喻盛琪,張?zhí)祢U,趙健根,張 天

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué) 信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

0 引 言

直接序列擴(kuò)頻(direct sequence spread spectrum，DSSS)作為一種重要的調(diào)制技術(shù)，因其具有較強(qiáng)的抗干擾能力和保密性能，以及低截獲率等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用在電子對抗，航空航天，通信監(jiān)測等通信領(lǐng)域[1]。在非協(xié)作通信中，由于發(fā)射的是經(jīng)過PN碼調(diào)制后頻譜得到展寬的信號，而在接收端需要知道用于擴(kuò)頻的PN碼才能實(shí)現(xiàn)信號的盲解擴(kuò)，因此對DSSS信號PN碼的盲估計(jì)研究已成為DSSS通信系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的研究熱點(diǎn)[2]。非周期長碼直擴(kuò)信號最大特點(diǎn)就是用一周期的PN碼調(diào)制非整數(shù)個信息碼元，PN碼的周期性遭到嚴(yán)重破壞，盲估計(jì)難度大。就公開發(fā)表的文獻(xiàn)來看，對非周期長碼直擴(kuò)信號的PN碼盲估計(jì)研究較少。

針對長碼直擴(kuò)信號的PN碼盲估計(jì)研究，文獻(xiàn)[3-5]將長碼直擴(kuò)信號建模為多用戶短碼直擴(kuò)信號模型，實(shí)現(xiàn)了PN碼的有效估計(jì)，并根據(jù)特定約束條件完成了PN碼片段的拼接，但是都沒能有效解決在拼接時產(chǎn)生的相位模糊問題。文獻(xiàn)[6]先用聚類方法對PN碼分段估計(jì)，再用游程檢驗(yàn)進(jìn)行恢復(fù)，解決了相位模糊問題，但隨著數(shù)據(jù)量的增大，算法復(fù)雜度隨之升高，性能急劇下降，以上文獻(xiàn)所使用的方法只能對周期長碼直擴(kuò)信號PN碼進(jìn)行盲估計(jì)。對非周期長碼直擴(kuò)信號的PN碼盲估計(jì)，使用較多的方法就是文獻(xiàn)[7-11]中的m序列三階相關(guān)函數(shù)法，但是該方法只適用于PN碼為m序列的情況，而對于Gold等其它PN碼序列不再適用。其次就是將非周期長碼直擴(kuò)信號建模為含有缺失數(shù)據(jù)的短碼直擴(kuò)信號[12]，但是當(dāng)缺失數(shù)據(jù)比例較大時，估計(jì)性能嚴(yán)重下降。

針對上述問題，本文提出基于分段特征值分解和梅西算法的非周期長碼直擴(kuò)信號PN碼盲估計(jì)方法。首先，在偽碼周期內(nèi)根據(jù)擴(kuò)頻調(diào)制比對信號進(jìn)行非重疊分段。然后，利用分段特征值分解估計(jì)出PN碼片段并進(jìn)行拼接，其中每個片段都會獨(dú)立地取正負(fù)號。最后，從二進(jìn)制偽隨機(jī)碼的產(chǎn)生規(guī)律及特性出發(fā)，通過滑動搜索窗，利用梅西算法得到PN碼的生成多項(xiàng)式，消除在拼接時產(chǎn)生的相位模糊，從而估計(jì)出正確的m序列和Gold序列。

1 信號模型

不失一般性，假設(shè)信號的PN碼周期及碼片速率已通過文獻(xiàn)[13]得到，則接收機(jī)端接收的基帶非周期長碼直擴(kuò)信號經(jīng)碼片速率采樣后，可以表示為

(1)

其中

(2)

(3)

為方便起見，假設(shè)根據(jù)文獻(xiàn)[4]已經(jīng)完成信號的盲同步，即τ=0，此時式(1)可記作為

y(n)=s(n)+v(n),n=1,2,…,N

(4)

2 算法原理

2.1 信號分段特征值分解

圖1 分段特征值分解

定義Yj如下

(5)

其中

(6)

對Yj的自相關(guān)矩陣Rj進(jìn)行特征值分解，由式(5)可得信號自相關(guān)矩陣Rj的估計(jì)值為

(7)

由于s和v相互獨(dú)立，當(dāng)M→∞時，式(7)中第一項(xiàng)和第四項(xiàng)趨于0，則式(7)可進(jìn)一步化簡為

(8)

