馬佳 吳世寶 張瑞媛 高婧

摘要：為了對(duì)懸臂式桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化，提出了一種更為簡單可行的非線性規(guī)劃模型。首先，在充分分析懸臂式桁架使用要求的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地將懸臂端節(jié)點(diǎn)撓度和結(jié)構(gòu)的可靠性分別視為目標(biāo)函數(shù)和限制條件，并通過靜力學(xué)分析確定了目標(biāo)函數(shù)和限制條件的具體表達(dá)式。然后，利用Python語言編程對(duì)優(yōu)化方案進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)在給定的限制條件下，當(dāng)桁架的總長為4 m、總高為26 m且桿件的橫截面積為1 400 mm2時(shí)，懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度最小。最后，利用ABAQUS軟件并根據(jù)有限元法來判斷優(yōu)化方案的合理性。有限元法的計(jì)算結(jié)果表明：得出的優(yōu)化方案是較為準(zhǔn)確合理的，且適當(dāng)減少桁架的總長并增大桁架的總高和桿件的橫截面積，可以降低懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度。因此，基于非線性規(guī)劃模型提出的目標(biāo)函數(shù)和限制條件為其他類型桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新思路。

關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃;有限元法;懸臂式桁架; Python;ABAQUS

中圖分類號(hào)：O342文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi： 10.7535/hbgykj.2020yx03011

Abstract：

In order to improve and optimize the structure of the cantilever truss， a more simple and feasible nonlinear programming model was proposed. First of all， based on fully analyzing the requirements of cantilever truss， the deflection of the cantilever truss end node and the reliability of the structure were innovatively regarded as the objective function and the constraint condition respectively， and the static analysis was carried out to figure out the specific expressions of the objective function and the constraint condition. Subsequently， the optimization scheme was solved by Python language programming， which revealed that with the total length of this truss of 4 m， the total height of

2.6 m and the crosssectional area of 1 400 mm2， the deflection of the cantilever truss end node was minimum under the given constraints. Finally， ABAQUS software was utilized to judge the rationality of the optimization scheme based on finite element method. The calculation results of finite element method demonstrate that the optimization scheme is correct and reasonable to some extent. In addition， decreasing the total length of truss and increasing the total height of truss and the crosssectional area of the bars appropriately can reduce the deflection of this cantilever truss end node. Therefore， the objective function and the constraint condition of the nonlinear programming model can provide a new idea for presenting better optimization design model of other types of truss structures.

Keywords：

nonlinear programming; finite element method; cantilever truss; Python; ABAQUS

作為一種格構(gòu)化的梁式結(jié)構(gòu)[1]，桁架結(jié)構(gòu)以其優(yōu)越的承載能力以及抗拉（壓）性能，被廣泛應(yīng)用于建筑、煤礦、機(jī)械、航空、船舶等諸多工業(yè)領(lǐng)域的大跨度主承力結(jié)構(gòu)中。因而，研究這類大跨度桁架結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、仿真分析和施工技術(shù)對(duì)充分發(fā)揮此類結(jié)構(gòu)的承載能力和保障結(jié)構(gòu)安全具有十分重要的意義。例如，張國偉等[2]利用靜力試驗(yàn)和ABAQUS軟件對(duì)影響M型鋼桁架組合樓板的保溫與受力性能的參數(shù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)增加型鋼厚度和鋼筋直徑可以有效地提高樓板的承載能力;袁國平等[3]對(duì)大型煤場中廣泛使用的大跨度拱形拉索桁架結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵施工技術(shù)進(jìn)行了總結(jié)，指出在施工時(shí)應(yīng)主要對(duì)跨中節(jié)點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)測，且應(yīng)適當(dāng)增加拉索的實(shí)際內(nèi)力;廖能解等[4]基于SolidWorksWorkbench平臺(tái)對(duì)某種桁架機(jī)器人的2種典型工況進(jìn)行了靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，指出當(dāng)伺服電機(jī)的激振頻率在40～50 Hz時(shí)，不會(huì)影響桁架機(jī)器人的工作精度以及穩(wěn)定性;李元章等[5]根據(jù)積木式驗(yàn)證方法對(duì)某飛艇的桁架式復(fù)合材料龍骨結(jié)構(gòu)進(jìn)行了強(qiáng)度驗(yàn)證，認(rèn)為根據(jù)此方法得出的強(qiáng)度結(jié)論滿足工程應(yīng)用需要，且結(jié)論偏向保守;崔宏林等[6]采用直接計(jì)算法對(duì)某艘鋼管桁架式連接橋結(jié)構(gòu)的小型雙體船的連接橋部位進(jìn)行了局部強(qiáng)度評(píng)估，認(rèn)為在5級(jí)海況下，橫向支撐桿件和強(qiáng)、弱框架都無法滿足規(guī)定的強(qiáng)度要求。

