文 楊春霞

圖形與幾何問(wèn)題一直是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在眾多幾何問(wèn)題中，以圓為背景考查的試題則更具有綜合性。當(dāng)圓與三角形、四邊形等圖形結(jié)合時(shí)還加入了圖形運(yùn)動(dòng)，眾多同學(xué)會(huì)感覺(jué)很困難，無(wú)從下手。下面結(jié)合例題對(duì)兩類動(dòng)圓問(wèn)題進(jìn)行剖析。

一、看得見(jiàn)的圓在動(dòng)，看不見(jiàn)的位置在變

例1如圖1，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4）。動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左做勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿射線DE的方向做勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)。

①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；

②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t的值。

【分析】第（1）問(wèn)是為第（2）問(wèn)服務(wù)的，用t表示點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，實(shí)際上是用含t的代數(shù)式來(lái)表示兩點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離。第（2）問(wèn)首先要有一種“遇動(dòng)會(huì)變、分類相隨”的意識(shí)。這樣的分類在條件中是可以捕捉到信息的，比如“當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)”。這種說(shuō)法對(duì)等腰三角形沒(méi)有指明要素關(guān)系，即不知道哪兩邊是腰。因而，在具有分類意識(shí)的情況下，我們對(duì)動(dòng)圓狀態(tài)的研究就要細(xì)致，讓圓慢慢地動(dòng)，尋找靜的臨界時(shí)刻。

（2）①當(dāng)⊙C由（5，0）向左運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)A到點(diǎn)D并繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，有OA≤OD，即

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥射線DE于F，則由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，則

從表6來(lái)看,該條公路資源單體等級(jí)高,數(shù)量多且分布均勻,但資源多樣性(C3)一般;交通便捷度準(zhǔn)則中,對(duì)外交通連接度(C5)和與其他公路連接度(C6)低;沿線可視景觀準(zhǔn)則中,景觀類型多樣,形式較為自然,但景觀層次與協(xié)調(diào)性還有所欠缺(C8);設(shè)施配置齊全,分布合理,但設(shè)施及周邊環(huán)境(C12)存在缺乏地方特色、養(yǎng)護(hù)管理不利、場(chǎng)地被占用等問(wèn)題。

當(dāng)PA=PB時(shí)，有PC⊥AB，

二、看不見(jiàn)的圓在動(dòng)，看得見(jiàn)的形狀在變

例2如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。求作菱形DEFG，使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上。

小明的作法：

1.如圖4，在邊AC上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交，BC于點(diǎn)G；

2.以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E；

3.在EB上截取EF=ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求菱形。

（2）小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化。請(qǐng)你繼續(xù)探索，直接寫出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍。

【分析】第（1）問(wèn)以小明的作法為基礎(chǔ)考查菱形的證明，需要同學(xué)們先理解作法，再結(jié)合菱形的判定定理進(jìn)行邏輯推理證明。第（2）問(wèn)是沿著小明的思路進(jìn)一步探索菱形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)D的位置關(guān)系。在探索過(guò)程中，同學(xué)們首先要借助直觀想象發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心、DG為半徑的動(dòng)圓上，因此，菱形的個(gè)數(shù)一方面受動(dòng)圓與線段AB的交點(diǎn)情況的制約，另一方面受AB長(zhǎng)度的制約，考查思維的全面性。

圖5～圖10演示了圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中基本圖形的生成情況，其中圖6、圖8和圖9是臨界狀態(tài)下的特殊情況。

證明：（1）∵DG=DE，DE=EF，

∴DG=EF。

又DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形。

又DE=EF，

∴?DEFG是菱形。