即

(9)

將(6)式代入式(9)中得

(10)

(11)

(12)

由矩陣分解知識可知，式(12)就是矩陣Rj的特征值分解式，即

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

由式(16)可看出，根據(jù)特征值分解法估計(jì)得到的PN碼的每一段都可以獨(dú)立地取正負(fù)號，因此存在分段相位模糊的問題，這使得輸出序列有2J種選擇，要從2J種選擇中恢復(fù)出一整周期完全正確的PN碼絕非易事。下面通過梅西算法求PN碼生成多項(xiàng)式從而對PN碼進(jìn)行恢復(fù)，消除相位模糊。

2.2 梅西算法

梅西算法是用來求產(chǎn)生二元序列的最短線性移位寄存器的一種迭代算法[14]，即通過歸納的方法從校驗(yàn)子中找出一系列的移位寄存器：〈fnx,ln〉,n=1,2,…,B，使每個〈fnx,ln〉都是產(chǎn)生序列前n項(xiàng)的最短移位寄存器，最終得到的〈fBx,lB〉就是產(chǎn)生B長二元序列的最短線性移位寄存器，其中fBx為寄存器的聯(lián)結(jié)多項(xiàng)式，lB為寄存器的級數(shù)，也是多項(xiàng)式的階數(shù)。利用梅西算法求給定二元序列的最短線性移位寄存器的過程如下：

任意給定一個序列a0,a1,…aB-1，用數(shù)學(xué)歸納法定義一系列的寄存器〈fnx,ln〉,n=1,2,…,B。

(1)取初始值：f0x=1,l0=0。

(17)

其中，dn為第n步差值，并區(qū)別以下兩種情形:

1)若dn=0，則令

fn+1x=fnx,ln+1=ln

(18)

2)若dn=1，則需要區(qū)分以下兩種情形:

當(dāng)l0=l1=…=ln=0，取

fn+1x=1+xn+1,ln+1=n+1

(19)

當(dāng)有m0≤m

fn+1x=fnx+xn-mfmx

(20)

ln+1=maxln,n+1-ln

(21)

通過該過程最后得到的〈fBx,lB〉便是產(chǎn)生序列a0,a1,…aB-1的最短線性移位寄存器。其算法流程如圖2所示。

2.3 PN碼生成多項(xiàng)式求解

擴(kuò)頻通信中使用的PN碼大部分是由線性反饋移位寄存器(LFSR)產(chǎn)生的二進(jìn)制偽隨機(jī)序列，如式(22)所示

ak=hlak-l+hl-1ak-l+1+…+h2ak-2+h1ak-1

(22)

即PN碼序列的第k位，可由前l(fā)位線性表示，其中，l為生成多項(xiàng)式階數(shù)。h0,h1,…h(huán)lh0=1為生成多項(xiàng)式的系數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，利用梅西算法求無誤碼(跟原序列相比完全同相或反相)的二進(jìn)制偽隨機(jī)序列的生成多項(xiàng)式時，不需要知道完整的周期序列，只需要知道其中連續(xù)正確的2l位即可。以m序和Gold序列為例，當(dāng)截取的序列長度大于或者等于2l時，利用梅西算法均可100%求出該序列的生成多項(xiàng)式。

圖2 梅西算法流程

根據(jù)這一結(jié)論，把式(16)作為待求生成多項(xiàng)式的序列，如圖3所示，按照一定的步長滑動搜索一個無誤碼矩形窗(窗長為2l)，利用梅西算法求其對應(yīng)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式就是m序列或Gold序列生成多項(xiàng)式。由式(22)可知，根據(jù)求得的生成多項(xiàng)式和矩形窗中連續(xù)的l位，可以產(chǎn)生一周期長度的新的序列，然后選取滑動窗后的部分序列同與之對應(yīng)的部分新序列相比較，通過判斷其對應(yīng)位置相同的概率是否達(dá)到一個閾值，來判斷求得的生成多項(xiàng)式是否正確，從而判斷出產(chǎn)生的新序列是否為恢復(fù)的PN碼序列。顯然，閾值越大，恢復(fù)的PN碼序列誤碼率越低，但滑動窗需要滑動搜索的次數(shù)也越多。通過合理設(shè)置閾值，可以達(dá)到不同的實(shí)驗(yàn)要求，本文將閾值設(shè)置為80%，其實(shí)驗(yàn)效果將在后面給出。

