王鵬飛, 杜忠華, 馬 祥, 牛 坤

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

懸架系統(tǒng)是汽車的重要組成部分，其主要任務(wù)是緩解由于路面不平整度引起的車身沖擊負(fù)荷[1]。汽車懸架系統(tǒng)影響著乘坐舒適性、操縱穩(wěn)定性和駕駛安全性。通過引入適當(dāng)?shù)目刂剖侄蝸頊p少車輛的振動(dòng)，提高汽車行駛的舒適性和穩(wěn)定性是當(dāng)前車輛懸架發(fā)展的趨勢[2]。

中外學(xué)者已經(jīng)將各種成熟的控制技術(shù)應(yīng)用于汽車主動(dòng)懸架振動(dòng)控制中去，如滑膜控制[3]時(shí)滯反饋控制[4]、非線性自適應(yīng)控制[5]。已廣泛應(yīng)用于多變量系統(tǒng)控制的線性二次型(LQR)最優(yōu)控制方法具有良好的控制效果[6]且方法簡單、便于實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)在汽車、航空、機(jī)器人領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。LQR最優(yōu)控制中加權(quán)矩陣Q和R的選取影響著控制性能，但是加權(quán)矩陣Q和R的確定通常采用實(shí)驗(yàn)試探的方法，具有一定的盲目性，缺乏理論指導(dǎo)[7]。由于粒子群有良好的全局搜索能力[8]，利用其優(yōu)點(diǎn)獲得最優(yōu)線性二次型調(diào)節(jié)器的Q和R能夠達(dá)到較好的控制效果，然而粒子群算法也存在易陷入局部最優(yōu)解以及搜索能力不均衡的問題，需要對其進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。

文獻(xiàn)[9]對粒子群算法中的慣性因子進(jìn)行階梯式調(diào)整，慣性權(quán)重根據(jù)迭代進(jìn)行逐步調(diào)整，但優(yōu)化效果不夠明顯。文獻(xiàn)[10]提出了一種多粒子協(xié)作的方法，將優(yōu)化過程中的不同粒子進(jìn)行交互協(xié)作，從而獲取各個(gè)粒子中有用的信息。文獻(xiàn)[11]提出了隨機(jī)選取一個(gè)粒子計(jì)算其適應(yīng)度值，如果該值優(yōu)于當(dāng)前粒子，則該隨機(jī)粒子作為學(xué)習(xí)粒子。文獻(xiàn)[10-11]都針對粒子進(jìn)行調(diào)整，使增加種群信息的多樣性避免陷入局部最優(yōu)解但是過程過于煩瑣且易受外界環(huán)境的影響。

現(xiàn)提出一種引入動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重和禁忌搜索的粒子群優(yōu)化算法。為了平衡粒子在進(jìn)化的過程中全局和局部搜索能力增加一種可以動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重的方式，使得每一個(gè)粒子的慣性權(quán)重都在隨著進(jìn)化而調(diào)整，使群體朝著更優(yōu)的方向發(fā)展。針對粒子群算法在迭代后期存在的易陷入局部最優(yōu)解的問題，通過在迭代后期引入禁忌搜索跳出局部最優(yōu)解。因此，針對主動(dòng)懸架的控制問題，建立1/4懸架模型，以車輛平穩(wěn)性和操作性為目標(biāo)構(gòu)造性能目標(biāo)函數(shù)，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行算法的仿真對比，對比分析改進(jìn)方法的優(yōu)越性。

1 主動(dòng)懸架數(shù)學(xué)建模

建立主動(dòng)懸掛數(shù)學(xué)模型為振動(dòng)特性和控制性能分析建立理論基礎(chǔ)。建立的1/4二自由度懸架模型如圖1所示。

根據(jù)汽車振動(dòng)理論以及牛頓第二定律，建立微分方程描述懸架模型：

(1)

式(1)中：mt和mb分別為車身質(zhì)量和車輪質(zhì)量；kt和kb分別為懸架剛度和車輪剛度；c為懸架阻尼系數(shù)；u為懸架主動(dòng)控制力；xr為路面不平度激勵(lì)；xt和xb分別為車身和車輪的垂直位移。

為便于分析，采用濾波白噪聲作為路面不平度激勵(lì):

(2)

