夏紅紅，汪學(xué)明，楊萬鑫

(貴州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

量子密碼的安全性完全運用量子力學(xué)的基本原理，成功解決了NP和RSA等問題。目前來說，量子密碼學(xué)可分為量子密鑰分配、量子秘密共享等方向。

量子秘密共享是密碼學(xué)的一個重要分支，主要是解決信息安全等問題。張建中等提出了兩個基于四粒子糾纏態(tài)的量子秘密共享方案，所提出的方案是高效且安全可靠的[1]；高明等提出了量子多方秘密共享方案，這使得所有的對稱糾纏態(tài)都可以通過隱形傳態(tài)來完成秘密共享協(xié)議[2]。量子秘密共享經(jīng)過多年的研究，不論是在實驗還是理論研究方面，都取得了很多成果[3-10]。

Cluster態(tài)是一種不同于GHZ態(tài)和W態(tài)的糾纏團(tuán)簇態(tài)。它不僅包含了GHZ態(tài)和W態(tài)的糾纏態(tài)性質(zhì)，還具有最大連通性和糾纏頑固性[4]，很難被局域操作所破壞，便于實驗實現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用為量子通信信道。在此基礎(chǔ)上，本文提出了兩個基于Cluster態(tài)的n位量子態(tài)秘密共享方案，一個是四粒子Cluster態(tài)，另一個是五粒子Cluster態(tài)。在方案一中，發(fā)送方Alex對自己所持有的粒子進(jìn)行bell測量，若Alex和Bess同意Chalie恢復(fù)未知量子態(tài)，Bess進(jìn)行bell測量，Chalie只需要對自己持有的粒子進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可。方案二中，同樣進(jìn)行兩次bell測量，引入輔助粒子進(jìn)行CNOT操作即可。從本文的計算中可知任何一個代理者在其他兩方協(xié)助下可以實現(xiàn)任意n位量子態(tài)的共享。本文的兩個方案操作簡單且不受共享態(tài)位數(shù)的影響，完全基于量子糾纏的量子隱形傳態(tài)的方式，理論上的成功概率可達(dá)100%。最后，對提出的兩個基于Cluster態(tài)的n位量子態(tài)秘密共享方案進(jìn)行了安全性分析。

1 四粒子Cluster態(tài)的n位量子態(tài)的秘密共享方案

1.1 兩位量子態(tài)的秘密共享方案

有3名參與者Alex、Bess和Chalie共同參與量子秘密的共享，其中Alex發(fā)送秘密，發(fā)送一個未知的兩位量子態(tài)

φab=α00ab+β11ab

(1)

將一個四粒子Cluster態(tài)作為量子信道，四粒子Cluster態(tài)的形式為

(2)

Alex擁有粒子1，Bess擁有粒子2和粒子3，Chalie擁有粒子4，則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(3)

Alex對自己手中的粒子1和a進(jìn)行bell測量，公布測量結(jié)果之后，Bess和Chalie手中粒子的狀態(tài)將會塌縮到下列4種狀態(tài)之一

(4)

(5)

(6)

(7)

不失一般性，假設(shè) Alex的測量結(jié)果為|φ+a1，則粒子b,2,3,4的態(tài)將會塌縮到

(8)

為了恢復(fù)未知量子態(tài)，需要將粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量，得到結(jié)果為

假設(shè)Alex和Bess同意Chalie恢復(fù)這個兩粒子糾纏態(tài)的信息，Chalie只需要對自己持有的粒子4進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可。同樣的，假設(shè)Alex的測量結(jié)果為式φ-a1，則粒子b,2,3,4的態(tài)將會塌縮到

(9)

同樣的將粒子2和粒子3做bell測量，得到結(jié)果為

和上面的步驟一樣，Chalie對粒子4進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可恢復(fù)初始量子態(tài)。具體結(jié)果見表1。

表1 四粒子Cluster態(tài)中共享兩位量子態(tài)秘密結(jié)果匯總

1.2 三位量子態(tài)的秘密共享方案

為了保證量子信道一致，仍然利用該信道實現(xiàn)未知三位量子態(tài)的秘密共享。

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc=α|000abc+β|111abc

(10)

則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(11)

同樣的，將粒子a和粒子1，粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量，剩余粒子將塌縮到

為了恢復(fù)未知的三位量子態(tài)，Chalie只需要對自己持有的粒子4進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可。

1.3 n位量子態(tài)的秘密共享方案

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc…n=α|000abc…n+β|111abc…n

(12)

則量子態(tài)消息與共享的四粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(13)

將粒子粒子a和粒子1，粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量，剩余粒子將塌縮到

首先將粒子1和粒子a進(jìn)行bell測量消去，在剩余bc…n234粒子中，由于粒子2和粒子3的粒子組合不會因為未知量子態(tài)發(fā)生改變而變，同樣的，和上述方案相同，將粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量消去，剩余bc…n4粒子，在原來的未知量子態(tài)中，由于a參與了bell測量消去，還剩余n-1個粒子，經(jīng)過糾纏變換，Alex的態(tài)轉(zhuǎn)移到了粒子4上，為了恢復(fù)未知的n位量子態(tài)，Chalie只需要對自己持有的粒子4進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可。具體結(jié)果見表2。

表2 四粒子Cluster態(tài)中共享n位量子態(tài)秘密結(jié)果匯總

在表2中，AM表示Alex公布測量結(jié)果時，剩余粒子塌縮的態(tài)，BM表示將粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量后的結(jié)果。

