趙凱凱 常 健 李 斌 杜汶娟

(*中國(guó)科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 沈陽 110016)(**中國(guó)科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院 沈陽 110016)(***中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所 北京 100190)(****中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引 言

近些年來，移動(dòng)機(jī)器人多用在軍事任務(wù)、空間探測(cè)、災(zāi)后救援等領(lǐng)域。移動(dòng)機(jī)器人通常分為剛體機(jī)器人和軟體機(jī)器人。其中，剛體機(jī)器人以剛性結(jié)構(gòu)為主，根據(jù)運(yùn)動(dòng)形式可大致分為輪式[1]、腿式[2]、履帶式[3]等，具有機(jī)構(gòu)剛度大、控制精度高、負(fù)載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但是其機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、自由度固定、環(huán)境適應(yīng)性較差，多用于已知環(huán)境下。而軟體機(jī)器人由軟體材料構(gòu)成，具有柔順性好、變形能力強(qiáng)、自由度高，可抓取不規(guī)則物體或者易碎物體，但存在制造困難、負(fù)載能力差、難以建模的問題[4]。因此，為了兼顧剛體機(jī)器人和軟體機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，將張拉整體結(jié)構(gòu)的概念引入到移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域中，即在柔性材料中嵌入剛性材料，可實(shí)現(xiàn)張拉整體機(jī)器人具有較大的強(qiáng)度質(zhì)量比以及一定的負(fù)載能力，同時(shí)還具有較強(qiáng)的可變形能力和減震能力。

張拉整體結(jié)構(gòu)可追溯到20世紀(jì)20年代，其是由一系列連續(xù)的彈性拉索和不連續(xù)的剛性壓桿構(gòu)成具有穩(wěn)定體積的力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[5，6]。其中，彈性拉索僅承受拉力，而剛性壓桿僅承受壓力。該結(jié)構(gòu)最早應(yīng)用在藝術(shù)、建筑、土木等領(lǐng)域，例如穹頂[7]、橋梁等。隨后又被生物學(xué)家用來描述細(xì)胞骨架[8]以及動(dòng)物肌肉骨骼[9]等。在工程方面，由于該結(jié)構(gòu)具有展開性，可用于反射天線的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[10]。

張拉整體結(jié)構(gòu)首次由Paul等人[11]提出，他們研制了3壓桿和4壓桿張拉整體機(jī)器人，對(duì)蠕動(dòng)步態(tài)進(jìn)行了研究，表明張拉整體機(jī)器人具有容錯(cuò)性。由于6桿張拉整體機(jī)器人結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單且能實(shí)現(xiàn)多種步態(tài)，因此眾多研究人員對(duì)其展開研究。日本立命館大學(xué)[12]提出了基于氣動(dòng)人工肌肉的6桿張拉整體機(jī)器人，并對(duì)其初步形態(tài)以及滾動(dòng)步態(tài)進(jìn)行了研究。美國(guó)航空航天局(NASA)[13，14]、哈爾濱工程大學(xué)[15]等機(jī)構(gòu)對(duì)張拉整體機(jī)器人的結(jié)構(gòu)以及步態(tài)展開了相關(guān)研究，且均在平坦地形下展開研究，而對(duì)于張拉整體機(jī)器人在斜坡上的運(yùn)動(dòng)研究較少。中國(guó)科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所[16]分析了6桿張拉整體機(jī)器人位于斜坡上的一種低重心的構(gòu)型，可避免機(jī)器人向下滾落的情況。加州伯克利大學(xué)[17]通過改變致動(dòng)器的數(shù)量對(duì)機(jī)器人在斜坡上的滾動(dòng)進(jìn)行研究，可分別有效實(shí)現(xiàn)適合機(jī)器人在傾斜表面運(yùn)動(dòng)和提升運(yùn)動(dòng)速度，并利用仿真和物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了相關(guān)驗(yàn)證，但是并未對(duì)機(jī)器人與坡度的關(guān)系進(jìn)行研究。本文首先對(duì)張拉整體機(jī)器人進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，隨后對(duì)其臨界翻滾角度進(jìn)行分析，最后利用open dynamic engine (ODE)仿真平臺(tái)對(duì)機(jī)器人建模并進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)。