正如文獻(xiàn)[6]所指出的，一旦桁架結(jié)構(gòu)不再滿足規(guī)定的使用要求，則必須對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化，以重新達(dá)到目標(biāo)要求。因而，研究桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型或優(yōu)化算法對(duì)獲得更為合適的優(yōu)化結(jié)果有著重要的指導(dǎo)價(jià)值。例如，喬心州等[7]基于區(qū)間變量描述不確定參數(shù)提出了一種具有非概率可靠性的桁架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化模型，并發(fā)現(xiàn)此模型可以快速穩(wěn)定地得到收斂的最優(yōu)解，且符合工程設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn);郝寶新等[8]改進(jìn)了傳統(tǒng)的桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，并提出了一種綜合考慮多種約束的桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型——半定規(guī)劃模型，此模型有效地解決了在應(yīng)用傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型時(shí)出現(xiàn)的優(yōu)化模型非凸以及多重特征值不存在常規(guī)梯度等問題;李彥蒼等[9]通過在傳統(tǒng)的海豚群算法中引入信息熵的方法來減少盲目搜索，并發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的海豚群算法在克服了傳統(tǒng)海豚群算法容易陷入局部最優(yōu)解問題的同時(shí)，表現(xiàn)出更好的收斂速度和尋優(yōu)精度;李沛豪等[10]通過在粒子群算法中設(shè)置更為合理的罰函數(shù)機(jī)制來對(duì)桁架結(jié)構(gòu)截面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并指出與傳統(tǒng)的粒子群算法相比，改進(jìn)后的粒子群算法穩(wěn)定性更好，尋優(yōu)效率更高。

基于上述分析，為了確定某個(gè)懸臂式桁架的優(yōu)化方案，以懸臂端節(jié)點(diǎn)撓度最小為目標(biāo)函數(shù)，利用一個(gè)非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，在控制桿件的尺寸并保證桿件不發(fā)生破壞的前提下，結(jié)合Python語言編程，求得懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度最小時(shí)桁架結(jié)構(gòu)中桿件的尺寸。隨后，利用Python計(jì)算出的優(yōu)化尺寸，在ABAQUS軟件中建立此桁架的力學(xué)模型并根據(jù)有限元法計(jì)算出懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度、鉸支座支反力和桿件應(yīng)力，通過對(duì)比Python計(jì)算出的最小撓度和ABAQUS軟件計(jì)算出的最小撓度以及觀察ABAQUS軟件計(jì)算出的鉸支座支反力和桿件應(yīng)力是否滿足相應(yīng)的約束條件，來判斷優(yōu)化模型是否合理。

1優(yōu)化模型的建立

在對(duì)懸臂式桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，一般需要結(jié)合實(shí)際情況考慮以下幾個(gè)方面的問題：1）由于工作空間有限，需要對(duì)桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件的尺寸（如長度、橫截面積等）進(jìn)行必要的限制;2）由于懸臂式結(jié)構(gòu)一般都是用鉸支座固連到墻壁上，因而在桁架承受一定的外載荷后，鉸支座處會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的約束力，其大小不能超過規(guī)定的許用值;3）由于桁架結(jié)構(gòu)中的桿件在受到外載荷后都會(huì)產(chǎn)生拉伸或壓縮變形，其拉應(yīng)力或壓應(yīng)力不能超過材料的許用拉應(yīng)力或壓應(yīng)力;4）對(duì)于懸臂式結(jié)構(gòu)，其最大的變形往往發(fā)生在懸臂端，因而在優(yōu)化懸臂式桁架時(shí)，也要求其懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度盡可能小。由此可見，這一優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)和限制條件不都是線性函數(shù)，其中也包含許多非線性函數(shù)。因而，可以基于非線性規(guī)劃的原理[11]來建立懸臂式桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型。

