文 康葉紅

圓是平面幾何中的基本圖形之一。它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。有些數(shù)學(xué)問題看似與圓無關(guān)，但如果我們根據(jù)題目中的已知條件，巧妙地構(gòu)造輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)建立起已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，往往能起到化隱為顯、化難為易、化繁為簡(jiǎn)的解題效果。現(xiàn)選取中考試題中一些“隱圓”問題加以剖析，與同學(xué)們一同感受圓的魅力。

例1（2018·江蘇南京節(jié)選）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=2∠BAD。O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OB=OD。求證：∠BOD=∠C。

【分析】本題中已知OA=OB=OD，可自然聯(lián)想到圓的定義：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。我們便容易想到構(gòu)造以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的⊙O，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，問題迎刃而解。

證明：∵OA=OB=OD，

∴點(diǎn)A、B、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上，

∴∠BOD=2∠BAD。

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C。

【總結(jié)】當(dāng)題目中出現(xiàn)有相同公共端點(diǎn)的三條相等線段，可根據(jù)圓的定義，構(gòu)造輔助圓。

例2（2016·江蘇淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)。將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是____。

【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算，掌握折疊的性質(zhì)，找到點(diǎn)P到邊AB距離最小的位置是解題的關(guān)鍵。如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF的長(zhǎng)固定不變，即PF=CF=2。所以，點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，以2為半徑的⊙F上運(yùn)動(dòng)。過點(diǎn)F作FH⊥AB交⊙F于點(diǎn)P，垂足是點(diǎn)H。此時(shí)PH最小，則△AFH∽△ABC，所以。由已知得AF=FH。所以，點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是PH=FH-FP。

【總結(jié)】當(dāng)題目中出現(xiàn)定點(diǎn)和定長(zhǎng)，可根據(jù)圓的基本定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓，來構(gòu)造輔助圓。

例3（2017·山東威海）如圖4，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為________。

【解析】如圖5，由△ABC為等邊三角形可知：AB=BC=CA=2，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。因?yàn)椤螾AB=∠ACP，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠ACP+∠PAC=60°。又因?yàn)樵凇鰽PC中，∠ACP+∠PAC+∠APC=180°，所以∠APC=120°。即點(diǎn)P在以AC為弦，圓周角∠APC=120°的⊙O上。因此，以AC為邊向外作等邊三角形，并作等邊三角形的外接圓⊙O，當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)P′時(shí)，BP′最小。所以

【總結(jié)】當(dāng)題目中出現(xiàn)一條定線段和定角時(shí)，如圖6（定線段AB和定角∠APB），可以定線段為弦，定角為圓周角構(gòu)造輔助圓。特殊地，當(dāng)定角∠P=90°時(shí)，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，則定線段就是圓的直徑。