2 五粒子Cluster態(tài)的n位量子態(tài)的秘密共享方案

2.1 兩位量子態(tài)的秘密共享方案

同樣的該3名參與者Alex、Bess和Chalie共同恢復(fù)秘密，現(xiàn)在Alex給其中一人發(fā)送一個未知的兩量子態(tài)

|θab=α|00ab+β|11ab

(14)

共享的五粒子Cluster態(tài)為

(|00000+|00111+|11101+|11010)12345

(15)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(16)

首先將粒子a和粒子4進(jìn)行bell測量，得到

(17)

(18)

(19)

(20)

同樣的，以式(17)為例，將粒子b和粒子3進(jìn)行bell測量，得到

(21)

(22)

(23)

(24)

表3 五粒子Cluster態(tài)中共享兩位量子態(tài)秘密結(jié)果匯總

CM表示將粒子b和粒子3進(jìn)行bell測量的結(jié)果，DM表示將粒子1和粒子2進(jìn)行單粒子態(tài)測量的結(jié)果，U5表示粒子5需要進(jìn)行的幺正變換。

2.2 三位量子態(tài)的秘密共享方案

為了方便研究與闡述，仍然運用五粒子Cluster態(tài)為量子信道實現(xiàn)未知三位量子態(tài)的秘密共享。

此時Alex所要發(fā)送的三位量子態(tài)為

|θabc=α|000abc+β|111abc

(25)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(26)

將粒子a和粒子4進(jìn)行bell測量，得到

(27)

(28)

(29)

(30)

同樣的，以式(27)為例，將粒子b和粒子3進(jìn)行bell測量，得到

(31)

(32)

(33)

(34)

圖1 將(α|00+β|11)c5變換至α|000+β|111

2.3 n位量子態(tài)的秘密共享方案

此時Alex所要發(fā)送的態(tài)為

|φabc…n=α|000abc…n+β|111abc…n

(35)

則量子態(tài)消息與共享的五粒子Cluster態(tài)的復(fù)合系統(tǒng)可表示為

(36)

將粒子(a，4)，(b,3)進(jìn)行bell測量，剩余粒子將塌縮到

經(jīng)過兩次bell測量消去4個粒子(每次bell測量可消去兩個粒子)之后，在剩余粒子中，對粒子1和粒子2分別進(jìn)行單粒子態(tài)測量，最終剩余粒子總是比未知粒子少一個，通過引入輔助粒子的方法，實施一個CNOT操作，經(jīng)過量子線路最后都能恢復(fù)到初始未知量子態(tài)。具體結(jié)果見表4。

表4 五粒子Cluster態(tài)中共享n位量子態(tài)秘密結(jié)果匯總

3 安全性分析

當(dāng)攻擊者實施截獲重發(fā)攻擊時，可驗證信道的安全性。

(α|0000+α|0011+β|1100-β|1111)b234?
|0e=(α|00000+α|00110+
β|11000-β|11110)b234e

同樣的，對粒子2和粒子3進(jìn)行bell測量得到，若測量結(jié)果為|φ+23，則剩余粒子將會塌縮到(α|00-β|11)b4|0e，可以看出Eve并未獲取到任何有用的信息。同樣假設(shè)Eve糾纏的輔助粒子為|1e，則Bess、Chalie和Eve組合的態(tài)變?yōu)?/p>

(α|0000+α|0011+β|1100-β|1111)b234?
|1e=(α|00001+α|00111+
β|11001-β|11111)b234e

若測量結(jié)果為|ψ+23，則剩余粒子將會塌縮到(α|01+β|10)b4|1e，仍看出Eve未獲取到任何有用信息。

假設(shè)Bess不誠實，它無法通過局域操作的方法竊聽發(fā)送方的秘密信息；Bess沒有相關(guān)粒子的信息只能進(jìn)行猜測，隨著猜測次數(shù)的增多，概率接近于0，不被發(fā)現(xiàn)的概率很低。此外，對參與者和秘密發(fā)送方進(jìn)行認(rèn)證，并安全地檢測通信之間的量子信道，也能識別出是假冒的。假設(shè)Bess和Charlie合作，乍看可以恢復(fù)未知量子態(tài)，事實上通過檢測信道的安全性也能識別出盜竊者。

綜上所述，本文所提出的兩個方案均是安全可靠的。

4 結(jié)束語

本文分別基于四粒子Cluster態(tài)和五粒子Cluster態(tài)的量子信道，提出了兩個n位量子態(tài)秘密共享的方案。Cluster態(tài)不同于GHZ態(tài)和W態(tài)，但是其性質(zhì)卻比最大糾纏態(tài)穩(wěn)定，可直接用于通信。重構(gòu)者Alex只需要對所持有的粒子進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換即可或引入一個輔助粒子最后實施CNOT操作就可以重構(gòu)原始秘密。最后通過特定的量子線路可以得到特定位量子態(tài)的秘密共享，并且只有Bess和Charlie聯(lián)合才能恢復(fù)出未知量子態(tài)信息，分析表明兩個方案均是安全的。且本文提出的方案在理論上成功的概率達(dá)100%。文獻(xiàn)[4]添加輔助粒子，并對量子態(tài)進(jìn)行五粒子聯(lián)合測量等操作，方案繁瑣，而本文只需要兩次bell測量和幺正變換，步驟簡單。文獻(xiàn)[5]雖然實現(xiàn)了發(fā)送方和另外N-1方的秘密共享，最終只可形成n[1-(N-1)/2N-1]/6個共享秘密位。接下來將進(jìn)行秘密參與者多方性的研究，完善量子秘密共享機制。