1 張拉整體機(jī)器人

該機(jī)器人為第2代電驅(qū)動(dòng)張拉整體機(jī)器人(見圖1)，一共包含6根中空的鋁桿和24條彈性拉索。其中，鋁桿長(zhǎng)為650 mm，外徑為30 mm，內(nèi)徑為28 mm，它的每一端都設(shè)計(jì)了一個(gè)空心方塊體(見圖2)，具體尺寸為80 mm×80 mm×120 mm，壁厚為1 mm，用來保護(hù)2個(gè)舵機(jī)及控制單元。中空的鋁桿中放置1塊鋰電池，為舵機(jī)及控制單元供電。在方塊體上添加一個(gè)半球形泡沫塑料使機(jī)器人始終與地面保持接觸，同時(shí)還能增加與地面的摩擦力。彈性拉索(見圖3)是由彈簧和剛性繩索組成，通過動(dòng)滑輪進(jìn)行連接，這樣的設(shè)計(jì)使得作用在彈性拉索的力變?yōu)槎鏅C(jī)輸出力的2倍。此外，掛有螺母的繩索與舵盤相連，另一根繩索固定在方塊體上。

圖1 6桿張拉整體機(jī)器人樣機(jī)

圖2 空心方塊體

圖3 拉索組成構(gòu)件

2 張拉整體機(jī)器人數(shù)學(xué)建模

6桿張拉整體機(jī)器人是基于張拉整體結(jié)構(gòu)組成的，因此，可首先描述該結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。6桿張拉整體結(jié)構(gòu)有6根壓桿和24個(gè)彈性拉索，如圖4所示，對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。其中，細(xì)黑線表示彈性拉索成員，粗線表示壓桿成員。

由圖4可知，張拉整體結(jié)構(gòu)有12個(gè)節(jié)點(diǎn)。在圖示坐標(biāo)系中，對(duì)于第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，可表示為

圖4 6桿張拉整體結(jié)構(gòu)

ni=[xi,yi,zi]Ti=1,2,…,12

(1)

張拉整體結(jié)構(gòu)可通過節(jié)點(diǎn)表示出來，其暗含了壓桿和彈性拉索的長(zhǎng)度以及相鄰壓桿與彈性拉索的角度等信息。

對(duì)于張拉整體結(jié)構(gòu)，壓桿和彈性拉索通過節(jié)點(diǎn)相互連接，因此均可由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行表示。結(jié)構(gòu)中的第p個(gè)壓桿成員定義為bp，可表示為

bp=n2p-n2p-1p=1,…,6

(2)

取結(jié)構(gòu)中第k個(gè)彈性拉索成員為sk，該彈性拉索的2個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為njk和nik，該拉索可表示為

sk=njk-nikk=1,…,24

(3)

其中ik和jk的值見表1。

表1 ik和jk的取值

由式(1)～(3)可分別得到張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)矩陣N、壓桿成員矩陣B、彈性拉索成員矩陣S。

N=[n1, …,n12]

B=[b1, …,b6]

S=[s1, …,s24]

(4)

張拉整體結(jié)構(gòu)的整個(gè)成員矩陣可寫為

M=[B,S]

(5)

為了建立結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)矩陣與成員矩陣之間的關(guān)系，引入了連接矩陣。連接矩陣的每一行表示一個(gè)成員與所有節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。連接矩陣的每個(gè)值可以通過式(2)和式(3)得到。連接矩陣中的元素只包括-1，0和1?！?”代表節(jié)點(diǎn)不是該成員的端點(diǎn)，“1”代表節(jié)點(diǎn)為成員向量的終止點(diǎn)，“-1”表示節(jié)點(diǎn)為該成員向量的初始節(jié)點(diǎn)。

由于張拉整體結(jié)構(gòu)由壓桿和彈性拉索組成，因此連接矩陣可以描述為

C=[CB;CS]

(6)

其中，C為張拉整體結(jié)構(gòu)的連接矩陣，CB和CS分別為壓桿和彈性拉索的連接矩陣。

由此，根據(jù)連接矩陣的定義，可得到如下等式：

M=NCT

(7)

