李 圓，王 麗，呂寶棟

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南焦作 454000)

0 引言

本文所涉及的圖均指有限、 簡(jiǎn)單、 連通、 無(wú)向圖.對(duì)于圖X, 我們用V(X)、E(X)、 Aut(X)分別表示圖的頂點(diǎn)集、 邊集和全自同構(gòu)群.定義群G關(guān)于子集S(不含單位元)的Cayley圖記為X=Cay(G,S),其中點(diǎn)集為G,邊集為{(g,sg)|g∈

G,s∈S}.定義群H上關(guān)于集合R,L和S的bi-Cayley圖,記為BiCay(H,R,L,S), 點(diǎn)集為H0∪H1;邊集為{{h0,g0|gh-1∈R}∪{{h1,g1|gh-1∈

L}∪{{h0,g1|gh-1∈S},其中R,L和S是H的子集,滿(mǎn)足R-1=R,L-1=L且R∪L中不包含H的單位元,Hi= {hi|h∈H},i= 0,1.特別地,若|S| = 1,則稱(chēng)BiCay(H,R,L,S)是1-匹配bi-Cayley圖；若|R| =|L|=s,則稱(chēng)BiCay(H,R,L,S)是s-型bi-Cayley圖.稱(chēng)一個(gè)群為廣義四元數(shù)群,如果滿(mǎn)足關(guān)系Q4n=〈a,b|a2n= 1,b2=an,b-1ab=a-1〉.

本文若未有定義而引用的概念和記號(hào)可查閱文獻(xiàn)[8].

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X= BiCay(H,R,L,S)是群H關(guān)于其子集R,L,S的bi-Cayley圖, 記A= Aut(X). 廣義四元數(shù)群Q36的定義關(guān)系如下:

Q36=〈a,b|a18= 1,b2=an,b-1ab=a-1〉.

易知Q36中的元素可寫(xiě)成aibj的形式, 其中i= 0,1,…,17;j= 0, 1.

引理1[7](1)H由R∪L∪S生成.

(2)在圖同構(gòu)意義下,S可包含群H的單位元1.

(3)對(duì)任意α∈Aut(H),

BiCay(H,R,L,S)?BiCay(H,Rα,Lα,Sα).

對(duì)任意g∈H, 定義點(diǎn)集V(X)的置換:R(g)∶hi|→(hg)i, 任意i∈Z2,h∈H. 令δα,x,y∶h0|→(xhα)1,h1|→(yhα)0,任意x,y,h∈H,α∈Aut(H)，則δα,x,y是V(X)的一個(gè)置換. 此外,用Av表示點(diǎn)v∈V(X)穩(wěn)定子群.

引理3[8](Frattini論斷) 設(shè)G傳遞作用在集合Ω, 并且G包含一個(gè)子群N,則N在Ω上的作用傳遞當(dāng)且僅當(dāng)G=GαN, ?α∈Ω.

引理4[8]若對(duì)圖X中任意兩點(diǎn)u,v∈E(X),總存在一個(gè)自同構(gòu)φ∈Aut(X)使uφ=v成立,則X為點(diǎn)傳遞圖. 若X中任意兩條邊{u1,v1},{u2,v2},總存在一個(gè)自同構(gòu)φ∈Aut(X)使{u1,v1}φ=

{u2,v2}成立,則X為邊傳遞圖.若圖X(X無(wú)向或有向)沒(méi)有孤立點(diǎn),且Aut(X)在X的弧集上的作用是傳遞的, 則X為弧傳遞圖.弧傳遞圖也稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)圖.

在一個(gè)圖中,我們用Ni(v)表示與頂點(diǎn)v距離為i的點(diǎn)的集合,稱(chēng)為點(diǎn)v的i步鄰域.特別地,N(v)表示點(diǎn)v的鄰點(diǎn)的集合.

根據(jù)廣義四元數(shù)群Q36的定義關(guān)系和bi-Cayley圖的定義, 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知廣義四元數(shù)群上的3度1-匹配bi-Cayley圖有以下兩類(lèi)：

(1)R1={a,a-1},L1={b,b-1},S={1};

(2)R2={ab,(ab)-1},L2={b,b-1},S={1}.