式(2)中：wt為高斯白噪聲；f0為下截止頻率；G0為路面不平度系數(shù)；v為車速。

(3)

2 控制器設(shè)計(jì)與優(yōu)化

2.1 LQR控制器設(shè)計(jì)

(4)

根據(jù)現(xiàn)代控制理論可知，最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制仍然是狀態(tài)的反饋函數(shù),而不是輸出的反饋函數(shù)。其中q1、q2、q3分別是車身垂向加速度、車身車輪動(dòng)行程、車輪動(dòng)變形的加權(quán)系數(shù);Q和R為加權(quán)系數(shù)矩陣，其中Qt=CTQC,N=CTQD,Rt=R+DTQD

采用變分法求解可得反饋增益矩陣為

K=-R-1BTP

(5)

矩陣P可以由Riccati方程得出：

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(6)

LQR控制器中Q和R的選取十分關(guān)鍵，其值的選取直接影響系統(tǒng)的性能，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。其中Q中需要確定三個(gè)未知參數(shù)，R需要確定一個(gè)未知參數(shù)，而每一個(gè)參數(shù)的選取都會影響到系統(tǒng)的性能，目前Q和R的選取大部分是依靠大量的實(shí)驗(yàn)或者經(jīng)驗(yàn)選取，不僅需要消耗大量人力而且難以得到最優(yōu)的結(jié)果。

2.2 粒子群算法優(yōu)化

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種基于迭代的群體智能隨機(jī)搜索算法[13]，通過模擬種群中信息共享的行為在整個(gè)群體找到最優(yōu)的解。因其概念簡單、易于實(shí)現(xiàn)而備受關(guān)注。但傳統(tǒng)PSO算法存在易陷入局部最優(yōu)，不能保證全局收斂，以及慣性權(quán)重?zé)o法實(shí)時(shí)更新以適應(yīng)不同的搜索需求的缺陷。針對PSO算法的不足，通過自適應(yīng)更新慣性權(quán)重以及加入禁忌搜索來改進(jìn)傳統(tǒng)PSO算法。

2.2.1 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重

在傳統(tǒng)PSO算法中,采用固定或者線性遞減的慣性權(quán)重?zé)o法自適應(yīng)調(diào)整慣性權(quán)重，粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力無法得到平衡。如果慣性權(quán)重設(shè)置過大則不利于后期的局部搜索，如果設(shè)置過小則對于前期達(dá)不到快速收斂的目的。而且在進(jìn)化的過程中也需要考慮相應(yīng)適應(yīng)度值在慣性權(quán)重上的影響，對于進(jìn)化過程中不同的適應(yīng)度值應(yīng)該給予充分的重視。針對以上討論，提出了基于迭代次數(shù)和適應(yīng)度值的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重公式：

(7)

式(7)中：wmin和wmax分別表示慣性權(quán)重設(shè)定的最小值和最大值；favg表示粒子的平均適應(yīng)度值；fmin表示粒子的最小的適應(yīng)度值。當(dāng)粒子的適應(yīng)度值大于平均適應(yīng)度值時(shí)慣性權(quán)重會增大以加快收斂速度，增加全局搜索能力，且根據(jù)目前適應(yīng)度值與適應(yīng)度值相比較來動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重的大小。

在傳統(tǒng)PSO算法中速度更新公式為

vi(t)=wvi(t-1)+C1ρ1[xbesti-xi(t)]+

C2ρ2[xgbesti-xi(t)]

(8)

式(8)中：w為慣性權(quán)重；C1和C2為學(xué)習(xí)因子；ρ1和ρ2為0～1的隨機(jī)數(shù)。由式(8)可知通過自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重可以達(dá)到粒子速度自適應(yīng)變化的目的，但是學(xué)習(xí)因子也在其中起到重要作用，學(xué)習(xí)因子(C1、C2)表示粒子的記憶和學(xué)習(xí)能力。在迭代的初始階段，粒子可以朝著不同的方向進(jìn)行搜索，保證粒子具有多樣性，為了加快粒子的搜索速度進(jìn)行粗尋優(yōu)需要使C1較大C2較??；在迭代后期階段，粒子的搜索空間縮小，其重心在全局最優(yōu)解，C1較小C2較大，保證了粒子群能夠精細(xì)的搜索。在傳統(tǒng)PSO參數(shù)中經(jīng)常選取C1=C2=2,這樣既不利于在前期進(jìn)化中快速找到最優(yōu)解，又不利于在后期得到全局最優(yōu)解。因此需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整C1和C2的值，使其在迭代的前后期中分別發(fā)揮其最優(yōu)作用。