1.1構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

由上述分析可知，懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度最小，可以作為此優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。在已知懸臂式桁架結(jié)構(gòu)所受的外載荷時(shí)，可以使用單位載荷法（莫爾積分）來計(jì)算懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度[12]。設(shè)此桁架結(jié)構(gòu)中共有

n個(gè)長度不完全相等的桿件，它們的彈性模量均為E，橫截面都是面積為A的圓，由單位載荷法可得懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度y的表達(dá)式為

1.2.2限制鉸支座所受的約束力

為了保證結(jié)構(gòu)的安全，需要將鉸支座所受的約束力限制在一定的范圍內(nèi)。設(shè)此桁架結(jié)構(gòu)與墻壁之間共有m個(gè)鉸支座，且各個(gè)鉸支座所受的總約束力為Fj，其大小可以通過靜力學(xué)分析求出。若其許用值為[F]，則此約束條件可表示為

2算例分析

2.1工程概況

某懸臂式桁架簡化后的桁架結(jié)構(gòu)及其受到的外載荷如圖1所示。此結(jié)構(gòu)中的桿件均由Q235鋼制成，其彈性模量為211 GPa，屈服極限為235 MPa，A為橫截面積;A—J為鉸接的節(jié)點(diǎn);K和L是鉸支座，其中鉸支座K是固定鉸支座，鉸支座L是可動(dòng)鉸支座，且水平方向2個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離均為a，豎直方向2個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離為b/2。節(jié)點(diǎn)A，C，F(xiàn)，I均受到大小為P=35 kN、方向豎直向下的載荷，節(jié)點(diǎn)B，E，H均受到大小為Q=120 kN、方向豎直向上的載荷。

由于工作條件發(fā)生了變化，圖1所示的懸臂式桁架原有的結(jié)構(gòu)不再滿足新的使用要求，需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化。由于空間有限，在改造該懸臂式桁架時(shí)，對(duì)其結(jié)構(gòu)尺寸提出了一些新的要求，包括其總長4a不少于4 m但不超過8 m，其總高b不少于1 m但不超過3 m，每個(gè)桿件的橫截面積A不少于700 mm2但不超過1 400 mm2，且K和L兩處鉸支座的約束力均不得超過300 kN，并取安全系數(shù)S為15。在滿足上述要求的同時(shí)，還應(yīng)滿足在給定載荷的作用下，使節(jié)點(diǎn)A的撓度盡可能小。

2.2將目標(biāo)函數(shù)具體化

要想確定具體的目標(biāo)函數(shù)和限制條件，首先需要對(duì)圖1所示的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析，以求出K和L兩處的約束力以及各個(gè)桿件的軸力。取此桁架結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象，解除鉸支座K和L處的約束，由于K是固定鉸支座，解除該處的約束后可以用水平和豎直2個(gè)相互正交的約束力代替;L是可動(dòng)鉸支座，因而只有1個(gè)水平方向的約束力[13]。桁架所受的各個(gè)力形成了平面任意力系，因而可以列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，并由此解得鉸支座K和L兩處的約束力，其中，K處的水平約束力為FKX=（6Qa-10Pa）/b，豎直約束力為FKY=（3Q-4P）;L處的約束力為FL=（6Qa-10Pa）/b。

然后利用節(jié)點(diǎn)法，分別求出此桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件在原始載荷作用下的軸力，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

由表1可知，在原始載荷的作用下，桁架結(jié)構(gòu)中的各個(gè)桿件所受軸力的方向并不相同。由工程概況中給出的載荷大小，可以判斷出此桁架結(jié)構(gòu)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)都有向上運(yùn)動(dòng)的趨勢，因而位于該結(jié)構(gòu)上方的桿件一般都承受壓縮載荷，結(jié)構(gòu)下方的桿件一般都承受拉伸載荷，且越靠近鉸支座的桿件，所受的軸力越大。

去掉該結(jié)構(gòu)所受的所有載荷，并在節(jié)點(diǎn)A施加1個(gè)方向豎直向上，大小為1的單位載荷R，利用類似的方法，可以得到在此單位載荷R的作用下，此結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件的軸力，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，由于施加的單位載荷R的方向是豎直向上，因而該桁架結(jié)構(gòu)總體的變形趨勢與原始載荷作用下該桁架結(jié)構(gòu)的變形趨勢大致相同。除此之外，在單位載荷R的作用下，該桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件軸力的方向也與原始載荷作用下該桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)桿件軸力的方向不完全相同。事實(shí)上，這是一種正?，F(xiàn)象，在計(jì)算時(shí)只需要按照單位載荷法規(guī)定的符號(hào)要求代入莫爾積分的表達(dá)式即可。