至此，建立起張拉整體機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型。

3 臨界翻滾坡度分析

3.1 滾動(dòng)原則

機(jī)器人重心與底邊三角形投影的關(guān)系可分為2種情況，如圖5所示。其中，G為張拉整體機(jī)器人的重心，G′為機(jī)器人重心的投影，ijk為底邊接觸的三角形，帶有顏色的區(qū)域?yàn)榈走吶切卧谒矫娴耐队?。?dāng)重心的水平面投影在底邊三角形的水平面投影區(qū)域時(shí)，機(jī)器人處于穩(wěn)定狀態(tài)，如圖5(a)所示。反之，將發(fā)生滾動(dòng)，如圖5(b)所示。

(a) 穩(wěn)定狀態(tài) (b) 滾動(dòng)狀態(tài)

依據(jù)滾動(dòng)原則，利用Matlab圖形用戶界面(GUI)設(shè)計(jì)了張拉整體機(jī)器人人機(jī)交互界面，如圖6所示。

圖6 張拉整體機(jī)器人人機(jī)交互界面

首先可選擇與坡面接觸的三角形類型，之后通過輸入斜坡的角度Theta和機(jī)器人繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角度Beta，點(diǎn)擊“Plot”，生成張拉整體機(jī)器人的結(jié)構(gòu)3維圖以及重心與坡面接觸三角形的3維圖。

3.2 臨界翻滾坡度

張拉整體機(jī)器人由于坡度以及擺放姿態(tài)的角度不同，其重心會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)斜坡的角度達(dá)到臨界坡度時(shí)，無論機(jī)器人擺放何種姿態(tài)，機(jī)器人都能穩(wěn)定在斜坡上，即要保證機(jī)器人的重心位于底邊三角形在水平面的投影區(qū)域內(nèi)。

對(duì)于張拉整體機(jī)器人來說，有2種初始狀態(tài)：

(1) 機(jī)器人與坡面接觸為RT三角形

當(dāng)機(jī)器人與坡面接觸的三角形為RT179時(shí)，如圖7(a)所示，坐標(biāo)軸下標(biāo)為w的表示基坐標(biāo)系，下標(biāo)為b的表示體坐標(biāo)系，θ為坡度，β為Xb與Xw的夾角，且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，a為2個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在水平面的距離。此時(shí)，機(jī)器人關(guān)于軸對(duì)稱，因此，β的取值范圍為0～120 °，為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

(a) 底邊為RT179

(b) 底邊為IT137

通過在張拉整體機(jī)器人人機(jī)界面輸入不同的θ和β，可得到張拉整體機(jī)器人的不同位姿，觀察機(jī)器人重心的位置。經(jīng)過反復(fù)計(jì)算可知，底邊為RT179時(shí)，機(jī)器人臨界翻滾坡度在22 °左右, 其中，β值為旋轉(zhuǎn)80～90 °時(shí)，機(jī)器人的重心的水平面投影靠近17邊的水平面投影，故機(jī)器人有沿底邊17翻滾的趨勢(shì)。

(2) 機(jī)器人與坡面接觸為IT三角形

當(dāng)機(jī)器人與坡面接觸的三角形為IT137時(shí)，如圖7 (b)所示，坐標(biāo)軸下標(biāo)為w的表示基坐標(biāo)系，下標(biāo)為b的表示體坐標(biāo)系，θ為坡度，β為Xb與Xw的夾角，a為2個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在水平面的距離。此時(shí)，機(jī)器人關(guān)于平面對(duì)稱，因此，β的取值范圍為-90～90 °，且為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

分析方法同RT179，利用張拉整體機(jī)器人人機(jī)界面可得，底邊為IT137時(shí)，機(jī)器人臨界翻滾坡度在17 °左右, 其中，β值為5～45 °時(shí)，機(jī)器人的重心的水平面投影靠近17邊的水平面投影，機(jī)器人有沿底邊17翻滾的趨勢(shì)。

4 仿真及實(shí)驗(yàn)

