許佰雁

(長春光華學(xué)院基礎(chǔ)教研部， 吉林長春 130033)

中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽創(chuàng)辦于1995年， 是中國最高等級的籃球聯(lián)賽. 球隊(duì)的勝率和綜合水平問題是大家所關(guān)心和關(guān)注的， 本文在借用模型的基礎(chǔ)上對14支隊(duì)伍的常規(guī)賽和季候賽進(jìn)行分析， 估算出每只球隊(duì)奪冠概率， 預(yù)測出前四名的球隊(duì).

1 模型建立與求解

1.1 基本假設(shè)

1) 假設(shè)比賽是公平的， 且每次比賽球員都盡全力.

2) 假設(shè)所有球隊(duì)得到的休息時(shí)間是一樣的.

3) 假設(shè)每個(gè)教練的水平都差不多， 能夠合理分配每個(gè)球員的時(shí)間

4) 假設(shè)外界因素的影響為零.

1.2 模型建立

設(shè)有n個(gè)球隊(duì)參與比較， 記為“A,B,C…,n”， 假設(shè)球隊(duì)i有真實(shí)的能力參數(shù)γi， 令pi,j表示球隊(duì)i優(yōu)于球隊(duì)j的概率，Yij表示球隊(duì)比較后的二分變量結(jié)果. 當(dāng)Yij=1時(shí)表明球隊(duì)i比j好， 當(dāng)Yij=0時(shí)表明球隊(duì)j比i好.

將pi,j表示為Logit模型：

或者

令Nij表示進(jìn)行比較的總次數(shù)， 其中所選擇到球隊(duì)i的次數(shù)為nij， 選擇球隊(duì)j的次數(shù)為Nij-nij.

當(dāng)Nij獨(dú)立， 且每次的概率都為Pi,j時(shí)，nij服從二項(xiàng)分布bin(Nij,Pi,j). 根據(jù)研究對象服從二項(xiàng)分布建立函數(shù)進(jìn)行估計(jì)， 如果有關(guān)不同配對的比較也是獨(dú)立的， 就可以利用擬合普通的Logit模型的方法來擬合這個(gè)模型.

1.3 模型求解

對調(diào)查數(shù)據(jù)表中給出的每隊(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析， 通過一個(gè)具有說服性的數(shù)據(jù)來預(yù)測出排名. 每隊(duì)各給出了100組比賽的歷史評分?jǐn)?shù)據(jù)， 求出各隊(duì)的平均值， 如表1所示.

表1 14組隊(duì)伍綜合實(shí)力水平的平均值

表2 隊(duì)伍概率結(jié)果

然后通過平均值求出方差和標(biāo)準(zhǔn)差(見表3)， 方差是

表3 14組球隊(duì)綜合實(shí)力的方差

表4 14組隊(duì)伍綜合實(shí)力的標(biāo)準(zhǔn)差

通過對z值的比較可以得出前四名的球隊(duì)分別是N、L、C、B. 再分析實(shí)力估計(jì)值、 標(biāo)準(zhǔn)誤值、 擬標(biāo)準(zhǔn)誤值這些數(shù)據(jù)可以得出結(jié)論： 第一名是N隊(duì)， 第二名是L隊(duì)， 第三名是C隊(duì)， 第四名是B隊(duì).

表5 14組隊(duì)伍綜合實(shí)力水平的擬標(biāo)準(zhǔn)差

表6 14組隊(duì)伍綜合實(shí)力水平的Z值

2 模型檢驗(yàn)與評價(jià)

2.1 針對2015～2016 賽季CBA聯(lián)賽球隊(duì)實(shí)力估計(jì)結(jié)果

用所給出的各隊(duì)實(shí)力估計(jì)值求出平均值， 再運(yùn)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式

通過對z值的比較和對實(shí)力估計(jì)值、 標(biāo)準(zhǔn)誤差值、 擬標(biāo)準(zhǔn)差值這些數(shù)據(jù)的分析可以得出隊(duì)伍的排名. 結(jié)果與模型中的公式計(jì)算結(jié)果相同.

2.2 模型評價(jià)

(1)優(yōu)點(diǎn)

1)該方法下的賽事安排更合理， 計(jì)算數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確， 進(jìn)行最后的比較和分析更具說服力. 該模型對數(shù)據(jù)的精確性有較高的要求.

表7 2015～2016賽季CBA聯(lián)賽球隊(duì)實(shí)力估計(jì)結(jié)果

2)本次結(jié)合了大量文獻(xiàn)綜合分析了Bradley-Terry模型的原理和算法， 結(jié)合數(shù)據(jù)分析， 將模型運(yùn)用到了體育賽事中， 并成功預(yù)測了參賽隊(duì)伍的排名.

(2) 缺點(diǎn)：

1)該模型對于較少數(shù)量的球隊(duì)數(shù)不適用， 適用于求大型比賽的結(jié)果. 別外， 該模型較為繁瑣， 不夠簡便.

2)該模型使用起來的數(shù)據(jù)分析結(jié)果可能只是在此賽季是顯著的， 其他賽季是否顯著， 還需要進(jìn)一步研究.

3)該模型雖然提出了在體育賽事的實(shí)力會(huì)發(fā)生變化， 但理論上尚未健全， 未能使用統(tǒng)計(jì)軟件結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)分析， 仍有較大提升空間.

2.3 模型推廣

該模型可運(yùn)用于對統(tǒng)計(jì)學(xué)期刊影響力的估計(jì)或者與機(jī)器學(xué)習(xí)搜索引擎相關(guān)的文件進(jìn)行排名， 也可應(yīng)用于研究人們對某種對象的偏好情況， 通過對模型的拓展可以解決分類數(shù)據(jù)的分析問題. Bradley-Terry模型提高了關(guān)于成對比較數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和有效性， 它可以基于過去的對比信息來預(yù)測將來事件比對的結(jié)果. 所以Bradley-Terry模型不但有力地推動(dòng)了成對比較法， 而且在很多研究領(lǐng)域乃至日常生活中， 都有著不可忽視的地位.