綜上所述，利用梅西算法識別序列生成多項(xiàng)式從而恢復(fù)出無相位模糊的PN碼的具體步驟如下：

步驟1 將式(16)作為接收序列；

步驟2 選取接收序列的第v位(假設(shè)v的初始值為5，v≤L-4l-4)到第v+2l-1位，也就是接收序列中連續(xù)的2l位，作為一個矩形滑動窗，利用梅西算法求序列的生成多項(xiàng)式；

步驟3 根據(jù)生成多項(xiàng)式及矩形窗中連續(xù)的前l(fā)位，產(chǎn)生一周期長度的新的序列；

步驟4 將新序列的第2l+1位到第4l位與接收序列的第v+2l位到v+4l-1位進(jìn)行比較，如果對應(yīng)位置相同的概率達(dá)到80%，那么求得的多項(xiàng)式就是PN碼序列生成多項(xiàng)式，然后執(zhí)行步驟5，恢復(fù)出對應(yīng)的序列；如果對應(yīng)位置相同的概率未達(dá)到80%，滑動矩形窗，將v的值加5，重復(fù)步驟2、步驟3、步驟4，直到這兩段對應(yīng)位置相同；

圖3 生成多項(xiàng)式求解

步驟5 根據(jù)序列的周期性，對新的序列向右循環(huán)移動v-1位，就可以恢復(fù)出一整周期不存在相位模糊的PN碼。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)中，信息碼采用BPSK調(diào)制的隨機(jī)序列；PN碼采用由線性移位寄存器產(chǎn)生的m序列和Gold序列，其具體階數(shù)、周期長度及生成多項(xiàng)式見表1；誤碼率計(jì)算公式為

(23)

式中：nm表示第m次蒙特卡洛仿真中估計(jì)的PN碼誤碼個數(shù)，M表示蒙特卡洛仿真次數(shù)，L表示PN碼的周期長度。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)選取的PN碼

實(shí)驗(yàn)1：驗(yàn)證本文方法的可行性。PN碼采用表1中的7階Gold序列，設(shè)接收信號樣本長度N=200L，G=53，擴(kuò)頻調(diào)制比r=L/G=2.4，信噪比SNR=-10 dB，利用分段特征值分解對PN碼進(jìn)行估計(jì)如圖4所示，利用梅西算法對PN進(jìn)行恢復(fù)如圖5所示。

圖4中估計(jì)的PN碼是各段PN碼按式(16)進(jìn)行組合得到的一整周期的PN碼序列的估計(jì)值(未取符號函數(shù))，由于各子段的碼序列是獨(dú)立估計(jì)的，組合后就會出現(xiàn)分段相位模糊的情況，從圖4可看出，估計(jì)出的第2子段PN碼(第54位到第106位)的相位與對應(yīng)的真實(shí)PN碼的相位完全反相。

圖5是特征值分解結(jié)合梅西算法估計(jì)出來的PN碼估計(jì)值，為了便于和真實(shí)PN碼進(jìn)行比較，在圖5中將估計(jì)的PN碼幅度值縮小為原來的0.8倍。由圖5可知，圖4中存在相位模糊的PN碼經(jīng)過梅西算法處理恢復(fù)后與真實(shí)PN碼完全相同，不再存在相位模糊的問題。

實(shí)驗(yàn)2：比較不同擴(kuò)頻調(diào)制比對PN碼的估計(jì)性能的影響。PN碼分別采用表1中的9階Gold序列和m序列，接收信號樣本長度N=200L，擴(kuò)頻調(diào)制比分別為r=1.8，r=2.4，r=3.5，r=5.2，信噪比變化范圍從-20 dB～-10 dB，變化間隔為1 dB，蒙特卡洛仿真400次得到PN碼的誤碼率曲線如圖6和圖7所示。

圖4 估計(jì)PN碼與真實(shí)PN碼對比

圖5 估計(jì)PN碼與真實(shí)PN碼對比

圖6 不同擴(kuò)頻調(diào)制比下9階Gold序列誤碼率

圖7 不同擴(kuò)頻調(diào)制比下9階m序列誤碼率

從圖6和圖7中可看出，無論是對m序列還是Gold序列的估計(jì)，r越大，對PN碼的周期性破壞越大，分段特征分解的性能越差，最終恢復(fù)出的PN碼序列的誤碼率也就越高。