(9)

式(9)中，C1f和C2f為C1和C2的初值，C1e和C2e為C1和C2的終值，S和Smax分別是當(dāng)前迭代次數(shù)和最高迭代次數(shù)。

2.2.2 禁忌搜索優(yōu)化

禁忌搜索算法是一種亞啟發(fā)式隨機(jī)式搜索算法[14]，從一個(gè)初始可行解出發(fā)，選擇一系列特定搜索方向作為試探，選擇實(shí)現(xiàn)讓特定的目標(biāo)函數(shù)變化最多的點(diǎn)。為了避免陷入局部最優(yōu)解，對已經(jīng)進(jìn)行優(yōu)化過程進(jìn)行記錄和選擇，指導(dǎo)下一步的搜索方向。通過設(shè)置禁忌表停止已經(jīng)進(jìn)行過的搜索，再通過特赦規(guī)則來釋放禁忌表中優(yōu)秀的元素。

作為粒子群算法后期收斂的保障，以粒子的多樣性作為禁忌搜索執(zhí)行的入口指標(biāo)。以下為禁忌搜索的入口條件：

(10)

式(10)中，N為粒子群個(gè)數(shù)，fi(x)為第i個(gè)粒子的適應(yīng)度值，favg為粒子群的平均適應(yīng)度值。

禁忌搜索的流程如下所示:

步驟1從執(zhí)行禁忌搜索的粒子領(lǐng)域里產(chǎn)生L個(gè)候選解。

步驟2判斷候選解集中的解是否符合特赦條件，若符合特赦條件則用該候選解替換該粒子個(gè)體最優(yōu)位置，同時(shí)替換最先進(jìn)入禁忌表的對象和當(dāng)前解，若不符合則進(jìn)行下一步。

步驟3判斷候選解是否被禁忌，選擇候選解中未被禁忌的解替換最先存入的禁忌表的對象和當(dāng)前解，若候選解中全部都是被禁忌狀態(tài)，則取禁忌表中所有對象的平均值替換個(gè)體最佳位置。

步驟4判斷禁忌搜索是否達(dá)到結(jié)束條件，如果達(dá)到則結(jié)束禁忌搜索，否則跳轉(zhuǎn)到步驟1。

2.2.3 適應(yīng)度函數(shù)定義

適應(yīng)度函數(shù)是粒子群算法的一個(gè)重要概念[15]。在粒子進(jìn)化的過程中需要依靠適應(yīng)度值來判斷當(dāng)前位置的好壞，以選擇更好的個(gè)體。適應(yīng)度函數(shù)的選擇直接影響最后的結(jié)果是否具有代表性。由于性能指標(biāo)的單位及數(shù)量級不一致，因此將其除以相應(yīng)的被動(dòng)懸架性能指標(biāo)值，構(gòu)造的適應(yīng)度函數(shù)f(x)為

(11)

X=(q1,q2,q3)

(12)

式(11)中：CJS、DXC、DBX分別代表車身垂直加速度、車身動(dòng)位移、車輪動(dòng)變形的均分方根值，CJSpas、DXCpas、DBXpas代表被動(dòng)懸架的相應(yīng)性能，優(yōu)化變量X為加權(quán)系數(shù)(q1,q2,q3),w1、w2、w3分別代表各個(gè)性能指標(biāo)的權(quán)重值。綜合考慮到車輛的各個(gè)指標(biāo)的重要性，取w1、w2、w3分別為0.5、0.3、0.2.