由表3可知，當(dāng)水平方向相鄰2節(jié)點(diǎn)之間的距離a=1 m，鉸支座K和L之間的距離b=2.6 m且桿件的橫截面積A=1 400 mm2時(shí)，懸臂端節(jié)點(diǎn)A的撓度取得最小值為3.473 mm。由一般的工程經(jīng)驗(yàn)可知，對(duì)于一個(gè)懸臂式結(jié)構(gòu)，外伸的長度越短，其懸臂端的撓度越小。除此之外，對(duì)于等直桿一類的構(gòu)件，橫截面積越大，其抗拉（壓）剛度越大，越有利于抵抗外力產(chǎn)生的變形。因而，可以初步判斷表3所示的優(yōu)化結(jié)果是合理的。

3優(yōu)化模型的合理性驗(yàn)證

為了判斷上述用于優(yōu)化此懸臂式桁架的非線性規(guī)劃模型的合理性，本文利用ABAQUS軟件對(duì)該模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。具體的驗(yàn)證思路：1）利用表3所示的已經(jīng)優(yōu)化好的該懸臂式桁架中各個(gè)桿件的尺寸（水平方向相鄰2節(jié)點(diǎn)之間的距離a、鉸支座K和L之間的距離b、桿件的橫截面積A），在ABAQUS軟件中建立此懸臂式桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型;2）給建立好的有限元模型施加工程概況中所給出的各個(gè)載荷;3）通過計(jì)算在給定載荷下ABAQUS軟件利用有限元法[1415]得出的節(jié)點(diǎn)A的撓度與表3中所示的節(jié)點(diǎn)A的撓度之間的相對(duì)誤差，同時(shí)觀察ABAQUS軟件根據(jù)有限元法計(jì)算出的鉸支座K和L處的支反力以及各個(gè)桿件中的最大應(yīng)力σmax是否滿足2.3節(jié)中的各項(xiàng)約束條件，來判斷此非線性規(guī)劃模型是否合理。

3.1有限元模型的建立過程

3.1.1創(chuàng)建幾何模型并劃分網(wǎng)格

在“部件”模塊的“創(chuàng)建部件”對(duì)話框中，設(shè)置模型空間為“二維平面”、類型為“可變形”、基本特征為“線”，即可開始繪制此懸臂式桁架結(jié)構(gòu)的草圖。根據(jù)表3中給出的桿件尺寸，可以確定圖1所示的懸臂式桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)在二維平面內(nèi)的坐標(biāo)，分別為A（4 000 mm， 0），

然后給圖2所示的幾何模型劃分網(wǎng)格。由于桁架結(jié)構(gòu)中的各個(gè)桿件在承受外載荷時(shí)都只受軸向的拉力或壓力，因而在劃分網(wǎng)格時(shí)，可以將每個(gè)桿件視為1個(gè)網(wǎng)格單元，而桿件內(nèi)部不必再細(xì)化網(wǎng)格。ABAQUS軟件中默認(rèn)桁架結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格類型為T2D2，這是一種專門為二維二節(jié)點(diǎn)桁架劃分網(wǎng)格的網(wǎng)格單元類型。由于圖2中的結(jié)構(gòu)共有21個(gè)桿件，因而共需要?jiǎng)澐?1個(gè)網(wǎng)格單元。

3.1.2定義材料和截面屬性

首先給各個(gè)桿件賦予相應(yīng)的材料。由于此懸臂式桁架結(jié)構(gòu)中的各個(gè)桿件在承受外載荷時(shí)發(fā)生的變形都是彈性變形，且沿各個(gè)方向的力學(xué)行為相同，因而需要在“屬性”模塊中創(chuàng)建一種各向同性材料，即用于制造各個(gè)桿件的Q235鋼，其楊氏模量為211 000 MPa，泊松比為0.3。給各個(gè)桿件創(chuàng)建相應(yīng)的截面，主要的創(chuàng)建步驟如圖3所示。

由圖3 a）可知，在設(shè)置桿件的截面類型時(shí)，可以選擇“梁”類別中的“桁架”類型，且在ABAQUS軟件中，“桁架”類型的截面形狀默認(rèn)為圓形。由圖3 b）可知，桁架中桿件的橫截面積被設(shè)置為1 400 mm2，與表3中給出的橫截面積相同。