4.1 ODE仿真

ODE是一個(gè)免費(fèi)的具有工業(yè)品質(zhì)的動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)。該平臺(tái)可以模擬真實(shí)環(huán)境下物體的動(dòng)力學(xué)。在該平臺(tái)建立的物體包括2部分：body和geom。其中，body包括物體的位姿和材料參數(shù)(例如密度、質(zhì)量)等；geom包括物體的形狀參數(shù)，例如直徑、長(zhǎng)度、位姿信息。相比于ADAMS來說，只需要改變機(jī)器人的位姿便可對(duì)機(jī)器人展開研究。對(duì)于張拉整體機(jī)器人(見圖8)，壓桿采用兩頭為半球形的實(shí)心構(gòu)件來模擬真實(shí)的桿件，彈性拉索簡(jiǎn)化為2個(gè)萬向關(guān)節(jié)，通過滑移關(guān)節(jié)進(jìn)行連接來模擬彈簧的伸縮。壓桿和彈性拉索的連接采用萬向節(jié)。ODE仿真過程如圖9所示。由于彈性拉索的質(zhì)量遠(yuǎn)小于壓桿的質(zhì)量，因此，可以忽略彈性拉索的質(zhì)量。機(jī)器人在ODE中建模的其余結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

圖8 張拉整體機(jī)器人仿真模型

圖9 ODE仿真過程

表2 張拉整體機(jī)器人構(gòu)件參數(shù)

隨后，通過式(8)進(jìn)行齊次變換，建立坐標(biāo)系，如圖10所示。

(a) 底邊三角形為RT179

(b) 底邊三角形為IT137

(8)

隨后，改變?chǔ)群挺碌闹担傻玫饺缦陆Y(jié)果：

(1) 底邊為RT179時(shí)，無論β取何值都能穩(wěn)定在斜坡上的臨界翻滾坡度為18 °。其中，β值為80～90 °時(shí)，機(jī)器人開始出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，有沿邊17翻滾的跡象，這與Matlab計(jì)算得到的結(jié)果一致。

(2) 底邊為IT137時(shí)，無論β取何值都能穩(wěn)定在斜坡上的臨界翻滾坡度為14 °，而且β取值為5～45 °時(shí)，機(jī)器人有沿邊17翻滾的跡象，與Matlab計(jì)算的結(jié)果一致。

可以看出，ODE仿真結(jié)果與Matlab的計(jì)算結(jié)果有差異，這是由于機(jī)器人在ODE仿真平臺(tái)中壓桿的末端為半球形結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致拉索變短，使得機(jī)器人的重心略有前傾，導(dǎo)致與理論值有所差別。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述仿真結(jié)果的正確性，搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖11所示。其中，數(shù)顯傾角儀可以顯示坡度值，分辨率為0.1 °。海綿墊是為了增大機(jī)器人與坡面的摩擦力。

圖11 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

通過反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)張拉整體機(jī)器人底邊三角形為RT時(shí)，機(jī)器人可以穩(wěn)定在坡度17.8 °左右，見圖12。底邊三角形為IT時(shí)，機(jī)器人的臨界翻滾坡度為14.7 °左右，見圖13。由此可知實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相近驗(yàn)證了建立的仿真模型的正確性。

5 結(jié) 論

本文首先對(duì)6桿張拉整體機(jī)器人結(jié)構(gòu)進(jìn)行了描述和數(shù)學(xué)建模。隨后利用Matlab軟件和ODE仿真平臺(tái)對(duì)6桿張拉整體機(jī)器人建立張拉整體機(jī)器人的仿真模型，并根據(jù)翻滾原則對(duì)臨界翻滾坡度進(jìn)行了分析，最后搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了臨界翻滾坡度仿真結(jié)果的正確性和仿真模型的合理性。本文的主要貢獻(xiàn)包括：

圖12 底邊三角形為RT

圖13 底邊三角形為IT

(1) 建立了張拉整體機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了張拉整體機(jī)器人的人機(jī)界面，通過輸入?yún)?shù)，可以獲得機(jī)器人的位姿以及重心的位置。

(2) 利用ODE動(dòng)力學(xué)平臺(tái)建立了仿真模型，對(duì)機(jī)器人處于靜態(tài)坡面的情形進(jìn)行了研究，確定了機(jī)器人的臨界翻滾坡度，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

未來將利用ODE仿真平臺(tái)建立的機(jī)器人仿真模型對(duì)張拉機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)以及斜坡滾動(dòng)方向展開研究。