2.2.4 粒子群算法優(yōu)化過程

改進(jìn)的粒子群算法通過自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重調(diào)整來平衡粒子的全局和局部的搜索能力，通過引入禁忌搜索算法在局部搜索的優(yōu)勢，避免陷入局部最優(yōu)解。改進(jìn)粒子群算法對參數(shù)尋優(yōu)的具體步驟如下：

步驟1初始化粒子種群規(guī)模，生成初始化速度，并計(jì)算初始粒子的適應(yīng)值和全局最優(yōu)適應(yīng)值。

步驟2根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，并更新個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值和全局最優(yōu)適應(yīng)度值。

步驟3利用動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重更新粒子的位置和速度。

步驟4判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否達(dá)到開始執(zhí)行禁忌搜索的次數(shù)，若達(dá)到則執(zhí)行禁忌搜索，若不滿足則跳轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟5判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到則輸出禁忌搜索得到的全局最優(yōu)解，結(jié)束尋優(yōu)。若不滿足則跳轉(zhuǎn)到步驟2。

具體的改進(jìn)流程如圖2所示。

圖2 優(yōu)化流程圖

3 仿真分析

3.1 仿真模型搭建

以第二節(jié)建立的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，在MATLAB/simulink中搭建了如圖3所示的1/4二自由度主動(dòng)懸架仿真模型。

3.2 仿真參數(shù)設(shè)置

車輛主動(dòng)懸架參數(shù)如表1所示。

圖3 懸架仿真模型

表1 主動(dòng)懸架參數(shù)值

把設(shè)計(jì)的主動(dòng)懸掛與被動(dòng)懸架和傳統(tǒng)LQR控制器作對比，對經(jīng)過改進(jìn)后的LQR振動(dòng)控制性能對比分析。設(shè)置粒子種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100，學(xué)習(xí)因子C1和C2的動(dòng)態(tài)調(diào)整范圍分別為[1.75,2.55],[1.05,2.75],慣性權(quán)重w為[1.05,2.75]。搜索判別量q取第一次迭代后σ2/3,當(dāng)σ2

3.3 仿真對比分析

根據(jù)車輛的行駛情況選取15 m/s的速度在C級路面行駛工況，在相同結(jié)構(gòu)和路面激勵(lì)下，對傳統(tǒng)LQR控制器和粒子群算法優(yōu)化LQR控制器進(jìn)行模型的仿真。其中傳統(tǒng)LQR控制器的權(quán)重參數(shù)依靠經(jīng)驗(yàn)選取。兩種方法的仿真結(jié)果對比曲線如圖4～圖6所示。

圖4 改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器車身垂直加速度對比

圖5 改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器車身動(dòng)行程對比

圖6 改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器輪胎動(dòng)載荷對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化的LQR控制器與傳統(tǒng)LQR控制器在控制性能上面的區(qū)別。表2給出了在特定工況下，車身垂向加速度，車身車輪動(dòng)行程和輪胎動(dòng)載荷在兩種控制器下的仿真對比結(jié)果，從表2中可以看出在相同的路面激勵(lì)情況下，采用粒子群算法改進(jìn)的LQR控制器在車身垂向加速度，車身動(dòng)行程，和車輪動(dòng)載荷都產(chǎn)生了下降，分別為-6.39%、-2.96%、-5.92%。可以看出雖然經(jīng)過LQR控制器控制的主動(dòng)懸架相較于被動(dòng)懸架在各項(xiàng)指標(biāo)上均有提升但是相對于經(jīng)過粒子群算法改進(jìn)的主動(dòng)懸架還有進(jìn)一步的提升空間，且LQR控制器的權(quán)矩陣參數(shù)是依靠經(jīng)驗(yàn)選取，如果選取不得當(dāng)則控制效果還會進(jìn)一步惡化。因此可以證明經(jīng)過粒子群算法對于LQR控制器可以達(dá)到更優(yōu)的效果。

表2 性能指標(biāo)均方根值

4 結(jié)論

針對主動(dòng)懸架LQR控制器中權(quán)重參數(shù)選取的問題，采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化的算法對主動(dòng)懸架LQR控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。通過引入動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重和禁忌搜索算法，使粒子群算法的全局和局部能力得到平衡，并在迭代后期通過禁忌搜索避免陷入局部最優(yōu)解。在MATLAB/simulink中建立1/4主動(dòng)懸架模型進(jìn)行仿真分析，對粒子群優(yōu)化的LQR控制器方法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明經(jīng)過改進(jìn)后的LQR控制器相比與通過經(jīng)驗(yàn)選取的傳統(tǒng)LQR控制器能夠更好地改善汽車的舒適性和操作穩(wěn)定性。