林雪華， 陳雁冰

(1.福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院阿里巴巴大數(shù)據(jù)學(xué)院， 福建福州 350108；2.福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院， 福建福清 350300)

0 引言

數(shù)字圖像在獲取和采集過(guò)程中經(jīng)常會(huì)被各種來(lái)源的噪聲干擾， 不僅使數(shù)字圖像的視覺(jué)效果變差， 而且增加了圖像后續(xù)處理的難度. 因此， 去噪是數(shù)字圖像處理重要的一個(gè)環(huán)節(jié). 國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)圖像去噪進(jìn)行大量的研究， 提出了中值濾波、維納濾波、均值濾波、低通濾波等去噪算法[1]， 但這些算法在去噪的同時(shí)也使圖像的邊緣和紋理信息丟失， 圖像變得模糊. 因此， 如何能夠在去除噪聲的同時(shí)保留圖像的邊緣和紋理信息是圖像去噪的難點(diǎn).

分?jǐn)?shù)階微積分自L(fǎng)eibniz和Newton提出后， 至今已經(jīng)300多年. 自Mandelbrot[1]發(fā)現(xiàn)了分形后， 分?jǐn)?shù)階微積分引起了工程技術(shù)領(lǐng)域的關(guān)注. 分?jǐn)?shù)階微分在處理圖像紋理方面比整數(shù)階更精細(xì)， 使其在信號(hào)分析與圖像處理領(lǐng)域迅速發(fā)展. 目前， 國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者已經(jīng)在圖像邊緣檢測(cè)與提取[2]、圖像去噪[3]、圖像紋理細(xì)節(jié)處理[4]、圖像修復(fù)[5]等領(lǐng)域取得一些研究成果.

1 理論基礎(chǔ)及模型構(gòu)造

1.1 自適應(yīng)P-Laplace擴(kuò)散去噪模型構(gòu)造

學(xué)者Perona和Malik[6]針對(duì)能量泛函的Euier方程問(wèn)題提出了各向異性擴(kuò)散方程來(lái)求解該方程問(wèn)題， 如式(1)所示.

(1)

分?jǐn)?shù)階微分具有弱導(dǎo)性和非線(xiàn)性等特征， 較整數(shù)階微分更適合處理紋理等細(xì)節(jié)信息. 將頻域分?jǐn)?shù)階微分算子， 推廣應(yīng)用于自適應(yīng)P-Laplace擴(kuò)散去噪模型， 構(gòu)造分?jǐn)?shù)階能量泛函：

(2)

1.2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子的分析

分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)擴(kuò)散因子由下面等照度線(xiàn)的分?jǐn)?shù)階曲率和分?jǐn)?shù)階梯度共同決定.

(3)

其中curvα的代數(shù)關(guān)系為

(4)

不同情形下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子的理論分析：

(1)當(dāng)P為常數(shù)時(shí)， 分?jǐn)?shù)階曲率與分?jǐn)?shù)階梯度成正比. 當(dāng)分?jǐn)?shù)階曲率趨于零或當(dāng)分?jǐn)?shù)階梯度趨于無(wú)窮大時(shí)， 此時(shí)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子則趨近于 1， 這時(shí)各向異性擴(kuò)散的特性為僅沿等照度線(xiàn)方向擴(kuò)散， 即沿邊緣方向擴(kuò)散， 且不會(huì)在梯度方向擴(kuò)散. 此時(shí)， 在梯度方向的平滑作用被削弱， 從而實(shí)現(xiàn)圖像細(xì)節(jié)的保留；當(dāng)分?jǐn)?shù)階梯度趨于零或分?jǐn)?shù)階曲率趨近無(wú)窮大時(shí)， 則分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子趨近于2， 此時(shí)各向同性擴(kuò)散的特性為梯度方向和的沿等照度線(xiàn)方向的擴(kuò)散率相同， 從而實(shí)現(xiàn)快速平滑.

(2)等照度線(xiàn)的分?jǐn)?shù)階曲率為固定值時(shí)， 在圖像的邊緣區(qū)域， 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子隨分?jǐn)?shù)階的梯度的增大而減小.

(3)當(dāng)分?jǐn)?shù)階梯度為定值時(shí)，P隨分?jǐn)?shù)階曲率的增大而增大.

根據(jù)以上分析， 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)擴(kuò)散因子P能夠根據(jù)圖像局部的幾何信息合理地控制擴(kuò)散因子的擴(kuò)散方向及強(qiáng)度.

2 算法的實(shí)現(xiàn)

假設(shè)輸入：u0， 迭代次數(shù)K， 迭代步長(zhǎng)Δt， 輸出：un+1. 在頻域離散求解分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散的自適應(yīng)P-Laplace方程的圖像去噪模型算法流程：

2)計(jì)算如下階中心差分(5).

其中ω1,ω2∈{0,1,…,n-1}分別為對(duì)應(yīng)空間域變量x和y的離散傅里葉變換所得的頻域變量，F(xiàn)表示二維離散傅里葉變換，F(xiàn)-1表示二維離散傅里葉逆變換.