對比圖6和圖7還可以看出，在相同的擴(kuò)頻調(diào)制比和相同階數(shù)下，估計(jì)的m序列的誤碼率低于Gold序列的誤碼率。這是因?yàn)楫a(chǎn)生m序列的LFSR的級數(shù)是產(chǎn)生Gold序列的LFSR的級數(shù)的一半，在利用梅西算法進(jìn)行m序列恢復(fù)時，矩形滑動窗的長度及相比較的數(shù)據(jù)長度也是Gold序列的一半，這樣在一個PN碼周期長度內(nèi)，矩形窗具有更多的滑動次數(shù)，對比得到的數(shù)據(jù)也越精確，從而恢復(fù)出序列的誤碼率也就越低。

實(shí)驗(yàn)3：比較不同階數(shù)對PN碼的估計(jì)性能的影響。設(shè)置接收信號樣本長度N=200L，擴(kuò)頻調(diào)制比分別為r=5.2，PN碼分別采用表1中的7、9、10階Gold序列以及7、8、9、10階m序列，信噪比變化范圍從-20 dB～-5 dB，變化間隔為1 dB，蒙特卡洛仿真400次得到PN碼的誤碼率曲線如圖8和圖9所示。

從圖8和圖9中可以看出，不同階數(shù)下，隨著信噪比的增加，估計(jì)的m序列和Gold序列誤碼率逐漸減少，在信噪比SNR=-15 dB和SNR=-17 dB下，可以實(shí)現(xiàn)對10階Gold序列和10階m序列的正確估計(jì)。在相同信噪比下，階數(shù)越高的序列恢復(fù)出的PN碼序列的誤碼率越低。這是因?yàn)殡A數(shù)越高，序列的周期長度越長，算法處理的數(shù)據(jù)越多，包含有用信息越多，估計(jì)出的序列越準(zhǔn)確，但數(shù)據(jù)的計(jì)算量也就越大，算法執(zhí)行時間也就越長。

圖8 不同階數(shù)的Gold序列誤碼率

圖9 不同階數(shù)的m序列誤碼率

實(shí)驗(yàn)4：比較在不同階數(shù)下，正確估計(jì)出PN碼序列所需要的數(shù)據(jù)組數(shù)，每組數(shù)據(jù)長度為PN碼周期長度L。設(shè)置擴(kuò)頻調(diào)制比r=2.4，采用的PN碼序列及信噪比變化范圍同實(shí)驗(yàn)3，蒙特卡洛仿真300次，得到不同階數(shù)下完全正確地估計(jì)出PN碼所需要的數(shù)據(jù)組數(shù)隨信噪比變化曲線如圖10和圖11所示。

圖10 Gold序列數(shù)據(jù)組數(shù)與信噪比關(guān)系

圖11 m序列數(shù)據(jù)組數(shù)與信噪比關(guān)系

從圖10和圖11可以看出，不同階數(shù)下，隨著信噪比的增加，完全估計(jì)出PN碼序列所需要的數(shù)據(jù)組數(shù)在不斷減少；在信噪比SNR=-5 dB下，大約只需要10組數(shù)據(jù)就能完全估計(jì)出各階的Gold序列和m序列。在同一信噪比下，階數(shù)越高，序列周期長度越長，完全估計(jì)出PN碼序列所需要的數(shù)據(jù)組數(shù)越少。

4 結(jié)束語

針對非周期長碼直擴(kuò)信號PN碼盲估計(jì)問題，本文提出了特征分解與梅西算法相結(jié)合的方法。首先利用特征值分解估計(jì)出每一小段的PN碼，對每一小段PN碼進(jìn)行拼接得到一整周期長度的PN碼。對于拼接產(chǎn)生的相位模糊問題，利用梅西算法估計(jì)PN碼生成多項(xiàng)式，根據(jù)生成多項(xiàng)式對序列進(jìn)行恢復(fù)，從而得到完全正確的PN碼。實(shí)際上該方法適應(yīng)于多種PN碼的估計(jì)，仿真實(shí)驗(yàn)以常用的m序列和Gold序列為例進(jìn)行研究，結(jié)果表明，本文方法能夠在較低信噪比下對這兩種序列進(jìn)行有效估計(jì)，并且序列的階數(shù)越高，性能越好。