減(由于遞減的幅度很小而且數(shù)據(jù)組數(shù)量有限，這里考慮到試驗(yàn)精度以及物理性質(zhì)的統(tǒng)一性，函數(shù)關(guān)系依然采用遞增關(guān)系)；η0和η∞隨固結(jié)應(yīng)力單調(diào)遞增；η0和η∞隨相對(duì)密實(shí)度單調(diào)遞增。η0和η∞的表達(dá)式可以寫(xiě)為

(18)

式中：n為循環(huán)荷載周期數(shù)。

由于篩選出的試驗(yàn)組數(shù)量有限，式(17)和式(18)具體的形式還有待更多的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行擬合推導(dǎo)。

4 結(jié)論

開(kāi)展了液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)的流動(dòng)本構(gòu)模型研究，得出以下主要結(jié)論：

1)液化后砂土在零有效應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，表現(xiàn)為一種固液混合流體，其流動(dòng)特性可以歸屬于混合粘性流體的研究范疇，這種混合流體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致其剪應(yīng)變率-表觀黏度的流動(dòng)曲線上出現(xiàn)了“零剪切表觀黏度”η0和“極限剪切表觀黏度”η∞。

2)對(duì)動(dòng)扭剪試驗(yàn)結(jié)果的分析表明：液化后砂土在零有效應(yīng)力狀態(tài)下，相對(duì)密實(shí)度較低時(shí)，即松砂相對(duì)密實(shí)度越高，液化后砂土流動(dòng)時(shí)表觀黏度越大，相對(duì)密實(shí)度較高時(shí)，則反映了緊砂的剪脹性；液化后砂土流動(dòng)過(guò)程中受到的阻力隨著受剪循環(huán)周期的增加而增加；前期固結(jié)應(yīng)力越高，液化后砂土流動(dòng)過(guò)程中受到的阻力越大。

3)對(duì)動(dòng)扭剪試驗(yàn)結(jié)果的擬合表明，Gross方程可以較好且相對(duì)比較簡(jiǎn)潔地描述液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的流動(dòng)特性，其方程中的參數(shù)在加載過(guò)程的“第一半周加載”和“第二半周加載”是相互獨(dú)立的，并且通過(guò)對(duì)擬合參數(shù)的分析，得到了時(shí)間量綱下的參數(shù)K以及零剪切表觀黏度η0和極限剪切表觀黏度η∞的函數(shù)關(guān)系。

動(dòng)扭剪試驗(yàn)獲得的有效數(shù)據(jù)數(shù)量有限，為獲得液化后砂土零有效應(yīng)力狀態(tài)的流動(dòng)本構(gòu)模型的具體形式，還需要開(kāi)展更多的室內(nèi)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證和校正。