(5)

5)計(jì)算頻域如公式(6)所示.

(6)

令K1為一個(gè)頻域?qū)蔷仃嚕?定義為

K1=diag((1-exp(-j2πω1/n))αexp(-jπαω1/n))

(7)

(8)

exp(-j2πω1/n))αexp(-jπαω1/n)))

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文算法的正確性和有效性， 本文采用Visual Studio 2017為開(kāi)發(fā)環(huán)境， 以大小為256×256像素， 高斯白噪聲均值μ=0，σ2=0.06的灰度Camera圖像作為測(cè)試圖像. 圖1是采用分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)P-Laplace擴(kuò)散模型的不同迭代次數(shù)的去噪處理后的圖像.

表1為分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)P-Laplace擴(kuò)散模型不同迭代次數(shù)的去噪處理后圖像的信噪比和均方誤差的數(shù)值比較. 從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看， 雖然各個(gè)不同迭代次數(shù)處理后數(shù)據(jù)的差別不是很大， 但還是可看出迭代12次的信噪比高于其他次數(shù).迭代是多次的傅里葉變換與傅里葉逆變換， 若設(shè)置迭代次數(shù)越多， 則處理時(shí)間會(huì)越久， 而處理后的圖像也會(huì)變得模糊. 所以， 在本節(jié)研究的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)處理時(shí)不必設(shè)置過(guò)多迭代次數(shù)， 通常設(shè)置在10到15次間即可. 從視覺(jué)觀(guān)察上來(lái)看， 該算法平滑了圖像里人物的頭發(fā)和衣服， 較好地去除了噪聲， 圖像中一些細(xì)節(jié)輪廓也得到較好保留. 且該模型不僅能較好地保持圖像中平坦區(qū)域的低頻分量， 還能非線(xiàn)性地保持圖像中灰度值變化較大區(qū)域的高頻分量， 如相機(jī)的彎曲邊緣等. 此外， 對(duì)圖像中灰度值變化不明顯的區(qū)域， 如遠(yuǎn)處的建筑里細(xì)小的尺度紋理及灰度值均勻變化里的區(qū)域坡度信息有一定增強(qiáng).

圖1 不同迭代次數(shù)處理后的圖像對(duì)比

表1 本文算法不同迭代次數(shù)處理后的數(shù)值比較

為了進(jìn)一步對(duì)傳統(tǒng)去噪算法、自定義分?jǐn)?shù)階和本文算法處理后圖像的效果進(jìn)行比較， 選一幅細(xì)節(jié)特征較多的圖像進(jìn)行處理， 如圖2所示. 從視覺(jué)觀(guān)察角度看， 中值濾波僅是對(duì)脈沖噪聲具有良好的抑制作用， 處理高斯噪聲圖像會(huì)嚴(yán)重模糊圖像的整體信息；均值濾波模板濾除噪聲的代價(jià)就是會(huì)模糊圖像， 很明顯圖像中的水流、樹(shù)林、橋的整體結(jié)構(gòu)都被模糊了；維納濾波去噪過(guò)程產(chǎn)生振鈴而導(dǎo)致處理效果不好；高斯去噪雖有去除噪聲， 一定程度上提高了圖像的整體亮度， 但并沒(méi)有達(dá)到最佳效果. 表2為不同類(lèi)型去噪算法的信噪比和均方差比較. 從數(shù)據(jù)看， 不管是自定義分?jǐn)?shù)階去噪算法還是本文的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)P-Laplace方程的信噪比和均方差都明顯高于傳統(tǒng)的幾種去噪算法， 能夠達(dá)到保留更多圖像的紋理細(xì)節(jié)信息及最佳視覺(jué)效果的目的. 自定義分?jǐn)?shù)階去噪算法整體提高了圖像亮度， 能夠較好地體現(xiàn)圖像信息， 例如對(duì)于水流部分能夠完整地體現(xiàn)出來(lái)， 但樹(shù)林部分卻有些模糊. 本文算法PSNR在幾種算法中值最高， 從視覺(jué)角度看去噪效果最好， 能夠在濾除噪聲的同時(shí)， 對(duì)于圖像中橋的整體結(jié)構(gòu)， 欄桿部分， 水流部分和樹(shù)林樹(shù)枝的紋理都能較清晰地體現(xiàn)出來(lái)， 達(dá)到盡可能多地保留圖像中細(xì)小局部特征的效果.

圖2 傳統(tǒng)算法與本文算法處理后的圖像

表2 不同類(lèi)型去噪算法處理后的數(shù)值比較

4 結(jié)論

本文提出將分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)P-Laplace方程應(yīng)用于圖像去噪的算法. 該算法模型根據(jù)頻域定義來(lái)確定分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散因子和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 且利用分?jǐn)?shù)階等照度線(xiàn)的曲率及分?jǐn)?shù)階梯度共同自適應(yīng)地調(diào)整分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子. 該算法能夠根據(jù)圖像的噪聲分布自適應(yīng)地運(yùn)用更合適的階次來(lái)濾除噪聲， 并且結(jié)合迭代的方式以實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲圖像的微調(diào).