3.1.3設(shè)置邊界條件和載荷

首先需要在初始分析中為鉸支座K和L施加邊界條件。由于鉸支座K是固定鉸支座，需要限制其在X和Y方向上的位移;鉸支座L是可動(dòng)鉸支座，只需要限制其在X方向的位移。隨后，在節(jié)點(diǎn)A，B，C，E，F(xiàn)，H，I處按工程概況施加相應(yīng)的載荷，即可完成載荷和邊界條件的設(shè)置。所有定義完成的載荷和邊界條件如圖4所示。

由圖4可知，鉸支座K處出現(xiàn)了相互正交的2個(gè)小三角形，表示限制了X和Y方向上的位移;鉸支座L處出現(xiàn)了1個(gè)水平方向的小三角形，說明對(duì)X方向的位移進(jìn)行了限制。此外，節(jié)點(diǎn)A，C，F(xiàn)，I處出現(xiàn)了豎直向下的箭頭，節(jié)點(diǎn)B，E，H處出現(xiàn)了豎直向上的箭頭，表示相應(yīng)的載荷已經(jīng)加載到了對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。

3.2有限元計(jì)算

3.2.1計(jì)算結(jié)果

將此懸臂式桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型提交，ABAQUS軟件根據(jù)有限元法計(jì)算出了此桁架結(jié)構(gòu)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)在Y方向的位移、鉸支座K和L的支反力以及各個(gè)桿件所受的應(yīng)力，如圖5所示。

由圖5 a）—c）左上角的圖例可知，桿件在某處的顏色越深，代表在該處桿件的相關(guān)物理量的數(shù)值越大。從圖5 a）中看出，桁架的整體結(jié)構(gòu)發(fā)生了向上的位移，且懸臂端的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生的位移較大;從圖5 b）中發(fā)現(xiàn)，鉸支座K處的支反力大于鉸支座L處的支反力;由圖5 c）可知，靠近鉸支座K和L的桿件應(yīng)力要大于遠(yuǎn)離鉸支座K和L的桿件應(yīng)力，且桿件HJ所受的應(yīng)力最大。

3.2.2結(jié)果對(duì)比

利用ABAQUS軟件的查詢功能，可以獲得節(jié)點(diǎn)A在豎直方向的位移、鉸支座K的支反力以及桿件HJ所受的應(yīng)力。經(jīng)查詢，節(jié)點(diǎn)A在豎直方向的位移大小為3.478 mm，與表3所示的計(jì)算結(jié)果之間的相對(duì)誤差為0.14%;與此同時(shí)，鉸支座K的支反力大小為262 kN，在規(guī)定的小于300 kN的范圍內(nèi);另外，桿件HJ所受的應(yīng)力的大小為133.9 MPa，也小于其許用值157 MPa。由此可見，本文所提出的非線性規(guī)劃模型的優(yōu)化結(jié)果是合理的。

4結(jié)語

通過建立一個(gè)以懸臂端節(jié)點(diǎn)撓度最小為目標(biāo)函數(shù)，以桿件的長度、橫截面積等結(jié)構(gòu)尺寸、鉸支座所受的約束力和桿件的最大應(yīng)力為限制條件的非線性規(guī)劃模型，初步確定了某懸臂式桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方案，并利用ABAQUS軟件，根據(jù)有限元法判斷該優(yōu)化方案是否合理。主要的結(jié)論如下。

1）當(dāng)水平方向相鄰2節(jié)點(diǎn)之間的距離為1 m，兩鉸支座之間的距離為2.6 m，且桿件的橫截面積均為1 400 mm2時(shí)，此懸臂式桁架的懸臂端節(jié)點(diǎn)的撓度最小。

2）ABAQUS軟件利用有限元法計(jì)算出的結(jié)果與Python的計(jì)算結(jié)果基本吻合，且符合限制條件，因此可以證明本文提出的優(yōu)化模型與優(yōu)化方案都是合理的。

3）本文提出的優(yōu)化模型不僅對(duì)優(yōu)化懸臂式桁架結(jié)構(gòu)具有一定的參考價(jià)值，也為解決其他類型的桁架結(jié)構(gòu)（如簡支式、外伸式或空間桁架）的優(yōu)化問題提供了新思路。

4）在實(shí)際工程中，懸臂式桁架結(jié)構(gòu)可能還會(huì)受到其他條件的制約，因而本文提出的優(yōu)化模型中的限制條件還需要在未來的研究中進(jìn)一步補(bǔ)充，以獲得更為合適的優(yōu)化結(jié)果。

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