魏沖 王海鋒

(石河子大學(xué)理學(xué)院 新疆 石河子 832000)

1 GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是一款數(shù)學(xué)工具軟件，它集合了平面繪圖、3D繪圖、動(dòng)態(tài)幾何、概率統(tǒng)計(jì)、代數(shù)運(yùn)算、表格運(yùn)算等多種功能.GeoGebra可以畫點(diǎn)、線段、直線、向量、多邊形以及函數(shù)圖像，并且能夠改變他們的屬性，既能呈現(xiàn)靜態(tài)圖像，又能呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖像，這使得它能夠制作物理、數(shù)學(xué)等教學(xué)課件，可用于展示在黑板上或PPT上難以展示的動(dòng)態(tài)物理規(guī)律，非常適合用于教學(xué)演示，解決教學(xué)中的難點(diǎn)，體現(xiàn)物理教學(xué)思想.

2 勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式的圖示分析

上式為勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律是學(xué)生認(rèn)識(shí)自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動(dòng)等知識(shí)的基礎(chǔ).人教版課本的位移與時(shí)間關(guān)系式的探討采用以v-t圖像推導(dǎo)位移公式體現(xiàn)物理學(xué)科的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，并用無限分割再求和的方法使學(xué)生認(rèn)識(shí)到勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移可以通過v-t圖像求出，體驗(yàn)科學(xué)探究和微積分思想.而傳統(tǒng)課堂中采用黑板或者PPT等形式，都是以靜態(tài)的v-t圖像呈現(xiàn)這一探究過程，對于物理思維表象較差的學(xué)生，難以獲得有效的認(rèn)知.因此，我們應(yīng)用GeoGebra制作動(dòng)態(tài)的v-t圖像課件，以優(yōu)化課堂教學(xué).

2.1 課件制作

第一步，打開GeoGebra，在繪圖區(qū)增添橫軸和縱軸坐標(biāo)的標(biāo)簽來建立v-t圖像，在工具欄中選取文本工具，分別將橫軸和縱軸的標(biāo)簽改為t和v.第二步，在指令欄輸入指令“如果(0 ≤x≤ 60, 加速度ax+ 初速度v_0)”，得到形如一次函數(shù)的分段函數(shù)圖像，其中調(diào)節(jié)滑動(dòng)條加速度a和初速度v0可以改變v-t圖像中圖線的斜率和縱截距，如圖1所示.

圖1 v-t圖

為體現(xiàn)微分思想，在指令欄輸入指令“下和(f, 0, 60,n)”，其中n為小矩形的數(shù)量，在工具欄利用布爾變量定義下和指令，并將布爾變量重命名為“矩形”.如圖2所示，其中“矩形”是否選中，可以改變小矩形的有無.移動(dòng)滑動(dòng)條“n”可改變小矩形的數(shù)量.

圖2 微分思想分析時(shí)選中“矩形”

2.2 教學(xué)設(shè)計(jì)

做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間t內(nèi)的位移x=vt.在它的v-t圖像中，著色的矩形邊長正好是v和t，矩形的面積正好是vt.可見對于勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體的位移對應(yīng)著v-t圖像下面的面積.我們操作上文制成的課件，把加速度a調(diào)為零，選中“矩形”并把n調(diào)為1，來表示勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的v-t圖像,如圖3所示.

圖3 a=0,n=1時(shí)v-t圖

而做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在它的v-t圖像中，是一條傾斜直線，它與橫軸所圍圖形為梯形.根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移等于圖線與橫軸所圍的面積，我們能否用v-t圖像與時(shí)間軸所圍的面積表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移呢？我們移動(dòng)加速度a的滑動(dòng)條，適當(dāng)增加圖線的斜率.此時(shí)觀察到勻變速直線運(yùn)動(dòng)圖線與橫軸所圍梯形的面積由一個(gè)著色矩形和一個(gè)白色三角形組成，如圖4所示.

圖4 n=1時(shí)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移與面積關(guān)系分析

如果我們把矩形面積當(dāng)做梯形面積，即把勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移當(dāng)成勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移，此時(shí)誤差是很大的，如果我們增加矩形數(shù)量，n取值為2，即把一段勻變速直線運(yùn)動(dòng)分割成兩段勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)梯形被分成兩個(gè)著色矩形和兩個(gè)小三角形，我們觀察到兩個(gè)矩形的面積之和與梯形面積的差值減小了，如圖5所示.

圖5 n=2時(shí)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移與面積關(guān)系分析

為了得到更精確的結(jié)果，我們把一段勻變速直線運(yùn)動(dòng)分割成n段勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)我們可以得到此關(guān)系式：S梯形=nS矩形

我們緩慢調(diào)節(jié)滑動(dòng)條n，使小矩形的數(shù)量緩慢增加，在這一演示過程中，學(xué)生可清楚地觀察到梯形的面積逐漸被著色的n個(gè)小矩形填滿，白色的小三角面積之和越來越小.當(dāng)n取值越大，即小矩形數(shù)量越多，梯形的面積越來越接近n個(gè)小矩形面積之和，如圖6所示.