2 主要定理

定理1設(shè)X1=BiCay(Q36,R1,L1,S) ,R1={a,a-1},L1={b,b-1},S={1}是Q36上的3度1-匹配bi-Cayley圖.則有以下性質(zhì)： (1)X1是非點(diǎn)傳遞的; (2)X1是非邊傳遞的；(3)X1是非弧傳遞的.

證明(1)由圖1可知,過(guò)點(diǎn)11只有一個(gè)4圈即[11,b1,(a9)1,(a9b)1,11], 過(guò)點(diǎn)10沒(méi)有4圈,故圖X1不是點(diǎn)傳遞的；

(2)由圖1可知,邊{11,b1}∈E(X1)包含在一個(gè)4-圈[11,b1,(a9)1,(a9b)1,11]中,而邊{a0,(a2)0}∈E(X1)顯然沒(méi)有被包含在任何一個(gè)4-圈中, 故可知X1不是邊傳遞的;

(3)由(1), (2)立得.證畢.

圖1bi-Cayley圖X1=BiCay(Q36,R1,L1,S)的導(dǎo)出子圖

證明(1)設(shè)α∶a|→a-1,b|→ab-1, 易知

α∈Aut(H),aα2= (a-1)α=a,bα2= (ab-1)α=a-1ba-1=b.故o(α) = 2. 進(jìn)而有o(δα,1,1)=2.下證δα,1,1∈I.由定義只需證

R2α= {ab,(ab)-1}α=

{a-1ab-1, (a-1ab-1)-1} = {b-1,b} =L2.

L2α= {b,b-1}α= {ab-1, (ab-1)-1} =

{(ab)-1,ab} =R2.

Sα= {1} =S-1.

(2) 由圖2可知,N(10)中的三點(diǎn)位于兩個(gè)4-圈,即點(diǎn)(a10b)0, (ab)0在四圈[10,(a10b)0, (b2)0, (ab)0,10]中, 點(diǎn)11在4-圈[11,(a9b)1, (b2)1,b1,11],又|N((b2)0)∩N(10)|=2, |N(u)∩N(10)|=1, |N((b2)1)∩N2(10)|=3, |N(v)∩N2(10)|=1或2, 其中u∈N2(10),v∈N3(10). 故可知點(diǎn)11,(b2)0, (b2)1固定.不失一般性,下面分兩種情況考慮φ∈A10對(duì)點(diǎn)(a10b)0與(ab)0的作用.

若φ固定(a10b)0與(ab)0, 則(a10b)1與(ab)1也固定,(a17)1與(a8)1可互換也可固定；

若φ互換(a10b)0與(ab)0, 則(a10b)1與(ab)1也互換,(a17)1與(a8)1可互換也可固定；

故φ中必有〈((a10b)0, (ab)0)((a10b)1,(ab)1)〉, 再考慮(a17)1與(a8)1.

若φ固定(a17)1與(a8)1, 則(a17)0與(a8)0也固定,(a11b)0與(a2b)0可互換也可固定；

若φ互換(a17)1與(a8)1, 則(a17)0與(a8)0也互換,(a11b)0與(a2b)0可互換也可固定；

圖2bi-Cayley圖X2=iCay(H,R2,L2,S)

定理3Bi-Cayley圖X2有以下性質(zhì):

(1)Bi-Cayley圖X2是點(diǎn)傳遞的;(2)Bi-Cayley圖X2是非邊傳遞的;(3)Bi-Cayley圖X2是非弧傳遞的.

證明(1)由定理2(1)知,X2同構(gòu)于一個(gè)Cayley圖,故X2是點(diǎn)傳遞的.

(2)在bi-Cayley圖X2中,由定理2(2)知, |Aut(X2)|=|〈R(Q36),δα,1,1〉Z217|=36×2×217,而bi-Cayley圖X2有108條邊,顯然108+36×2×217,所以bi-Cayley圖X2不是邊傳遞的；

(3)由(1)和(2)立得.證畢.

推論4設(shè)X1=BiCay(H, {a,a-1},{b,b-1},{1}),X2=BiCay(H, {ab,(ab)-1},{b,b-1}, {1}).則X1X2.

證明由定理1和定理3知, 圖X1是非點(diǎn)傳遞的,圖X2是點(diǎn)傳遞的, 故X1X2. 證畢.