圖6 n逐漸變大時(shí)，梯形的面積越來越接近n個(gè)小矩形面積之和

而當(dāng)n取值為正無窮時(shí)，我們認(rèn)為上述關(guān)系式S梯形=nS矩形成立.所以勻變速直線運(yùn)動(dòng)等于無數(shù)段勻速直線運(yùn)動(dòng)，梯形面積等于無數(shù)個(gè)小矩形面積之和，而無數(shù)個(gè)小矩形面積表示無數(shù)個(gè)小位移，無數(shù)個(gè)小矩形面積之和則表示總位移.由此看來，勻變速直線運(yùn)動(dòng)圖像的梯形面積也表示物體運(yùn)動(dòng)過程的位移.我們借助GeoGebra制作的課件，生動(dòng)地展示了微分求和思想，彌補(bǔ)了學(xué)生物理表象思維不足的弱點(diǎn).

圖7 梯形的面積

我們將v=v0+at帶入

最終可得到位移與時(shí)間的關(guān)系式

由此我們可直接通過圖像來求得位移與時(shí)間的關(guān)系式.

圖8 數(shù)形結(jié)合求位移與時(shí)間的關(guān)系式

3 勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移差公式的圖示分析

3.1 課件制作

修改x-y坐標(biāo)軸為v-t坐標(biāo)軸，輸入指令：if(0≤x≤50,加速度ax+初速度v_0).如圖9所示得到分段函數(shù)，輸入指令：下和(f, 0, 50,n).使梯形被分割成n個(gè)矩形,如圖10所示.

圖9 if指令

圖10 圖表說明

在指令欄分別輸入指令：A=(50 /n, 初速度v_0),B=(2 * 50 /n, 初速度v_0),C=(2 * 50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0),D=(50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0).選取ABCD4點(diǎn)為矩形，標(biāo)注高為aT，底為T，面積則為aT2,標(biāo)注為Δx,如圖11所示.

每個(gè)相鄰梯形都可以表示為連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的位移，而每個(gè)相鄰梯形的面積之差都等于圖中的矩形面積Δx，而此矩形的高為aT，底為T,由此推出矩形面積Δx=aT2，即連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的位移差相等.通過應(yīng)用GeoGebra，我們得到了十分精確的圖形，相對于傳統(tǒng)的黑板粉筆畫圖，我們又增添了圖像的可操作性，為解決相關(guān)物理問題提供了廣泛的可能性.(如下文所示)

圖11 指令說明

3.2 課件在課本紙帶類練習(xí)題中的應(yīng)用

【例1】(人教版課本問題與練習(xí))為研究實(shí)驗(yàn)小車沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器紙帶的一端固定在小車上，小車拖動(dòng)紙帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，紙帶上打出的點(diǎn)如圖12所示.

圖12 一次實(shí)驗(yàn)的紙帶

(1)某學(xué)生用以下方法繪制小車的v-t圖像.先把紙帶每隔0.1 s剪斷，得到若干短紙條.再把這些紙條并排貼在一張紙上，使這些紙條下端對齊，作為時(shí)間坐標(biāo)軸，標(biāo)出時(shí)間.最后將紙條上端中心連起來，于是得到v-t圖像.請你按以上辦法(用一張薄紙壓在圖12上，復(fù)制得到紙帶)繪制這個(gè)圖像.

(2)這樣做有道理嗎？說說你的看法.

依照題干要求，紙帶相鄰兩點(diǎn)為0.02 s,要分隔成5條紙帶，上述課件中的n取值為5,如圖13所示.

圖13 圖解

這5個(gè)矩形分別是依次排列的5段條形紙帶，每段紙帶的位移差在課件中用Δx標(biāo)注.由公式Δx=aT2可求出加速度a,其中T=0.1 s，Δx通過直尺測量，取平均值.

3.3 推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)公式一般式xm-xn=(m-n)aT2

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，我們采用數(shù)學(xué)方法，列式來尋找規(guī)律，總結(jié)出一般式xm-xn=(m-n)aT2.但學(xué)生往往采用背誦的方法記憶結(jié)論，更難以達(dá)到有效運(yùn)用.因此,我們通過GeoGebra制作圖像來幫助學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的思想來理解這一公式.

設(shè)xn內(nèi)的平均速度為vn，設(shè)xm內(nèi)的平均速度為vm，則有

xn=vnT

(1)

xm=vmT

(2)

(2)-(1)得

xm-xn=(vm-vn)T

(3)

由圖14可知

vm-vn=a(m-n)T

(4)

將式(4)代入式(3)得

xm-xn=(m-n)aT2

(5)

圖14 數(shù)形結(jié)合理解一般式

借助GeoGebra描繪的圖像，學(xué)生能夠在推導(dǎo)出公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步在各類題型中應(yīng)用這一公式，并結(jié)合圖像理解其物理規(guī)律.

3.4 逐差法求紙帶問題

對于打點(diǎn)計(jì)時(shí)器題型中求紙帶中隱含的加速度問題，學(xué)生往往通過背公式的方法解題，這樣不但不利于學(xué)生解題，反而容易導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，更不利于以后的學(xué)習(xí).在傳統(tǒng)教學(xué)中我們往往采用下列方法進(jìn)行教學(xué).

根據(jù)公式xm-xn=(m-n)aT2有

x4-x1=3aT2

(6)

x5-x2=3aT2

(7)

x6-x3=3aT2

(8)

由式(6)+(7)+(8)得

(9)

在7點(diǎn)紙帶題型中可以直接使用式(9)，但對于學(xué)生而言，Δx=aT2這一公式更容易記憶與理解.

【例2】(2016年天津理綜改編)求下列7點(diǎn)紙帶中的加速度a，如圖15所示.

圖15 例2題圖

此題可直接使用式(9)

即可求出加速度a.但是學(xué)生只是套用了這一公式，并沒有有效完成探究的過程，不利于學(xué)生的物理思維發(fā)展.于是我們可利用GeoGebra制作的課件幫助學(xué)生理解逐差法求加速度的解題過程，來避免學(xué)生采用死記硬背的方法解決物理問題.

我們不妨用GeoGebra把紙帶模型進(jìn)行“放大”，來直接使用Δx=aT2來解題,如圖16所示.

圖16 GeoGebra改編圖

通過使用GeoGebra改編，使7點(diǎn)紙帶簡化成了3點(diǎn)紙帶.可由公式Δx=aT2直接求得

注：兩點(diǎn)的時(shí)間由T擴(kuò)大為3T.

再如圖17所示，使5點(diǎn)紙帶簡化為了3點(diǎn)紙帶.

圖17 5點(diǎn)紙帶簡化圖

逐差法求加速度

通過觀察GeoGebra制作的課件，我們注意到多點(diǎn)的紙帶，即使是9點(diǎn)，11點(diǎn)及更多點(diǎn)，都可以選取中點(diǎn)，把紙帶“切”分為x1和x2兩大段，再通過Δx=aT2即可求出加速度.(注：此時(shí)兩點(diǎn)時(shí)間T不是原來兩點(diǎn)的時(shí)間，而是新的兩個(gè)點(diǎn)的時(shí)間)有利于學(xué)生記憶和理解.

4 勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式的圖示分析

人教版必修2中，在“做一做”中以文本圖像的形式“探究”了向心加速度大小的表達(dá)式，而通過借助GeoGebra制作的課件,能夠更形象生動(dòng)地探究向心加速度的大小以及方向.

4.1 向心加速度課件制作

首先，在輸入欄輸入：Circle(O,r),由此建立圓周c和參數(shù)r，在圓周c上取兩點(diǎn)A,B，并以這兩點(diǎn)做圓的切線tA,tB.在指令欄中用slope得出這兩條切線的斜率kA，kB，再用θ=atand(k)指令求出兩條切線的傾斜角θA,θB.為了建立向量以表示速度，選取切線的速度方向的一點(diǎn)A′.在指令欄輸入：A**’=if(y(A) ≥y(O),A-v_1 (cos (θ_A), sin (θ_A)),A+v_1 (cos (θ_A), sin(θ_A))),求出點(diǎn)A′，同理求出B′.用Vector指令，建立從A到A′的向量以表示速度vA,同理建立速度vB.把vA的起點(diǎn)平移到B點(diǎn)，得到vA′，依次連接v′A與vB的末端，從而得到向量Δv以表示速度的變化量，此時(shí)已完成課本中的圖像.

為了方便探究向心加速度的大小，連接v′A,vB與Δv，得到矢量三角形；同理連接O,A,B3點(diǎn)得△OAB.在指令欄輸入Angle指令，標(biāo)注兩個(gè)三角形的角度.通過顯示的角度，證明了兩個(gè)三角形是相似三角形,如圖18所示.

圖18 兩個(gè)三角形相似

4.2 向心加速度的大小

根據(jù)相似三角形可得

Δl為圓上A,B兩點(diǎn)構(gòu)成的弦，v代表速度vA,vB的大小.

當(dāng)時(shí)間Δt→0時(shí)，弦Δl近似等于弧長vΔt，通過等量代換得

整理得

得

由此得到向心加速度大小表達(dá)式.

4.3 向心加速度的方向

取弦AB中點(diǎn)為起點(diǎn)，O點(diǎn)為終點(diǎn)，建立向量.觀察到這一向量始終與向量Δv同向，即Δv的方向始終指向圓心，也證明了向心加速度a的方向始終指向圓心,如圖19所示.

圖19 向心加速度的方向

5 總結(jié)與感悟